Một số phương pháp dạy học nội dung
bất đẳng thức trong chương trình trung
học phổ thông theo hướng tích cực hóa
hoạt động nhận thức của học sinh
Một số phương pháp dạy học nội dung bất
đẳng thức trong chương trình trung học phổ
thông theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận
thức của học sinh

Ngô Minh Tuấn

Trường Đại học Giáo dục
Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học; Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Trình bày cơ sở lý luận về các phương pháp dạy học nội dung bất đẳng thức
trong chương trình trung học phổ thông. Nghiên cứu và xây dựng kế hoạch bài dạy nội
dung bất đẳng thức theo hướng tích cực hóa cho học sinh trung học phổ thông. Tiến

2. Lịch sử nghiên cứu
Các sách viết về bất đẳng thức ở cấp trung học phổ thông đã có rất nhiều, sự phong
phú về nội dung của chúng đã được khẳng định qua các ấn phẩm của các tác giả nổi tiếng
trong nước như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng,
Trần Phương, Đặng Kim Hùng 3. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận, hình thức và vận dụng được các phương pháp dạy học theo mục
tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức trong
chương trình trung học phổ thông.
4. Khách thể nghiên cứu và đối tƣợng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông và ôn thi đại học.
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự
nghiên cứu nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.
5. Phạm vi nghiên cứu
Hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự nghiên
cứu nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.
6. Giả thuyết khoa học
Áp dụng các hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy
học tự nghiên cứu cho nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông có thể
giúp cho học sinh nâng cao tư duy, hoàn chỉnh các kĩ năng chứng minh bất đẳng thức, hình
thành khả năng tự học, tự nghiên cứu, tập luyện cho học sinh phương pháp làm việc nghiên
cứu và sáng tạo.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu

3
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích các tài liệu về phương pháp
dạy học, dạy học tích cực, lí luận chung về dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự
án và dạy học tự nghiên cứu.
- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia, các thầy cô giáo bộ


4
Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ xin phép trình bày ba phương pháp dạy học
tích cực đó là dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học tự nghiên cứu và dạy học theo dự án
chủ đề bất đẳng thức.
1.1.4. Vai trò của giáo viên và học sinh trong dạy học tích cực
1.1.4.1. Vai trò và điều kiện đối với giáo viên trong dạy học tích cực.
Giáo viên không phải là nhân vật trung tâm nhưng là người tạo điều kiện về phương
tiện, là người hướng dẫn, điều khiển, là trọng tài, cố vấn của học sinh và luôn là người bạn
đồng hành nhắc nhở, động viên học sinh tiến bộ.
1.1.4.2. Vai trò của học sinh trong dạy học tích cực
Học sinh đóng vai trò trung tâm, chủ động trong mọi hoạt động học. Đối với phương
pháp dạy học tích cực học sinh không những được tiếp thu kiến thức mà còn chính là đối
tượng tham gia vào quá trình chuyển giao kiến thức, học sinh tự tìm ra con đường tiếp thu
kiến thức dưới sự hướng dẫn, cố vấn của giáo viên.
1.2. Dạy học theo mục tiêu nhận thức
1.2.1. Khái niệm “Dạy học theo mục tiêu nhận thức”
Dạy học theo mục tiêu nhận thức là một thuật ngữ dùng để chỉ những phương pháp
dạy học, giáo dục sử dụng các thang bậc đánh giá mức độ tư duy của của Bloom, trong đó đặc
biệt chú ý đến việc hình thành, phát triển các mức độ tư duy bậc cao cho học sinh.
1.2.2. Những đặc điểm của bài học thiết kế theo mục tiêu nhận thức
- Ngoài các kiến thức bắt buộc, giáo viên cần thiết kế các hoạt động học tập mang tính
chất nâng cao, buộc học sinh vận dụng những kiến thức đã học ở nhiều điều kiện khác nhau.
- Mỗi bài soạn thiết kế theo mục tiêu nhận thức phải phù hợp với từng loại đối tượng
học sinh.
- Có nhiều hình thức tổ chức lớp học theo mục tiêu nhận thức, tuy nhiên trong tất cả
các hình thức đó thì giáo viên phải giữ đúng vai trò là người hướng dẫn, người tổ chức và cố
vấn các hoạt động học tập.
- Việc tổ chức thiết kế các chuẩn học tập và kiểm tra, đánh giá trong bài dạy theo mục
tiêu nhận thức cũng cần hướng tới chuẩn chung của lớp, cấp học và tạo điều kiện để đánh giá

Công nghệ hiện đại hỗ trợ và thúc đẩy việc học của học sinh.
Học sinh được tiếp cận với nhiều công nghệ khác nhau giúp hỗ trợ phát triển kỹ năng
tư duy. Với sự trợ giúp của công nghệ, học sinh tự chủ hơn với kết quả cuối cùng, có cơ hội
“cá nhân hoá sản phẩm”.
Kỹ năng tư duy là không thể thiếu trong làm việc theo dự án.
Làm việc theo dự án sẽ hỗ trợ phát triển cả kỹ năng tư duy siêu nhận thức lẫn tư duy
nhận thức như hợp tác, tự giám sát, phân tích dữ liệu, và đánh giá thông tin.
1.3.3. Lập dự án và những quan điểm sai lệch về cách tiếp cận dự án
1.3.3.1.Lập dự án và các bước lập dự án
Xác định mục tiêu học tập cụ thể bằng cách sử dụng các chuẩn nội dung và những kỹ
năng tư duy bậc cao mong muốn đạt được.

6
Thiết lập Bộ câu hỏi khung.
Lập kế hoạch đánh giá.
Thiết kế các hoạt động.
1.3.3.2.Những quan niệm sai lệch về cách tiếp cận dự án
- Dạy học theo dự án dài và khó giữ được trọng tâm.
- Dạy học theo dự án có nghĩa là thay đổi hoàn toàn phương pháp giảng dạy.
- Dạy học theo dự án có nghĩa là có thêm nhiều việc phải làm.
1.3.4. Bộ câu hỏi khung chương trình
1.3.4.1. Đặt những câu hỏi thích hợp
Đặt được những câu hỏi mở, hấp dẫn là một cách hiệu quả để khuyến khích học sinh suy nghĩ
sâu hơn, tạo nên một ngữ cảnh hiệu quả đối với việc học.
1.3.4.2. Sử dụng Bộ câu hỏi khung chương trình
Bộ câu hỏi khung chương trình được thiết kế lồng ghép vào nhau. Câu hỏi nội dung hỗ
trợ cho Câu hỏi bài học và cho cả Câu hỏi khái quát.
1.3.5. Vai trò của giáo viên, học sinh và công nghệ trong dạy học dự án
1.3.5.1. Vai trò của giáo viên
Nếu lập kế hoạch dự án đòi hỏi giáo viên phải dành nhiều thời gian chuẩn bị trước đó,

Dạy học tự nghiên cứu có nghĩa là dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học,
khi đó logic dạy học tuân thủ logic của phương pháp nghiên cứu khoa học.
1.4.2. Những đặc điểm của dạy học tự nghiên cứu
Đảm bảo và phát huy tối đa tính tích cực, chủ động của người học. Hình thành phương
pháp làm việc khoa học và phát triển hứng thú nhận thức, thỏa mãn nhu cầu tìm tòi, khám phá
của người học. Bảo đảm tốt nhất yêu cầu cá biệt hóa dạy học, gắn đào tạo với việc giải quyết
các nhiệm vụ thực tiễn. Phù hợp với điều kiện không gian và thời gian của việc đào tạo trong
xã hội hiện đại.
1.4.3. Vai trò của giáo viên, học sinh và công nghệ trong dạy học tự nghiên cứu
1.4.3.1. Vai trò của giáo viên
Đối với dạy học tự nghiên cứu, giáo viên giữ vai trò tổ chức, hướng dẫn và cố vấn, các
bước mà họ cần phải làm bao gồm:
- Tổng kết các kiến thức cơ bản cần thiết một cách chi tiết.
- Từ những nội dung đó, biên soạn các nội dung cần tự học và các bài toán có tính
thách thức.
- Hướng dẫn học sinh các kĩ năng chính để giải các bài toán được đặt ra mà không đưa
ra lời giải chi tiết.
- Hướng dẫn học sinh tìm tài liệu tham khảo.
1.4.3.1. Vai trò của học sinh.
Học sinh vừa đóng vai trò người được giảng dạy và được truyền thụ kiến thức vừa đóng vai
trò chủ thể đi tìm hướng giải quyết vấn đề tự nghiên cứu.
1.4.3.1. Vai trò của công nghệ

8
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tiếp cận với những kiến thức, phương pháp, kĩ
thuật mới bằng cách sử dụng các công nghệ họ có thể có.
1.4.4. Kiểm tra và đánh giá
Trong dạy học tự nghiên cứu, việc kiểm tra, đánh giá diễn ra thường xuyên và có hệ
thống. Liên tục kiểm tra, nhắc nhở và động viên học sinh là điều rất quan trọng để tạo sức ép
cũng như khuyến khích họ tiếp tục công việc tự học của mình.

thức
2. Bất đẳng thức về giá
trị tuyệt đối
3. Bất đẳng thức Cô –
si
4. Bài tập
i. Khung phân phối chương trình:

10
Dựa theo khung PPCT của Bộ Giáo dục và đào tạo.
Nội dung bắt buộc/ số tiết
Tổng số
tiết
Ghi
chú
Lý
thuyết
Bài tập
Thực
hành
Ôn tập
Kiểm tra
2
2
0
0
0
4

k. Lịch trình chi tiết của bài học:

Hoạt động 2: Ôn tập bất đẳng thức hệ quả, tương đương
Hoạt động 3: Ôn tập các tính chất của BĐT
Hoạt động 4: Tìm hiểu các bất đẳng thức Cô – si
Hoạt động 5: Tìm hiểu các ứng dụng của BĐT Cô – si
Hoạt động 6: Tìm hiểu bất đẳng thức chứa dấu GTTĐ
e. Củng cố và hướng dẫn về nhà:
Tóm tắt nội dung bài.
Tiết 47 - 48. §1 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
a. Mục tiêu
a.1. Kiến thức
a.2. Kĩ năng
Chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản, đon giản
Vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi, từ đó giải được
các bài toán về chứng minh bất đẳng thức.
Hiểu và áp dụng các kĩ thuật biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cô – si trong các bài
tập.
a.3. Thái độ:
b. Phương pháp: Luyện tập, thảo luận nhóm, làm phiếu học tập.
c. Phương tiện: Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách tham khảo.
d. Tiến trình dạy học:
d.1. Ổn định tổ chức:
d.2. Bài mới
BĐT Cô-si: Với n số không âm bất kì:
12
; ; ( 2)
n
a a a n
ta luôn có:
12
12

()
a
b a b
a
a b b
a
b a b

Giải:
1.1) Theo BĐT (I) ta có:
3
11
( ) 3 .( ). 3
( ) ( )
b a b b a b
b a b b a b
(đpcm).Dấu
bằng xảy ra khi
1; 2.ba

1.2) Theo BĐT (I) ta có:
2
4
22
1 1 4 1 4
( ) 4 ( )
2 2 2
( )( 1) ( )( 1)
4
b b b

25
( )(2 3)
x
x y y
.

Giải: Ta có:
4
2
64.4
(4 4 ) (2 3) (2 3) 6 4 64.4 6
(4 4 )(2 3)
= 16 6 10
x y y y
x y y

Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi:
31
4 4 2 3 4 ;
22
x y y x y
.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhờ BĐT Cô – si và kĩ thuật thêm bớt.

13
Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức:
2 2 2
1.a b c


biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y
.
Giải:
Theo BĐT (I) ta có:
3
(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )
2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6
3
x y x y
x y x y

3
6 6 36AA
.
Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
2.1.4. Kiểm tra, đánh giá
Giáo viên tổ chức việc kiểm tra học sinh trong giờ học không cho điểm thông qua các
bài tập trên. Sau khi kết thúc 2 giờ bài tập, giáo viên phát phiếu học tập ở nhà cho các nhóm
học sinh. Sau khi các nhóm hoàn thành bài tập, giáo viên kiểm tra, chỉnh sửa và yêu cầu các
nhóm trao đổi phiếu học tập và lưu lại thành tài liệu tham khảo.
Hệ thống bài tập trong các phiếu học tập và đáp án của chúng
Hoàn thành các bài tập dưới đây bằng cách sử dụng các công cụ đã được học trong bài
vừa qua và viết thành một bài báo cáo chi tiết. Hạn nộp báo cáo sau 01 tuần.
Bài 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện:
6xy
.
Tìm GTNN của biểu thức:

14

mn
mm
aa
n mb m n b m n a
bb
.
Tương tự ta cũng có:
( ) ; ( )
m n m n
n n n n
mm
bc
n mc m n b n ma m n c
ca
. Cộng các
BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu
1mn
thì ta có BĐT :
2 2 2
.
a b c
a b c
b c a

………………………………………
Bài 20: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT:
3
2

Đề kiểm tra (Dùng để thực nghiệm)
Bài 1: Cho ba số không âm a, b, c.
Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab
.
Bài 2: Ba số thực a, b, c thỏa mãn hệ thức:
6 6 6
3a b c
.
Hãy tìm GTLN của biểu thức
2 2 2
S a b c

Bài 3: Cho x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
0 3;0 4xy
.
Tìm GTLN của biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y
.
Đáp án
Đáp án bài 1: Theo BĐT Cô – si ta có:

4
3 3 3 3 3 3 2
6
4 6 6a b c a b c a bc
;
Tương tự ta cũng có:
3 3 3 2 3 3 3 2


Trường 16
Tổng quan về bài dạy
Tiêu đề bài dạy
Các kỹ năng chứng minh bất đẳng thức
Tóm tắt bài dạy
Bài dạy nhằm giúp học sinh hệ thống và thực hành các kỹ năng giải quyết một số dạng bài toán
thuộc dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố
hoặc quốc gia.
Lĩnh vực bài dạy
- Toán học
Cấp/ Lớp: Lớp 12 nâng cao, trường THPT.
Thời gian dự kiến: 1 tháng
Chuẩn kiến thức cơ bản
Chuẩn nội dung và quy chuẩn
Hệ thống được một số kỹ năng giải quyết các bài toán bất đẳng thức thường gặp trong các kì thi
đại học hay thi học sinh giỏi các cấp trong nước và phương pháp giải cụ thể được nêu kèm ví dụ
minh họa.
Mục tiêu đối với học sinh/ kết quả học tập
- Tổng kết và phân loại được các kỹ năng cơ bản, các phương pháp giải tổng quát hay một lớp các
dạng bài tập bất đẳng thức đại số hoặc lượng giác.
Bộ câu hỏi định hƣớng:
Câu hỏi khái quát: Làm thế nào để chinh phục được các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi
học sinh giỏi ?
Câu hỏi bài học: Những kỹ năng nào thường được sử dụng khi giải các bài toán bất đẳng thức
trong các bài thi đại học hoặc học sinh giỏi?
Câu hỏi nội dung:

- Biên bản làm việc nhóm.
Chi tiết bài dạy
Các kĩ năng thiết yếu
- Các kĩ năng cần thiết để giải toán
- Kĩ năng nghiên cứu và tổng hợp tài liệu
- Kĩ năng trình bày khoa học và logic.
Các bước tiến hành bài dạy
Bước 1: Giáo viên nêu tên dự án , thống nhất tiêu chí đánh giá sản phẩm.
Bước 2: ( Thời gian 2 tuần - ở nhà)
- Mỗi nhóm học sinh đọc tài liệu tham khảo, giải, hệ thống các dạng toán,.
- Giáo viên đôn đốc, tư vấn, hỗ trợ.
Bước 3: ( Thời gian 90’)
- Học sinh trình bày dự án đã hoàn thành. Các nhóm thảo luận góp ý kiến.
Bước 4: (Thời gian 90 phút)
- Đánh giá hiệu quả làm việc của từng nhóm bằng một bài kiểm tra.
Bước 5: ( Thời gian 90 phút)
Giáo viên tổng kết thành cách giải quyết hiệu quả nhất cho dự án.
Nhiệm vụ của học sinh.

18
- Làm bài tập và các nhiệm vụ giáo viên giao.
Điều chỉnh phù hợp đối tƣợng
Học sinh tiếp thu chậm
Không dành cho học sinh tiếp thu chậm
Học sinh học kém tiếng Anh
Giáo viên hỗ trợ trong quá trình đọc hiểu
Học sinh có năng khiếu Toán
Chủ động tìm thêm tài liệu, phát triển hướng nghiên
cứu tiếp theo.
Công nghệ - Phần cứng ( Đánh dấu vào các thiết bị cần thiết )


Sau đó xét một số ví dụ chứng minh bất đẳng thức bắng cách đưa về bộ ba biến đối xứng và
sử dụng bất đẳng thức Schur.
* Kĩ thuật lượng giác hóa
Sử dụng kĩ thuật này nhằm biến một bất đẳng thức đại số thành một bất đẳng thức
lượng giác và lợi dụng các tính chất đặc biệt của các hàm số lượng giác để làm cho chúng “dễ
chứng minh hơn”.Cụ thể bằng việc xét các ví dụ minh họa.
2.2.3. Kiểm tra, đánh giá sau dự án
2.2.3.1. Đề thi đánh giá hiệu quả làm việc của học sinh sau dự án.

19
2.2.3.2. Biên bản làm việc nhóm
Đây là căn cứ để giáo viên đánh giá nhiệm vụ và mức hoàn thành nhiệm vụ của từng
thành viên trong các nhóm.
2.2.3.3. Rubric đánh giá sự hợp tác
- Phiếu tự đánh giá làm việc nhóm
2.2.3.4. Phiếu đánh giá bài báo cáo
2.2.3.5. Phiếu đánh giá bài trình bày báo cáo bằng lời
2.2.3.6. Phiếu hỏi ý kiến học sinh sau dự án.
2.3. Kế hoạch bài dạy tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức
2.3.1. Kế hoạch bài dạy
- Giáo viên tổng kết các nội dung cơ bản cần nắm được về tính chất của tiếp tuyến và hàm lồi,
lõm trên một khoảng.
- Giáo viên gợi ý các tài liệu tham khảo.
- Giáo viên phát phiếu học tập trong đó bao gồm các bài toán cần giải.
- Giáo viên hướng dẫn các kĩ năng giải bài toán.
2.3.2. Hợp đồng học tập, kiểm tra và đánh giá
- Hợp đồng học tập
- Kiểm tra, đánh giá.
- Các bài tập bổ xung

20
25
30
35
40
45
50
Yếu
kém
Trung
Bình
Khá Giỏi

Một số kết luận:
- Lựa chọn phương pháp dạy học có vai trò quan trọng có liên quan chặt chẽ với nội
dung dạy học.
- Vệc dạy thực nghiệm đã đạt kết quả tốt và thiết kế bài giảng có tính khả thi.
3.1.2.1. Một số kết quả báo cáo của học sinh sau dự án
* Sử dụng các kĩ thuật đồng bậc, chuẩn hóa, pqr, lượng giác hóa …. để chứng minh một số
bất đẳng thức đại số:
3.1.2.2. Một số kết quả tự nghiên cứu của học sinh
* Sử dụng bất đẳng thức Jensen và các hệ quả để chứng minh một số bất đẳng thức đại số và
lượng giác.
3.2. Các đề xuất
3.2.1. Về phương diện phương pháp, hình thức và quản lí
3.2.1.1. Về phương diện phương pháp

21
Nói chung trong tình hình dạy học hiện nay, các phương pháp dạy học tiên tiến, hiện
đại cũng đã được giáo viên cố gắng khai thác, áp dụng và chỉnh sửa để phù hợp đối tượng học

5. Bùi Thị Hƣờng. Phương pháp dạy học môn Toán ở trung học phổ thông theo định hướng
tích cực. Nxb Giáo dục Việt Nam. 2010.
6. Phan Huy Khải. 10.000 bài toán sơ cấp – Bất đẳng thức. Nhà xuất bản Hà Nội, 1998.
7. Nguyễn Vũ Lƣơng (Chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng. Các bài giảng
về bất đẳng thức Cô – si. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005.
8. Nguyễn Vũ Lƣơng (Chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng. Các bài giảng về bất đẳng thức
Bunhiacopski. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007.
9. Nguyễn Vũ Lƣơng. Phương pháp dạy học môn Toán trong nhà trường THPT. Khoa Sư
phạm, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005.
10. Nguyễn Vũ Lƣơng. Một số kinh nghiệm giảng dạy cho Học sinh năng khiếu Toán – Tin
theo các mục tiêu nhận thức ở Khối Chuyên Toán – Tin, trường ĐHKHTN-ĐHQG-HN.
, 9/2010.
11. Thiết kế dự án hiệu quả.
12. Vũ Hồng Tiến. Một số phương pháp dạy học tích cực. Khoa Giáo dục Chính trị, Đại học
Sư Phạm Hà Nội. . 16/03/2007.

23
13. Lê Quang Sơn. Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học. Đại học Đà Nẵng,
www.ud.edu.vn/bankhcnmt/zipfiles/So9/7_son_lequang_9.doc.