Chủ đề:
SỐ CHÍNH PHƯƠNG

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ
SỐ CHÍNH PHƯƠNG.

I/ MỤC TIấU:
1/ Kiến thức: ễn tập cho học sinh về số chớnh phương và một số
tớnh chất cú liờn quan cũng như một số phương phỏp giải toỏn dựa vào số
chớnh phương.
2/ Kỹ năng: Học sinh cú kỹ năng ỏp dụng tớnh chất để nhận biết số
chớnh phương và giảimột số dạng toỏn cú liờn quan.
3/ Thỏi độ: Giỏo dục học sinh tớnh chớnh xỏc và vận dụng vào thực
tế.
II/ Lí THUYẾT:
1.Định nghĩa:
Số chính phương là một số bằng bỡnh phương của một số tự nhiên
Vớ dụ: 22515;93
22

Cỏc số 9; 225 là bỡnh phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số
chính phương
2. Một số tớnh chất:
a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận
cùng bởi 2; 3; 7; 8.
b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thỡ chữ số hàng chục là
2.
Thật vậy ,giả sử
2
5aM 
=

lẻ .
Thật vậy ,giả sử A = m
2
=a
x
.b
y
.c
z
…trong đó a,b,c ,…là các số
nguyên tố khác nhau,cũn x,y,z…là cỏc số nguyờn tố dương thế thỡ ,
A = m
2
=

(a
x
b
y
c
z
…)
2
= a
2x
.b
2y
.c
2z
…

a) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2
họăc 4n +3 (nN);
b) Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nN).
Giải
a) Một số tự nhiờn chẵn cú dạng 2k (kN), khi đó (2k)
2
= 4k
2
là
số chia hết cho 4 cũn số tự nhiờn lẻ cú dạng 2k+1 (kN) ,
Khi đó (2k+1)
2
= 4k
2
+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1.
Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4
hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc
4n+3(nN)
b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k

1 (k
N) khi đó bỡnh phương của nó có dạng(3k)
2
=9k
2
là số chia hết
cho 3 ,hoặc cú dạng (3k

1)
2

Vớ dụ3:
Tỡm số tự nhiờn n cú 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là
2 số chính phương
Trả lời
n là số tự nhiờn cú 2 chữ số nờn 10 ≤ n < 100,
do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ
nờn 2n+1 chỉ cú thể nhận một trong cỏc giỏ trị :25; 49; 81; 121; 169.
Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :
37; 73; 121; 181; 253.
Trong cỏc số trờn chỉ cú số 121=11
2
là một số chính phương.
Vậy số tự nhiờn cú 2 chữ số cần tỡm là n=40.
Vớ dụ 4:
Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thỡ p-1 và p+1
khụng thể là cỏc số chớnh phương
Giải
Vỡ p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiên nên p chia hết cho 2
và p khụng chia hết cho 4 (1)
a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m
2
(mN)
Vỡ p là số chẵn nờn p+1 là số lẻ , do đó m
2
là số lẻ ,vỡ thế m là số lẻ .
Đặt m=2k+1 (kN)
Ta cú m
2
= (2k+1)

Như vậy nếu (1) đúng thỡ (2) và (3) đều sai,
trỏi gió thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề
(2) và (3) đúng.
Đặt n + 20 = a
2
; n – 69 = b
2
(a, b

N và a > b)

=> a
2
– b
2
= 89 => (a + b)(a – b) = 89.1
Do đó:
a b 89
a b 1
 


 

suy ra a = 45. Vậy n = 45
2
–
20 = 2005
Bài 2: Cho N là tổng của 2 số
chớnh phương. Chứng minh

+ (a – b)
2
là tổng của 2 số
chớnh phương.
b/ N
2
= (a
2
+ b
2
)
2
= a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
2
= a
4
– 2a
2
b
2

+ b
2
+ 4a

2
)(c
2
+ d
2
) =
= a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ b
2
d
2
= a
2
c
2
+ b
2
d
2

2
+ y
2
+ z
2

Bài 5: Cho a, b, c, d là cỏc số
nguyờn thoả món: a – b = c + d.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+
d
2
luụn là tổng của 3 số chớnh
phương.
Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0
=> 2a(a – b – c – d) = 0
Nờn ta suy ra:
a
2
+ b
2

+ c
2
+ d

2
= n
4
+ 2n
3
+
3n
2
+ 2n + 1 =
= (n
2
+ n + 1)
2

n
2
+ n là một số chẵn n
2
+ n + 1 là một số lẻ.
Suy ra (n
2
+ n + 1)
2
là một số chớnh phương lẻ.
Bài 7: Cho a
n
= 1 + 2 + 3 + +
n
a/ Tớnh a
n+1


MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1.
Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1,
số B chỉ gồm m chữ số 4.
Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương.
Bài 2.
Tỡm một số tự nhiờn cú 2 chữ số, biết rằng hiệu cỏc bỡnh phương của số
đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một
số chính phương.
Bài3.
Tỡm số chớnh phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm ,
hàng nghỡn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
Bài 4.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số
gồm các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho
11 không ? Có số nào là số chính phương không?
Bài 5
Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang theo
một thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cỏch viết trờn cú thể là số chớnh
phương khụng?