ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ THỊ THU HÀ
KHUNG GABOR
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ THỊ THU HÀ
KHUNG GABOR
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN QUỲNH NGA
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 1
MỞ ĐẦU 2
1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Định lý Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Khung Gabor trong L
2
(R) 16
2.1 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Trong khi nghiên cứu các không gian véctơ, một trong những khái niệm
quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi véctơ trong không gian
có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên,
điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không có sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là
không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do
để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một
công cụ như vậy. Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn
mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử
trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần
tử khung.
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [3] trong
khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không
nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước
khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách
có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier
không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và
Meyer [2] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi.
Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ
liệu [4] .
Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L
2
(R) dựa trên hai lớp
toán tử trên L
2
(R) là:
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
(R) có dạng {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. Từ sau bài báo đó có rất nhiều
công trình nghiên cứu ra đời.
Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và
khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn " Khung Gabor " làm đề
tài luận văn cao học.
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
Các khái niệm và kiến thức chuẩn
bị
1.1 Phép biến đổi Fourier
Cho f ∈ L
1
(R), biến đổi Fourier
ˆ
f được định nghĩa bởi
ˆ
f (γ) :=
∞

−∞
f (x) e
−2πixγ


L
1
∩ L
2

(R) và hội tụ đến f trong không
gian L
2
, thì dãy

ˆ
f
k

∞
k=1
cũng hội tụ trong L
2
(R), với một giới hạn độc
lập với lựa chọn của {f
k
}
∞
k=1
. Định nghĩa
ˆ
f := lim
k→∞
ˆ

ˆ
f thuộc vào L
1
(R),
công thức nghịch đảo mô tả cách có được hàm f từ các giá trị
ˆ
f (γ) :
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Định lý 1.1.1: Giả sử rằng f,
ˆ
f ∈ L
1
(R), khi đó
f (x) =
∞

−∞
ˆ
f (γ) e
2πixγ
dγ, hầu khắp x ∈ R. (1.2)
Công thức từng điểm (1.2) đúng ít nhất với mọi điểm Lebesgue của f.
1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
Ta hãy bắt đầu bằng cách đưa ra động cơ thúc đẩy sự xuất hiện phép
biến đổi Fourier thời gian ngắn. Cho tín hiệu f (x) , biến số x thường được
giải thích như thời gian, và biến đổi Fourier
ˆ
f (γ) cung cấp thông tin về
độ dao động với tần số γ. Trong thực tế xuất hiện vấn đề là thông tin thời

g
(f) (y, γ) = f, E
γ
T
y
g.
Biến đổi Fourier thời gian ngắn là chìa khoá để có được phép biểu diễn
kiểu :
f (x) =
∞

−∞
∞

−∞
c
f
(a, b) e
2πibx
g (x −a) dbda.
1.3 Khung trong không gian Hilbert
Đặc trưng chủ yếu của một cơ sở trong không gian Hilbert H là f ∈ H
có thể được biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các phần tử
f
k
trong cơ sở:
f =
∞

k=1

}
n∈Z
là một họ của các số thực hoặc số phức. Rõ ràng là, cộng
đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khái niệm này; phải
mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980,
Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung. Khung được
giới thiệu một cách trừu tượng, và lại sử dụng trong ngữ cảnh của chuỗi
Fourier không điều hòa. Sau đó vào năm 1986 khi bắt đầu kỷ nguyên sóng
nhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [2] đã quan sát thấy rằng các khung
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
có thể được sử dụng để tìm ra khai triển chuỗi của các hàm trong L
2
(R)
tương tự như việc khai triển sử dụng cơ sở trực chuẩn. Đây là thời điểm
khi nhiều nhà toán học đã bắt đầu nhận thấy tiềm năng của khung. Điều
này trở nên rõ ràng hơn qua bài báo quan trọng của Daubechies, cuốn sách
của bà và bài báo trình bày tổng quan và nghiên cứu của Heil và Walnut
[5]. Kể từ đó, số lượng bài báo liên quan tới khung đã gia tăng đáng kể.
Định nghĩa 1.3.1 Một dãy {f
k
}
∞
k=1
của các phần tử trong H là một khung
cho H nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho:
Af
2

∞

k
}
m
k=1
= H.
Thật vậy, giả sử {f
k
}
m
k=1
là khung cho H, tức là tồn tại các hằng số
A, B > 0 sao cho:
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Af
2

∞

k=1
|f, f
k
|
2
 Bf
2
, ∀f ∈ H.
Giả sử phản chứng rằng span {f
k
}

m

k=1
f
2
.f
k

2
=

m

k=1
f
k

2

.f
2
.
Do đó ta có thể chọn B =
m

k=1
f
k

2


m

k=1
|f, f
k
|
2
: f ∈ W, f = 1

.
Rõ ràng là A > 0. Với f ∈ W , f = 0, ta có:
m

k=1
|f, f
k
|
2
=
m

k=1





f
f

k=1
= H.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Một dãy {f
k
}
k
được gọi là đầy đủ trong H nếu span {f
k
}
k
= H .
Chúng ta thường phải xem xét các dãy không đầy đủ nằm trong H;
chúng không thể hình thành khung trong H, nhưng chúng có thể hình
thành khung cho bao tuyến tính đóng của các phần tử:
Định nghĩa 1.3.3 Cho {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H. Chúng ta nói rằng
{f
k
}
∞
k=1
là một dãy khung nếu nó là khung cho span {f
k
}

, },
khung chặt với cận khung A = 2.
Nếu chỉ có e
1
được lặp lại thì chúng ta có
{f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
3
, }
là một khung với các cận A = 1, B = 2 .
(ii) Cho
{f
k
}
∞
k=1
:=

e
1

,

;
tức là, {f
k
}
∞
k=1
là dãy mà mỗi véc tơ
1
√
k
e
k
được lặp lại k lần.
Khi đó, cho mỗi f ∈ H,
∞

k=1
|f, f
k
|
2
=
∞

k=1
k



}
k∈I
là một khung
trong span{e
k
}
k∈I
, nghĩa là nó là một dãy khung.
Định nghĩa 1.3.5 Nếu một dãy {f
k
} vừa là cơ sở vừa là khung cho H thì
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
{f
k
} được gọi là một cơ sở Riesz.
Một dãy {f
k
}
∞
k=1
trong H được gọi là một dãy Bessel nếu tồn tại một
hằng số B > 0 sao cho
∞

k=1
|f, f
k
|
2

2
(N), T
∗
f = {f, f
k
}
∞
k=1
. (1.6)
T
∗
được gọi là toán tử phân tích.
Bằng việc kết hợp T và T
∗
chúng ta có toán tử khung
S : H → H, Sf = T T
∗
f =
∞

k=1
f, f
k
f
k
. (1.7)
Lưu ý rằng {f
k
}
∞

, khi đó các cận B
−1
, A
−1
là tối ưu của

S
−1
f
k

∞
k=1
.
Toán tử khung của

S
−1
f
k

∞
k=1
là S
−1
.
Chứng minh:
(i) S là bị chặn do là hợp của 2 toán tử bị chặn,
S = T T
∗

I − B
−1
S


= sup
f=1



I − B
−1
S

f, f




B−A
B
< 1,
Do đó S là khả nghịch.
( ii ) Lưu ý rằng với f ∈ H,
∞

k=1





2
 B


S
−1


2
f
2
.
Nghĩa là,

S
−1
f
k

∞
k=1
là một dãy Bessel. Từ đó suy ra rằng toán tử
khung của

S
−1
f
k


= S
−1
SS
−1
f
= S
−1
f. (1.8)
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung cho

S
−1
f
k

∞
k=1
bằng S
−1
. Toán tử
S
−1
giao hoán với cả S và I, vì vậy chúng ta có thể “nhân các bất đẳng
thức” AI  S  BI với S
−1
; sẽ tạo thành B
−1
I  S
−1
 A

−1
f
k



2
 A
−1
f
2
, ∀f ∈ H;
Do đó

S
−1
f
k

∞
k=1
là một khung với các cận khung B
−1
, A
−1
. Để chứng
minh tính cực trị của các cận khung, giả sử A là cận dưới tối ưu cho {f
k
}
∞

k=1
=


S
−1

−1
S
−1
f
k

∞
k=1
có cận
dưới
1
C
> A, nhưng điều này là mâu thuẫn. Vì vậy

S
−1
f
k

∞
k=1
có cận trên
tối ưu

là một dạng “cơ sở suy rộng”.
Định lý 1.3.7 Cho {f
k
}
∞
k=1
là một khung với toán tử khung S. Khi đó:
f =
∞

k=1

f, S
−1
f
k

f
k
, ∀f ∈ H. (1.9)
Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H .
Chứng minh: Cho f ∈ H, sử dụng các tính chất của toán tử khung trong
bổ đề 1.3.6,
f = SS
−1
f =
∞

k=1


k

∞
k=1
∈ 
2
(N), chuỗi hội tụ
không điều kiện. 
Tương tự, chúng ta có biểu diễn sau:
f = S
−1
Sf =
∞

k=1
f, f
k
S
−1
f
k
, ∀f ∈ H. (1.10)
Định lý 1.3.7 chỉ ra rằng mọi thông tin về f ∈ H nằm trong dãy

f, S
−1
f
k

∞

 Bf
2
(1.11)
với mọi f trong tập con trù mật V của H. Khi đó {f
k
}
∞
k=1
là một khung
trong H với các cận A, B.
Chứng minh: Ta cần chứng minh rằng điều kiện Bessel thỏa mãn với mọi
f ∈ H.
Giả sử g ∈ H và
∞

k=1
|g, f
k
|
2
> Bg
2
. Khi đó tồn tại một tập hữu
hạn F ⊂ N sao cho

k∈F
|g, f
k
|
2

∗
f
2
, ∀f ∈ V. (1.12)
Do T
∗
là bị chặn và V là trù mật trong H, suy ra (1.12) đúng với mọi
f ∈ H. 
1.4 Định lý Balian-Low
Trong không gian Hilbert L
2
(R) ta có cơ sở trực chuẩn Gabor
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14

e
2πimx
χ
[0,1]
(x −n)

m,n∈Z
=

E
m
T
n
χ
[0,1]

1

0
e
−2πixγ
dx =
e
−πiγ
i
sin πγ
πγ
.
Do χ
[0,1]
không liên tục, và sự dao động và phân rã chậm của ˆχ
[0,1]
, nên
hàm đặc trưng ít hấp dẫn theo cách nhìn của giải tích thời gian - tần số.
Người ta hy vọng các kết quả tốt hơn có thể đạt được bằng cách thay thế
hàm χ
[0,1]
bởi một hàm trơn g; không may, định lý Balian – Low chứng tỏ
có hạn chế trên các tính chất của g nếu ta muốn {E
m
T
n
g}
m,n∈Z
trở thành
một cơ sở Riesz.



= ∞. (1.13)
Định lý Balian – Low có nghĩa là một hàm g tạo ra một cơ sở Riesz
Gabor không thể địa phương hóa tốt trong cả thời gian và tấn số. Ví dụ,
g và ˆg không thể có ước lượng như
|g (x)| 
C
1 + x
2
, |ˆg (γ)| 
C
1 + γ
2
đồng thời xảy ra.
Nếu sự giảm nhanh hơn của g và ˆg là cần thiết, ta hỏi liệu có cần tất
cả các tính chất đặc trưng của cơ sở Riesz hoặc liệu có thể giảm nhẹ một
số tính chất. Tính chất chúng ta muốn giữ là với mọi f ∈ L
2
(R) có khai
triển hội tụ không điều kiện theo các phép biến điệu và tịnh tiến của hàm
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
g. Tuy nhiên, tính chất khai triển (hội tụ không điều kiện) thực sự có thể
kết hợp với g và ˆg giảm rất nhanh: phần trong định nghĩa của một cơ sở
phải bỏ đi là tính duy nhất của khai triển đó. Điều này đưa ta từ cơ sở
đến khung.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2

f (x).
Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L
2
(R) như một chồng
chất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L
2
(R). Có
hai cách để tiếp cận vấn đề này. Thứ nhất là tìm biểu diễn tích phân chứa
toàn bộ các tịnh tiến và biến điệu có thể, nghĩa là, biểu diễn như:
f (x) =
∞

−∞
∞

−∞
c
f
(a, b) e
2πibx
g (x − a) dbda. (2.1)
Ở đây chúng ta phải tìm một hàm c
f
của hai biến số làm điều này xảy
ra. Phương pháp thứ hai là để hạn chế các tham số tịnh tiến và biến điệu
trên một tập hợp con rời rạc Λ ⊂ R
2
và yêu cầu biểu diễn chuỗi của f
theo các hàm


/2
.
Khá lâu sau này David và Heller quan sát rằng hệ Gabor đặc biệt này dẫn
đến khai triển không ổn định và không phù hợp cho hầu hết các ứng dụng
về sau. David và Heller đề nghị khắc phục khó khăn này bằng cách lựa
chọn a, b sao cho ab < 1.
Giải tích Gabor đi theo hướng mới hoàn toàn với bài báo cơ sở của
Daubechies, Grossmann và Meyer từ năm 1986. Đây là lần đầu tiên ý
tưởng kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung. Các tác giả xây dựng
các khung chặt trong L
2
(R) có dạng {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. Từ sau bài báo đó
có rất nhiều công trình nghiên cứu ra đời.
Chương này chứa các cơ sở thiết yếu, như các điều kiện tương đương
(điều kiện cần và điều kiện đủ) cho {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung. Để cung
cấp bức tranh đầy đủ ta cũng nói đến hệ Gabor là trường hợp đặc biệt
của lớp lớn hơn, là hệ bất biến với các phép tịnh tiến. Các kết quả khái
quát về khung Gabor có thể tham khảo ở tài liệu tham khảo [1], [4], [5].

Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl-Heisenberg. Hàm g được
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh. Ta có thể viết lại như sau:
E
mb
T
na
g (x) = e
2πimbx
g (x − na) . (2.3)
Chú ý khi nói về khung Gabor, nghĩa là khung cho toàn bộ L
2
(R),
nghĩa là, ta sẽ không làm việc với các khung cho các không gian con.
Hệ Gabor {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
chỉ bao gồm các tịnh tiến với các tham số
na, n ∈ Z và các biến điệu với tham số mb, m ∈ Z . Điểm {(na, mb)}
m,n∈Z
tạo thành một dàn trong L
2
(R) , và vì lý do này thường gọi {E
mb
T
na

g (x − na − k/b), x ∈ R (2.4)
hội tụ một cách tuyệt đối với hầu khắp x ∈ R ; nó định nghĩa một hàm với
chu kỳ a, có hạn chế trên [0, a] thuộc về L
1
(0, a). Nghĩa là,

x →

n∈Z



f (x − na) g (x − na − k/b)




∈ L
1
(0, a) .
Chứng minh: Từ f, T
k/b
g ∈ L
2
(R) , ta có fT
k/b
g ∈ L
1
(R) . Do đó,
a




< ∞ với hầu khắp x ∈ [0, a].
Bây giờ khi ta biết rằng chuỗi trong (2.4) hội tụ với hầu khắp x ∈ [0, a],
ta cũng có thể kết luận rằng nó định nghĩa một hàm với chu kỳ a. 
Cho g ∈ L
2
(R) , xét hàm giá trị ma trận
M (x) := (g (x − na − m/b))
m,n∈Z
, x ∈ R (2.5)
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
để chính xác hơn, M (x) là định nghĩa tốt với hầu khắp x ∈ R như một
ma trận vô hạn, có phần tử hàng thứ m và cột thứ n là
M
m,,n
(x) = g (x − na − m/b) .
Giả sử M(x)
∗
là liên hợp chuyển vị của M (x), về mặt hình thức ta xét
tích số ma trận
M (x) M(x)
∗
có phần tử ở hàng thứ m và cột thứ n là
G
m,k
(x) =


T
na
g}
m,n∈Z
là khung Gabor là M (x) M(x)
∗
định nghĩa toán tử bị chặn ánh xạ 
2
(Z) vào 
2
(Z) . Giả sử rằng điều này
xảy ra, ta xét lại dãy hữu hạn {c
k
}
k∈Z
và đạt được
M (x) M(x)
∗
{c
k
}, {c
k
}
=

n∈Z

k∈Z

m∈Z

M (x) M(x)
∗
 0 trên 
2
(Z).
Đặc trưng của khung Gabor được phát hiện bởi Ron và Shen như sau:
Định lý 2.1.3 Giả sử A, B > 0 và cho hệ Gabor {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. Khi
đó {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là một khung trong L
2
(R) với các cận A, B nếu và chỉ
nếu
bAI  M (x) M(x)
∗
 bBI hầu khắp x, (2.7)
trong đó I là toán tử đồng nhất trên 
2
(Z) .
Một cách tự nhiên để sử dụng định lý 2.1.3 là đầu tiên chứng minh

mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung Gabor. Khi đó, với g
c
:= D
c
g, họ Gabor

E
mb/c
T
nac
g
c

m,n∈Z
là
khung với các cận khung giống như các cận khung của {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
.
Chứng minh: Các toán tử có dạng D
c
là unita. {D

T
nac
D
c
và mệnh đề được chứng minh. 
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
2.2 Điều kiện cần
Bây giờ ta chuyển sang câu hỏi rằng làm thế nào để có được khung
Gabor {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
trong L
2
(R) . Một trong những kết quả cơ bản
nhất nói rằng tích số ab quyết định liệu {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
có thể là một
khung trong L
2
(R) không.
Định lý 2.2.1 Giả sử g ∈ L
2

chỉ có thể là khung nếu ab  1, và khung là
thừa nếu ab < 1. Ta lưu ý là có thể chứng minh kết quả mạnh hơn (i) :
Khi ab > 1, họ {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
không thể đầy đủ trong L
2
(R) .
Giả thiết ab  1 không đủ để {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là một khung, cho dù
g = 0. Ví dụ, nếu a ∈

1
2
, 1

, các hàm

E
m
T
na

2
. (2.8)
Mệnh đề 2.2.2 Giả sử g ∈ L
2
(R) và cho a, b > 0. Giả sử rằng
{E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung với các cận khung A, B. Khi đó,
bA 

n∈Z
|g (x − na)|
2
 bB hầu khắp. (2.9)
chính xác hơn, nếu cận trên trong (2.9) không xảy ra thì {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
không phải là dãy Bessel ; nếu cận dưới không xảy ra thì {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z

k
+ bB

, k ∈ N,
ta nhận được một phân hoạch của ∆ thành các tập đo được tách rời
nhau. Ít nhất một trong số chúng, chẳng hạn như ∆
k

, có độ đo dương.
Bây giờ xét hàm f = χ
∆
k

và lưu ý là f
2
= |∆
k

| .Cho n ∈ Z, hàm
f
T
na
g có giá trong ∆
k

. Từ ∆
k

nằm trong một khoảng có độ dài
1

fT
na
g, E
mb



2
=
1
b
∞

−∞
|f (x)|
2
|g (x − na)|
2
dx
Do đó,

m,n∈Z
|f, E
mb
T
na
g|
2
=
1

2
=

B +
1
b (k

+ 1)

f
2
.
Nhưng khi đó B không thể là cận khung trên của {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
.
Chứng minh tương tự thấy rằng nếu điều kiện dưới trong (2.9) bị vi phạm,
thì A không là cận khung dưới của {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. 
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên