SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1 .
a) Giải bất phương trình
2
6 2 2(2 ) 2 1.x x x x− + ≥ − −
b) Giải hệ phương trình:
5 4 10 6
2
4 5 8 6
x xy y y
x y

+ = +


+ + + =



Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hệ phương trình sau có nghiệm
2

tại
,A B
và cắt
2
d
tại
,C D
thỏa mãn
2 2
16 5 . .AB CD AB CD+ + =
Câu4.
1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân
giác trong AL và
3
5 2 5
2
CM
AL
= −
.
Tính
b
c
và
cos A
.
2. Cho a,b
∈¡
thỏa mãn:
9

NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Câu1 Đáp án Điểm
3 điểm
Điều kiện:
1
.
2
x ≥
Đặt
2 1t x= −
(
0t ≥
) thì
2
2 1.x t= +
Khi đó ta có
2 2 2
6 2 2(2 ) 0 2 4 3( 1) 2 0x x x t x tx t t− + − − ≥ ⇔ + − − + + ≥
1.0
2 2
( ) (2 1) 0 ( 3 1)( 1) 0x t t x t x t⇔ + − + ≥ ⇔ + + − − ≥
0.5

1x t⇔ − ≥
(do
1
3 1 0; ; 0
2

x y

+ = +


+ + + =


Điều kiện:
5
4
x ≥ −

0.5
Th1:
0 0y x= ⇒ =
không thỏa mãn
0.5
Th2:
0y ≠
ta có:

5
5 4 3 2 2 3 4
(1) ( )( ) 0
x x
y y t y t t y t y ty y
y y
 
⇔ + = + ⇔ − + + + + =

x
x
x x

≤

⇔ ⇒ =


− + =


1y⇒ = ±

1
Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là:
{ }
( ; ) (1;1);( 1;1)x y = −
0.5
Câu2 Hệ đã cho tương đương với:
2
2
0 (1)
0 (2)
my y m
x yx y

− + =



thỏa mãn.
0,5
2
3 điểm
Th2:
0.m
≠
Phương trình (1) (ẩn
y
) không có nghiệm thuộc khoảng
( ; 4] [0; )−∞ − ∪ +∞
(*)
là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc
( 4;0),−
điều kiện là

2
2
1
2
1 4 0
1 4 0
4 0
4 0
m
m
y
y

∆ = − <

m
m
m

∆ = − <




∆ = − ≥



− −


− < <





+ −

− < <




⇔



− < − −






(B)
(với
1 2
,y y
là 2 nghiệm của phương trình (1)).
0.5
(A)
2
1 1
1 4
2 8
2 17
1 4 1 8
m
m
m m

− ≤ < −

⇔ ⇔ − ≤ < −


−
≤ ≤
0,5
Câu3
3 điểm
Gọi hình chiếu của
I
trên
1 2
,d d
lần lượt là
, .E F
khi đó
1 2
( ; ) ( ; )
2 6
; .
5 5
I d I d
IE d IF d= = = =
0,5
Gọi
R
là bán kính của đường tròn
( )C
cần tìm (
6
5
R >
)

5
R >
)

0.5
Vậy phương trình đường tròn
( )C
cần tìm là
2 2
( ) :( 2) ( 4) 8.C x y− + − =
0.5
4.a
3 điểm
Ta có:
b c
AL AB AC
b c b c
= +
+ +
uuur uuur uuur
0.5

2
2 2
CA CB AB AC
CM
+ −
= =
uuur uuur uuur uuur
uuuur

( )
2
2 2 2 2 2
1 1 2
2 . 9
9 9 9
AL AB AC AB AC AB AC b a= + = + + = −
uuur uuur uuur uuur

0.5
( )
2 2 2
2 2 2
3 9 9
5 2 5 . 5 2 5
2 4 9 4
CM CM a b
AL AL b a
−
= − ⇔ = = −
−

2 2
2 2
5 2 5
9
a b
b a
−
⇔ = −

0.5
Áp dụng (1) ta có :
2 2
2 2 2 2 2
4 2
( 4 )
1 1 4 4
4 4 4 16
p a a a b
b b
   
+
= + + + ≥ + + = +
 ÷  ÷
   
0.5
Mặt khác:
9
(1 2 )(1 )
2
a b+ + =
⇔

5
2
2
a b ab+ + =
(2) 0.25
Mà:
2

.Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và
1
2
b =
Vậy:
2 17MinP =
Đạt được khi a=1 và
1
2
b =
.
0.5
2 điểm
3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên:
Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc -7
⇒
loại vì phương trình f(x)-7=0 có 3 nghiệm
phân biệt
0,5
Th2:
( ) ( ) 7f m f n= =
và
( ) 7f p = −
Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và
m p n p− ≥ −
ta có: m,n là nghiệm pt:
2
7 0x ax b− + − =
và p là nghiệm pt:
2


⇒ − =


− =


⇒

− = −


⇒ − = −

− = −




0,5
Th3:
( ) ( ) 7f m f n= = −
và
( ) 7f p =
,khiđó hoàn toàn tương tự ta có:

( )( ) 14p n m p− − = −
⇒
7
2