BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
− − − − − − − − −
ĐẶNG ĐÌNH HANH
PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC
ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2011
Công trình được hoàn thành tại:
KHOA TOÁN - TIN, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang
Phản biện 1: GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng
Viện Toán học
Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết
Trường Đại học Huế
Phản biện 3: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn
Trường ĐH Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- THƯ VIỆN QUỐC GIA
- THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
1
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac Lane
[Rice.Univ.Studies 49(4)(1963), 28-46], J. Bénabou [C. R. Acad. Sci 253(1963) 1887-

categories in dimension 2, PhD thesis (2008)].
Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street [J of Pure
and Applied Algebra 71(1991) 43-51], như là sự khái quát hóa của khái niệm tâm của
một vị nhóm. Tâm của một phạm trù monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và
tầm thường, đó là một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và không
đối xứng. Sau đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm
2
phạm trù [Applied Categorical Structures 12(2004) 35-61] và nhóm phạm trù phân bậc
[Applied Categorical Structures 13(2005) 131-140]. Trong [Advances in Mathematics
225(1)(2010) 319-348], A. Davydov đã nghiên cứu về tâm đầy của một đại số trong
phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và đã thiết lập bất biến Morita của xây
dựng này bằng cách mở rộng nó đến các phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal
cũng xuất hiện trong bài toán đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S.
Majid [Suppl. Rend. Circ. Math. Palermo 26(1991) 197-206].
Trong [Advances in Mathematics 102(1993) 20-78], A. Joyal và R. Street đã phân lớp
các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S.
Eilenberg và S. Mac Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben
H
3
ab
(G, A) [Annals of Mathematics 60(1)1954 49-139]. Trước đó, trường hợp nhóm phạm
trù đối xứng (hay phạm trù Picard) đã được phân lớp bởi H. X. Sính [Gr-catégories,
Thèse de Doctorat (1975)].
Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra bởi A.
Fr¨ohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [Compositio Mathematica
28(3)(1974) 229-285] (sau này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân
bậc [Advances in Mathematics 213(2) (2007) 644-686]). Các định lý phân lớp đồng luân
cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng
của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã được trình bày theo thứ tự trong [Applied
categorical Structures 13(2005) 131-140], [J of Pure and Applied Algebra 209(2007) 411-

MaL
(R, M) ([arXiv.0804.1820v4[math.CT]]). Trường hợp chính
quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện c
X,X
= 0 đối với mọi vật X) đã được
phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla H
3
Sh
(R, M) ([Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ
(1988)]). Từ các kết quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung
đã giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính
quy [Ann-phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)] Mỗi Ann-phạm trù
được xem như một one-object của Gpd-categories trong luận án của M. Dupont [Abelian
categories in dimension 2, PhD Thesis (2008)], hay như một one-point enrichments of
SPC của V.Schmitt [arXiv:0812.0150v2[math.CT]].
Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [J. of Homotopy and Related Structures
2(2)(2007) 187-216] đã đưa ra khái niệm vành phạm trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên
đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm
trù và vành phạm trù như thế nào? Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp
kia hay chúng chỉ giao nhau một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành
theo cách gọi trong [Abelian categories in dimension 2, PhD Thesis (2008)]. Năm 2010,
các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã định nghĩa các 2-môđun
trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành [arXiv:1005.2831v1[math.CT]].
Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn có
những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán tồn tại
và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát, mối
liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp Ann-phạm trù, Vì
vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và các
Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu trên.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp Ann-phạm
trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói
chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết quả về tâm của một phạm
trù monoidal đã được đưa ra trong [J. of Pure and Applied Algebra 2(2)(1991) 43-51].
Trên cơ sở xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính
phân phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:
phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.4.1), một khẳng định
được A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [Compositio
Mathematica 28(3)(1974) 229-285].
Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng của mỗi
Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) (Mệnh đề 4.1.6, Mệnh đề
4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện
(Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định lý phân lớp cho các Ann-phạm
trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2).
VI. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN
Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc
5
monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall, N. T. Quang,
M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili, V. Schmitt, M.
Dupont, luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho lớp phạm trù này. Đồng
thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann-phạm trù, điều này trước đây
chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc monoidal. Các kết quả mà luận án đạt
được bổ sung thêm các kết quả đã có về việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số
thuần túy lên lý thuyết phạm trù, góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng
cũng như sự phát triển chung của Toán học hiện đại.
VII. BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, luận án gồm bốn chương sau.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử
Chương 3: Ann-phạm trù bện

B,A,C
◦ (c
A,B
) = a
−1
B,A,C
◦ c
A,B⊗C
◦ a
−1
A,B,C
; (1.7)
c
A,C
◦ a
A,C,B
◦ (id
A
◦c
B,C
) = a
C,A,B
◦ c
A⊗B,C
◦ a
A,B,C
. (1.8)
Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c) bao gồm
một phạm trù monoidal C và một bện c.
Hơn nữa, nếu

1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù
Định nghĩa 1.2.5. (H.X.Sinh) Một Gr-phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất
cả các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các mũi
tên đều là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.2.8. (H.X.Sinh) Một phạm trù Picard hay một Pic-phạm trù P là một
Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết hợp.
1.3 Ann-phạm trù
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù
Định nghĩa 1.3.1. (N.T.Quang) Một Ann-phạm trù gồm:
(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;
(ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a
+
, c
+
, g, d, sao cho (A, ⊕, a
+
, c
+
, (0, g, d))
là một nhóm phạm trù đối xứng;
(iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho
(A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal;
(iv) Các đẳng cấu tự nhiên L, R (các ràng buộc phân phối bên trái, bên phải)
L
A,X,Y
: A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ),
R
X,Y,A
: (X ⊕ Y ) ⊗ A → (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A),
sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

X,Y
= R
X,Y,A
.
là những ⊕−hàm tử tương thích với a
+
, và với c
+
.
(Ann-2) Đối với mọi vật A, B, X, Y ∈ A các biểu đồ sau là giao hoán:
(a
A,B,X
⊗ a
A,B,Y
) ◦
˘
L
A
BX,BY
◦ (id
A
⊗
˘
L
B
X,Y
) =
˘
L
AB

A,Y,B
) ◦
˘
L
A
XB,Y B
◦ id
A
⊗
˘
R
B
X,Y
=
˘
R
B
AX,AY
◦ (
˘
L
X,Y
⊗ id
B
) ◦ a
A,X⊗Y,B
; (1.15)
(
˘
L

8
trong đó v = v
U,V,Z,T
: (U ⊕ V ) ⊕ (Z ⊕ T ) → (U ⊕ Z) ⊕ (V ⊕ T ) là mũi tên duy nhất
được xây dựng từ a
+
, c
+
, id trong phạm trù monoidal đối xứng (A, ⊕).
(Ann-3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau là giao hoán:
l
X⊗Y
= (l
X
⊗ l
Y
) ◦
˘
L
1
X,Y
; (1.17)
r
X,Y
= (r
X
⊗ r
Y
) ◦
˘

F X
⊗
˘
F
Y,Z
) ◦

F
X,Y ⊕Z
= (

F
X,Y
⊕

F
X,Z
) ◦
˘
F
XY,XZ
◦ F (
˘
L
X
Y,Z
); (1.51)
˘
R
F Z

(F,
˘
F ,

F , F
∗
) và (K,
˘
K,

K, K
∗
) nếu nó đồng thời là một ⊕−mũi tên và ⊗−mũi tên.
Ann-hàm tử (F,
˘
F ,

F , F
∗
) : A → A

được gọi là một Ann-tương đương nếu tồn tại một
Ann-hàm tử (F

,
˘
F

,


1
(A) = Aut(0) là một nhóm aben mà luật hợp thành được ký hiệu bởi dấu +.
Từ Định lý 1.6, chương IV [Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)] và Định lý 7.6
[arXiv.0804.1820v4[math.CT]], mỗi Ann-phạm trù A được xác định duy nhất, sai khác
bởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng:
1. Vành π
0
(A) các lớp vật đẳng cấu của phạm trù A;
2. π
0
(A)-song môđun π
1
(A) = Aut(0);
3. Phần tử [h] ∈ H
3
MacL
(π
0
(A), π
1
(A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa Mac Lane).
9
Chương 2
Một số kết quả về Ann-phạm trù và
Ann-hàm tử
Các kết quả nghiên cứu về Ann-phạm trù đã được đưa ra bởi Nguyễn Tiến Quang [Ann-
phạm trù, Luận án Tiễn sĩ (1988), arXiv.0804.1820v4[math.CT], ]. Trong [Ann-phạm
trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)], Trần Phương Dung đã nghiên cứu
về các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy. Chương này chúng tôi trình bày
các kết quả nghiên cứu nối tiếp về Ann-phạm trù. Mục 2.1 trình bày về các kết quả

❄
v

✲
˘
F
✲
˘
F +
˘
F
(2.1)
Mệnh đề 2.1.3. Trong định nghĩa của Ann-hàm tử, điều kiện (F,
˘
F ) là ⊕-hàm tử
monoidal đối xứng tương đương với hai điều kiện sau:
(i) (F,
˘
F ) tương thích với các ràng buộc đơn vị của phép cộng,
(ii) (F,
˘
F ) tương thích với các ràng buộc kết hợp–giao hoán v, v

.
10
2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q)
Định nghĩa 2.1.5. Giả sử S = (R, M, h), S

= (R


là một Ann-hàm tử từ S đến S

. Khi đó (F,
˘
F ,

F ) là một hàm tử kiểu (p, q).
2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa
Mac Lane
Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã được
Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý
4.2, Định lý 4.4 [Ann-phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)]) nhờ
các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của
Shukla [Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)]. Trong phần này, bằng cách sử dụng
tiêu chuẩn tương đương của các Ann-hàm tử đã được trình bày trong mệnh đề 2.1.3,
chúng ta sẽ giải quyết bài toán đó cho trường hợp các Ann-phạm trù tổng quát nhờ
các lớp đối đồng điều vành của Mac Lane. Trong cả mục này ta ký hiệu S, S

là những
Ann-phạm trù dạng (R, M, h), (R

, M

, h

).
Định nghĩa 2.1.7. Nếu F : S → S

là một hàm tử kiểu (p, q) thì F cảm sinh các 3-đối
chu trình h

cản trở [k] = 0 trong H
3
MacL
(R, M

).
Định lý sau trình bày về sự phân lớp các Ann-hàm tử có cùng kiểu (p, q).
Định lý 2.1.9. Nếu có một Ann-hàm tử (F,
˘
F ,

F ) : S → S

, kiểu (p, q) thì:
(i) Tồn tại một song ánh giữa tập các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử kiểu (p, q)
và nhóm đối đồng điều H
2
MacL
(R, M

) của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun
M

.
(ii) Tồn tại một song ánh: Aut(F ) → Z
1
MacL
(R, M

).


là một hàm tử kiểu (p, 0). Tồn tại một Ann-hàm
tử mạnh (F, id,

F ) khi và chỉ khi lớp đối đồng điều [h
∗
] = 0 trong nhóm đối đồng điều
nhóm H
3
Hochs
(R, M

).
Định lý 2.1.13 Nếu có một Ann-hàm tử mạnh (F, id,

F ) : S → S

, kiểu (p, 0) thì:
(i) Tồn tại một song ánh từ tập hợp các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử mạnh kiểu
(p, 0) đến nhóm đối đồng điều H
2
Hochs
(R, M

) của vành R lấy hệ tử trong R−song
môđun M

.
(ii) Tồn tại một song ánh
Aut(F ) → Z

] ∈ H
3
MacL
(R, π
1
), k
∗
= θ
∗
(k).
Chúng ta có kết quả sau nói về mối liên hệ giữa cản trở của một đồng cấu chính quy
và cản trở của Ann-hàm tử:
Mệnh đề 2.1.14. Giả sử S = (π
0
, π
1
, k) là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trù
chặt chẽ M
A
. Khi đó:
(i) π
0
= P
A
= M
A
/µA, π
1
= C
A

phạm trù monoidal trên V. Một (C, F )-môđun phải là một vật A của V và một phép biến
đổi tự nhiên u
A,X
: A ⊗ F (X) → F (X) ⊗ A sao cho u
A,1
= id và biểu đồ sau giao hoán
A ⊗ (F X ⊗ F Y )
F X ⊗ A ⊗ F Y F X ⊗ F Y ⊗ A
A ⊗ F(X ⊗ Y ) F (X ⊗ Y ) ⊗ A
✲
u
A,X
⊗id
✲
id ⊗u
A,Y
✻
id ⊗

F
✲
u
A,X⊗Y
✻

F ⊗id
(2.38)
Định lý 2.2.3.(Majid) Giả sử V là một phạm trù monoidal và C là một phạm trù
monoidal trên V. Giả sử C
∗

trên A. Một (B, F )-môđun phải là một cặp (A, u
A
) gồm vật A trong A và phép biến đổi
tự nhiên u
A,X
: A ⊗ F (X) → F (X) ⊗ A sao cho u
A,1
= id, các biểu đồ (2.38) , (2.41) giao
13
hoán với mọi vật X thuộc B.
A ⊗ (F X ⊕ F Y ) (A ⊗ F X ) ⊕ (A ⊗ F Y ) (F X ⊗ A) ⊕ (F Y ⊗ A)
A ⊗ F (X ⊕ Y ) F (X ⊕ Y ) ⊗ A (F X ⊕ F Y ) ⊗ A
✲
˘
L
A
F X,F Y
✲
u
A,X
⊕u
A,Y
✲
u
A,X⊕Y
✻
id ⊗
˘
F
✲

),(C,u
C
)
= L
A,B,C
, R
(A,u
A
),(B,u
B
),(C,u
C
)
= id .
2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù
Có nhiều cách khác nhau để phạm trù hóa tiên đề của cấu trúc vành. Nguyễn Tiến
Quang là người đầu tiên thực hiện điều này với khái niệm được đưa ra là Ann-phạm
trù. Sau đó, năm 2007, M. Jibladze và T. Pirashvili với ý tưởng trộn lẫn hai ràng buộc
kết hợp và giao hoán của phép toán ⊕ thành ràng buộc kết hợp-giao hoán đã đưa ra
khái niệm vành phạm trù [J. of Homotopy and Related Structure 2(2)(2007) 187-216].
Các kết quả dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm này.
Định lý 2.3.3. Mỗi Ann-phạm trù là một vành phạm trù.
Trong hệ tiên đề của một vành phạm trù R, các hàm tử (L
A
,
˘
L
A
), (R
A

A
) xác định bởi các hệ thức:
L
A
= A ⊗ −,
˘
L
A
X,Y
= L
A,X,Y
,
R
A
= − ⊗ A,
˘
R
A
X,Y
= R
X,Y,A
.
là những ⊕-hàm tử tương thích với các ràng buộc đơn vị (0, g, d) của phép toán ⊕.
Với sự bổ sung này, chúng ta có kết quả sau.
Định lý 2.3.4. Mỗi vành phạm trù thoả mãn điều kiện (U) là một Ann-phạm trù.
14
Chương 3
Ann-phạm trù bện
Trong chương này chúng tôi đưa ra khái niệm Ann-phạm trù bện và một trường hợp
riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, với các tiên đề của nó được chọn một cách tự

0,0
= id.
Một Ann-phạm trù bện được gọi là một Ann-phạm trù đối xứng nếu bện c là ràng buộc
đối xứng.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày một số ví dụ về Ann-phạm trù bện và Ann-phạm trù
đối xứng.
Ví dụ 3.1.2. (Ann-phạm trù bện kiểu (R, M))
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và R-môđun M. Với một 3-đối chu trình
chuẩn tắc bất kỳ h ∈ Z
3
MacL
(R, M) có một Ann-phạm trù S = (R, M) được xác định như
sau: vật của S là phần tử của R, mũi tên là những tự đẳng cấu (x, a) : x → x. Hợp thành
của các mũi tên trong S là phép cộng trong M. Hai phép toán ⊕ và ⊗ trên S được xác
15
định như sau:
x ⊕ y = x + y, (x, a) ⊕ (y, b) = (x + y, a + b);
x ⊗ y = x.y, (x, a) ⊗ (y, b) = (xy, xb + ya).
Các ràng buộc của đơn vị đối với hai phép toán đều là chặt chẽ, các ràng buộc kết hợp,
giao hoán của phép cộng, ràng buộc kết hợp của phép nhân và các ràng buộc phân phối
tương ứng là các hàm của 3-đối chu trình h = (ξ, η, α, λ, ρ). Khi đó S là Ann-phạm trù
bện với ràng buộc bện là hàm β : R
2
→ M thỏa mãn các hệ thức (4.3), (4.4) và (4.5).
Trong trường hợp S là một Ann-phạm trù đối xứng thì hàm β thoả mãn các hệ thức
(4.3), (4.5) và hệ thức (3.2) dưới đây:
β(x, y) + β(y, x) = 0. (3.2)
Ví dụ 3.1.3. (Tâm của một Ann-phạm trù)
Trước khi trình bày ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, chúng ta nhắc lại khái niệm
tâm của một phạm trù monoidal.

). (3.4)
Một mũi tên f : (A, u
A
) → (B, u
B
) trong Z
V
là một mũi tên f : A → B sao cho với mọi
X ∈ V ta có
u
B,X
◦ (f ⊗ id
X
) = (id
X
⊗f) ◦ u
A,X
. (3.5)
Tích tensor của hai vật trong Z
V
được xác định như sau:
(A, u
A
) × (B, u
B
) = (A ⊗ B, u
A⊗B
), (3.6)
trong đó:
u

16
Bây giờ ta sẽ trình bày khái niệm tâm C
A
của một Ann-phạm trù A và chứng tỏ
rằng, cùng với các phép toán và các ràng buộc cảm sinh, C
A
trở thành một Ann-phạm
trù bện.
Định nghĩa 3.1.5. Tâm của Ann-phạm trù A, ký hiệu là C
A
, là phạm trù trong đó các
vật là các cặp (A, u
A
), với A ∈ Ob(A) và
u
A,X
: A ⊗ X −→ X ⊗ A
là các đẳng cấu tự nhiên thoả mãn các đẳng thức (3.3), (3.4) và đẳng thức sau đây:
u
A,X⊕Y
= (u
A,X
⊕ u
A,Y
) ◦ L
A,X,Y
. (3.9)
với mọi X, Y ∈ Ob(A).
Mũi tên f : (A, u
A

= u
A,B
: (A, u
A
) × (B, u
B
) → (B, u
B
) × (A, u
A
).
3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện
Trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện ta thấy rằng biểu đồ (3.1) cho phép xác
định ràng buộc phân phối bên phải R qua ràng buộc phân phối bên trái L và ràng buộc
giao hoán c. Điều đó khiến chúng ta phải xét đến tính chất độc lập hay phụ thuộc của
các tiên đề có liên quan đến ràng buộc phân phối bên phải R (hoặc bên trái L), cũng
như tính phụ thuộc của một số điều kiện khác trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù
bện.
Mệnh đề 3.2.1. Trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện, tính tương thích của hàm
tử (R
A
,
˘
R
A
) [tương ứng, (L
A
,
˘
L

,
˘
R
A
) với các ràng buộc a
+
,
c
+
và tính tương thích của các hàm tử (L
A
,
˘
L
A
) với ràng buộc c
+
.
3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza
Dưới đây chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ giữa khái niệm Ann-phạm trù đối xứng
và phạm trù có tính phân phối theo nghĩa của M. L. Laplaza [Lecture Notes Math
281(1972) 29-65], từ đó đưa ra một thu gọn cho hệ tiên đề này và suy ra tính khớp trong
một Ann-phạm trù đối xứng.
Mệnh đề 3.3.1. Mỗi Ann-phạm trù đối xứng là một phạm trù có tính phân phối.
Hệ quả 3.3.3. Cho (A, ⊕, ⊗) là một phạm trù có tính phân phối. Nếu mọi vật của (A, ⊕)
đều khả nghịch và phạm trù nền của nó là một groupoid thì (A, ⊕, ⊗) là một Ann-phạm
trù đối xứng.
Hệ quả 3.3.4. Trong hệ tiên đề M. L. Laplaza của phạm trù với ràng buộc phân phối,
các tiên đề sau là phụ thuộc: tính tương thích của các hàm tử (R
A

đi đẳng cấu phân phối phải
Mệnh đề 3.4.4. Cho phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A sao cho
(A, ⊕, a
+
, c
+
, (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng và (A, ⊗, a, c, (1, l, r)) là một phạm
18
trù monoidal đối xứng. Khi đó A cùng với đẳng cấu tự nhiên
L : A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y )
là một Ann-phạm trù đối xứng khi và chỉ khi (L
A
= A ⊗ −,
˘
L
A
X,Y
= L
A,X,Y
) là những
⊕−hàm tử tương thích với a
+
, c
+
, và các biểu đồ (1.13), (1.17), (3.13) giao hoán.
(
˘
L
X
A,B

A
X,Y
⊕
˘
L
B
X,Y
) ◦ (c
X⊕Y,A
⊕ c
X⊕Y,B
) ◦
˘
L
X⊕Y
A,B
.
(3.13)
19
Chương 4
Phân lớp đối đồng điều các Ann-phạm
trù bện
Trong chương này, chúng tôi sẽ chuyển các kết quả phân lớp về Ann-phạm trù tới Ann-
phạm trù bện. Trước hết, chúng tôi mở rộng kỹ thuật chuyển cấu trúc để xây dựng
Ann-phạm trù bện thu gọn SA của Ann-phạm trù bện A. Phạm trù này là tương đẳng
với Ann-phạm trù bện ban đầu, và từ đó chúng tôi tiến hành giải bài toán về sự tồn
tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện giữa các Ann-phạm trù bện trên các thu gọn của
chúng. Trong mục 4.3, chúng tôi chứng minh các kết quả chính của chương này, đó là
các Định lý phân lớp của các Ann-phạm trù bện.
4.1 Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện

∼
→ id
A
, F K
∼
→ id
A

, ta nói (F,
˘
F ,

F , F
∗
) là một Ann-tương đương bện và A,
A

là Ann-bện tương đẳng.
Phép chuyển cấu trúc cho một phạm trù monoidal đã được trình bày bởi N. Saavedra
Rivano [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265 (1972)], H. X. Sính [Gr-
catégories, Thèse de Doctorat (1975)]. Sau đó N. T. Quang [Ann-phạm trù, Luận án
Tiến sĩ (1988)] đã mở rộng một cách tự nhiên phép chuyển cấu trúc cho các Ann-phạm
trù. Phép chuyển này có thể mở rộng cho các Ann-phạm trù bện.
Mệnh đề 4.1.4. Giả sử (F,
˘
F ,

F , F
∗
) : A → A

Dưới đây chúng ta sẽ sử dụng phép chuyển cấu trúc để xây dựng Ann-phạm trù bện
thu gọn của một Ann-phạm trù bện.
Cho A là một Ann-phạm trù bện. Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu π
0
(A) của A là
một vành đối với hai phép toán +, ×, cảm sinh bởi luật ⊕, ⊗ trên A, còn π
1
(A) = Aut(0)
là một π
0
(A)-song module. Do tính bện của phép toán ⊗ nên vành π
0
(A) là giao hoán.
Hơn nữa, các tác động hai phía của vành π
0
(A) lên π
1
(A) là trùng nhau.
Giả sử A là một Ann-phạm trù bện. Gọi SA là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm
trù A. Dưới đây, chúng ta sẽ thực hiện phép chuyển bện c của Ann-phạm trù bện A cho
SA để SA trở thành một Ann-phạm trù bện.
Mệnh đề 4.1.6. Nếu A là một Ann-phạm trù bện với bện c thì SA là một Ann-phạm
trù bện với bện cảm sinh c

= (•, β) cho bởi biểu đồ giao hoán sau
X
r
⊗ X
s
X

G, G
∗
) là những Ann-tương đương bện và chúng
được gọi là các Ann-tương đương bện chính tắc.
Ta gọi SA là một Ann-phạm trù bện thu gọn của A.
Một Ann-phạm trù bện thu gọn SA của Ann-phạm trù bện A được gọi là một Ann-
phạm trù bện kiểu (R, M) khi ta thay π
0
A bởi R và π
1
A bởi M.
Để thiết lập các mệnh đề tiếp theo, như H. X. Sính đã làm cho các phạm trù Picard,
sau đây chúng tôi đưa ra định nghĩa phức cụt của vành giao hoán.
Trong trường hợp vành R giao hoán và M là một R-môđun, chúng ta xác định một
phức đối dây chuyền cụt như sau
∼
C
ab
(R, M) : 0 → C
1
ab
(R, M)
∂
−−−→ C
2
ab
(R, M)
∂
−−−→ Z
3

∂t = ∂
MacL
t,
và với mỗi g = (µ, ν) ∈ C
2
ab
(R, M), đối bờ ∂g của nó được cho bởi
∂g = (∂
MacL
g, β),
với β(x, y) = ν(x, y) − ν(y, x).
Dưới đây chúng ta sẽ mô tả chi tiết các ràng buộc của một Ann-phạm trù bện SA
kiểu (R, M). Ta gọi họ (h, β), với h = (ξ, η, α, λ, ρ), là một cấu trúc của SA.
Mệnh đề 4.1.7. Trong Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) các ràng buộc đơn vị của hai phép
toán là chặt chẽ, và họ các ràng buộc còn lại liên kết với một cấu trúc (h, β) ∈ Z
3
ab
(R, M).
4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q)
Định nghĩa 4.2.1. Một hàm tử F : S → S

được gọi là một hàm tử kiểu (p, q) nếu
F (x) = p(x), F (x, a) = (p(x), q(a)),
trong đó p : R → R

là một đồng cấu vành và q : M → M

là một đồng cấu nhóm thỏa
mãn
q(xa) = p(x)q(a), x ∈ R, a ∈ M. (4.6)

(A) → π
1
(A

) ; u → γ
−1
F 0
(F u),
có các tính chất:
(i) F là một tương đương khi và chỉ khi F
0
, F
1
là những đẳng cấu.
(ii) Ann-hàm tử bện SF thoả mãn biểu đồ giao hoán
SF = G

◦ F ◦ H, (4.8)
với H, G

là những Ann-tương đương bện chính tắc.
Bởi vì
˘
F
x,y
= (•, µ(x, y)),

F
x,y
= (•, ν(x, y)), nên ta sẽ gọi g

∗
là các đồng cấu chính tắc
Z
3
ab
(R, M)
q
∗
−→ Z
3
ab
(R, M

)
p
∗
←− Z
3
ab
(R

, M

).
Ta ký hiệu tập hợp các lớp đồng luân của các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) từ S đến
S

là
Hom
BrAnn

BrAnn
(p,q)
[S, S

] ↔ H
2
ab
(R, M

); (4.11)
(ii)
Aut(F ) ↔ Z
1
ab
(R, M

).
4.3 Các định lý phân lớp
Ký hiệu BrAnn là phạm trù có các vật là các Ann–phạm trù bện A, các mũi tên là các
Ann–hàm tử bện giữa chúng.
Tương tự như Định lý phân lớp cho các phạm trù Picard phân bậc (Định lý 3.12
[Advances in Mathematics 213(2)(2007) 644-686]), chúng ta xác định phạm trù H
3
BrAnn
có vật là bộ ba (R, M, [h, β]) với [h, β] ∈ H
3
ab
(R, M) và (R, M, h, β) là một Ann–phạm trù
bện. Mũi tên (p, q) : (R, M, [h, β]) → (R


∗
(h, β)] ∈ H
3
ab
(R, M

). Hợp thành trong H
3
BrAnn
được cho bởi
(p

, q

) ◦ (p, q) = (p

p, q

q).
Chúng ta phát biểu kết quả chính của mục này.
Định lý 4.3.1. (Định lý phân lớp) Tồn tại một hàm tử giữa các phạm trù
d : BrAnn → H
3
BrAnn
A → (π
0
A, π
1
A, [(h, β)
A


). (4.12)
Do Mệnh đề 4.2.3 ta có thể đơn giản bài toán phân lớp tương đương các Ann–phạm
trù bện bằng việc phân lớp các Ann–phạm trù bện có chung (theo nghĩa sai khác một
đẳng cấu) hai bất biến đầu tiên.
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, M là một R-module (và xem như vành với
phép nhân không). Ta nói Ann–phạm trù bện A có tiền đính kiểu (R, M) nếu tồn tại
cặp đẳng cấu vành  = (p, q),
p : R → π
0
A, q : M → π
1
A
tương thích với tác động của module
q(su) = p(s)q(u)
với s ∈ R, u ∈ M. Cặp (p, q) được gọi là một tiền đính kiểu (R, M) đối với Ann-phạm trù
bện A.
Ký hiệu
BrAnn[R, M]
là tập các lớp tương đương của các Ann-phạm trù bện tiền đính kiểu (R, M). Định lý
dưới đây nói về bất biến thứ ba của một Ann-phạm trù bện.
Định lý 4.3.2. Tồn tại một song ánh
Γ : BrAnn[R, M] → H
3
ab
(R, M),
[A] → q
−1
∗
p