Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP
GV: VÕ THÀNH NHUNG
A. Đặt vấn đề :
Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải yêu cầu học sinh nắm được
chuẩn kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ
và động cơ học tập đúng đắn.
Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi
phân môn của toán học phổ thông,trong đó vấn đề giảng dạy và kỹ năng giải toán
hình học không gian cổ điển của thầy và trò còn nhiều điều cần nghiên cứu .
Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có
thể nói là rất trừu tượng, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó
khăn trong việc vẽ và nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để
giải bài tập toán còn nhiều hạn chế …
Xuất phát từ thực tế trên và qua nhiều năm giảng dạy môn hình học không
gian cổ điển tương đối có kết quả , nay tôi xin đề nghị một phương pháp để dạy
luyện tập bài tập chương khối đa diện trong các tiết bài tập và tự chọn trên lớp
hay tăng tiết của lớp (trên cơ sở chuẩn kiến thức và bài tập sách giáo khoa) để học
sinh rèn kỹ năng giải toán về khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh ,nhất là
học sinh trung bình - yếu kém lĩnh hội kiến thức cơ bản nhất .
I.Cơ sở lí luận :
Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy
các tiết dạy luyện tập về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện.
Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản hình
học của lớp dưới ,các kỹ năng phân tích đề bài và hình vẽ không gian để từ đó
suy luận ra quan hệ giữa kiến thức củ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và

bài tập khó hơn về khối đa diện.
• Thời gian thực hiện:
Các tiết bài tập theo phân phối chương trình và tự chọn ( hay các tiết bồi
dưỡng, phụ đạo , )
Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu,
học theo chương trình chuẩn hay nâng cao.
• Các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh:
+ Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác và tứ giác,
+ Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 còn rất hạn chế .
+ Kỹ năng tư duy phân tích giã thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong
hình không gian và hình học phẳng còn quá yếu.
+ Kỹ năng vẽ hình trong không gian quá kém.
III. Phương pháp luyện tập tổng quát môn hình học không gian cổ điển :
1. Mục đích yêu cầu:
+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác
thường, tam giác vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân, hình
vuông, chữ nhật …
+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song,
vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt
phẳng đã học ở lớp 11.
+ Hệ thống bài tập được phân loại theo khối đa diên và các dạng thông dụng
trong các kỳ thi : bài tập được soạn ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để và tinh
giản các bài tập trong sách giáo khoa kết hợp soạn thêm bài tập bằng cách sắp
xếp lại theo dạng từ đơn giản đến phức tạp trên cơ sở yêu cầu của chuẩn kiến
thức.
+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong
sách giáo khoa có bài ta cần thay đổi một số giả thiết :về độ dài của một
cạnh,về góc giữa đường thẳng với đường thẳng ,với mặt phẳng và góc giữa
mặt phẳng với mặt phẳng để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập
khó phải bổ sung thêm những câu hỏi hướng dẩn để giảm bớt độ tư duy phức

dụng cho các bài tập khác.
B. Nội dung thực hiện:
I.Ôn tập kiến thức cơ bản :

ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH
+=

e) BC = 2AM
f)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B

2
S =
a.h
a
=
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = − − −
với
2
a b c
p
+ +
=
Đặc biệt :*
ABC
∆
vuông ở A :
1
.
2
S AB AC
=
,*
ABC
∆

với nhau nếu chúng
không có điểm nào
chung.
a / /(P) a (P)
⇔ ∩ = ∅
a
(P)
II.Các định lý :
ĐL1:Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và
song song với đường
thẳng a nằm trên mp(P)
thì đường thẳng d song
song với mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)

⊄

⇒


⊂

d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a
song song với mp(P) thì




a
d
Q
P
Gv:Võ thành Nhung - 4 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào
chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)
⇔ ∩ = ∅
Q
P
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa
hai đường thẳng a, b cắt
nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì
(P) và (Q) song song với
nhau.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)
a/ /(Q),b / /(Q)


cắt (P) thì phải cắt (Q)
và các giao tuyến của
chúng song song.
(P)/ /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


∩ =

b
a
R
Q
P
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa :
Một đường thẳng được
gọi là vuông góc với một
mặt phẳng nếu nó vuông
góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
a mp(P) a c, c (P)
⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
P
c

vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu
a’ của a trên (P).
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
⊥ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa :
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt
phẳng chứa một đường
thẳng vuông góc với
một mặt phẳng khác thì
hai mặt phẳng đó vuông
góc với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)

⊥
⇒ ⊥


góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua
điểm A và vuông góc
với (Q) sẽ nằm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)

⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao

H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
B

a
a
a
B
h
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với
giao tuyến tại 1 điểm
b
a
Q
P

P
Q
a
b
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì
S' Scos= ϕ
trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
(P),(P’).

3
Bh
với
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao



Gv:Võ thành Nhung - 8 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt
thuộc SA, SB, SC ta có:

SABC
SA'B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
=
C'
B'
A'
C
B
A
S
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:


,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
II/ Bài tập:
Nội dung chính
Bài tập soạn trong các tiết dạy được phân loại theo các dạng thông dụng trong
các kỳ thi tốt nghiệp THPT và trên cơ sở chuẩn kiến thức đối với học sinh trung
bình yếu, đi từ dễ đến khó để đạt được yêu cầu thi tốt nghiệp THPT .
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1) Dạng 1 : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông
cân tại A có cạnh BC = a
2
và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập:
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ đứng tam giác .
Gv:Võ thành Nhung - 9 - Trường:THPTTX Sađec
a
3a
C'
B'
A'
C
B

đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập:
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tứ giác đều .
+ Học sinh không xác định được tam giác BDD' vuông tại D
+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính đường chéo đáy
+ Học sinh không tính được cạnh của hình vuông ABCD.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tứ giác đều ABCD hay A'B'C'D' .
+ Dựng các cạnh bên của lăng trụ đứng.
+ Học sinh dựng một đường chéo BD' của lăng trụ .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích V= B.h để có h =4a và tìm B trong hình là diên tích đối tượng nào ?
+Tìm diện tích đáy ABCD thì phải tìm cạnh nào ? tại sao ?
+Tìm BD thì dùng tam giác nào? tại sao ? Suy ra cạnh hình vuông ABCD ?
Gv:Võ thành Nhung - 10 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
5a
4a
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A

Lời giải:
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên

+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tam giác đều.
+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích của tam giác đều .
+ Học sinh không biết xác định I chân đường cao để vận dụng định lý 3 đường
vuông góc .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của lăng trụ đứng.
+ Dựng tam giác A'BC và các đường cao A'I , AI . Tại sao ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diên tích B = S
ABC
bằng công thức nào ?
+ Từ diện tích
A'BCV
suy ra cạnh nào ? tại sao ?
+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?
A'
C'
B'
A
B
C
I

Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
V
ABC đều nên

AB 3

B'
C'
A'
C
D'
C'
B'
B
D'
A
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không vẽ được tấm bìa còn lại sau khi cắt ở 4 góc của tấm bìa .
+ Học sinh không dựng được hình hộp theo đề bài yêu cầu
+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích đáy của hộp .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình:
+ Dựng tấm bìa và các đường cắt song song cạnh hình vuông.
+ Dựng hộp bằng cách gấp tấm bìa theo các đường cắt. Tại sao ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?
+ Tìm AB ? Suy ra B = S
ABCD
= AB
2
?
D'
A'
C'

+ Dựng chéo lớn AC của ABCD ? và chéo nhỏ của hình hộp?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì ?
Gv:Võ thành Nhung - 12 - Trường:THPTTX Sađec
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và S
ABCD
= 2S
ABD
=
2
a 3
2
Theo đề bài BD' = AC =
a 3
2 a 3
2

Đs: V = 240cm
3
và S = 248cm
2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;
30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm
2
. Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm
3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo
là 5a . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 24a
3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng
diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm
2
.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 64 cm
3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của
khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m
2
. Tính thể
tích khối lập phương Đs: V = 8 m
3
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ

một cạnh của tam giác .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng A'B ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC. Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC) A'A AB&AB⊥ ⇒ ⊥
là
hình chiếu của A'B trên đáy ABC .
Vậy
¼
o
góc[A'B,(ABC)] ABA' 60= =
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3⇒ = =V
S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2
=
Vậy V = S
ABC

+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
a
o
60
o
30
C'
B'
A'
C
B
A
Lời giải:
o
a 3
ABC AB AC.tan60
=
⇒ =
V
.
Ta có:
AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)⊥ ⊥ ⇒ ⊥
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] =
¼
BC'A
= 30
o


+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
một cạnh của tam giác .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng BD' và BD ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?
Gv:Võ thành Nhung - 15 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
o
30
a
D'
C'
A'
B'
D
C
B
A
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta
có:
DD' (ABCD) DD' BD⊥ ⇒ ⊥
và BD là hình
chiếu của BD' trên ABCD .

Tính thể tích của hình hộp.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
một cạnh của tam giác.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ đứng.
+ Dựng AB' ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD). Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Dựng BD. Suy ra tam giác ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của
ABCD bằng cách nào?
+Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A

A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ
ĐS:
3
a 2
V
16
=

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết
BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ.
ĐS:
3
a 3
V
2
=

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a
biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30
o
.
Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS:
AB' a 3=
;
3
a 3

=
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết
rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30
o
và hợp với (ABB'A') một góc 45
o
.
Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs:
3
a 2
V
8
=
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi
O là tâm của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30
o
.
Đs:1)
3
2a 6
V
9
=
;2)
3

3
và S = 6a
2
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c
và BD' = AC' = CA' =
2 2 2
a b c+ +
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.
Gv:Võ thành Nhung - 17 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng
thuộc đường chéo. Chứng minh rằng
2 2 2
sin x sin y sin z 1+ + =
.
3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc
60
0
.Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc đáy để suy ra tam giác
vuông
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài
các cạnh tam giác.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :

1 a
BA.BC
2 2
=
Vậy V = S
ABC
.AA' =
3
a 3
2
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 30
0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
Gv:Võ thành Nhung - 18 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.
+ Học sinh không biết cách tạo ra phương trình đại số để tìm độ dài một cạnh .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng mặt (A'BC) ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Nhận xét
A'BCV
có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí
AI và A'I thế nào với BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

o
Giả sử BI = x
3
2
32
x
x
AI
==⇒
.Ta có
x
xAI
AIIAAIA 2
3
32
3
2
30cos:':'
0
====∆
A’A = AI.tan 30
0
=
xx
=
3
3
.3
Vậy V
ABC.A’B’C’

Gv:Võ thành Nhung - 19 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
a
0
60
O
A'
D'
B'
C'
C
A
D
B
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nên
OC BD⊥
CC'
⊥
(ABCD) nên OC'
⊥
BD (đl 3
⊥
). Vậy
góc[(BDC');(ABCD)] =
¼
COC'
= 60
o


• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình chữ nhật ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình hộp .
+ Dựng mặt (A'BC) và đường chéo A'C ?
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?
+ Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ?
+ Tìm hình chiếu của A'C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A'C,(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
2a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Ta có AA'
(ABCD)⊥ ⇒
AC là hình chiếu
của A'C trên (ABCD) .
Vậy góc[A'C,(ABCD)] =
¼

⇒ = − =V
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
16a 2
3
Gv:Võ thành Nhung - 20 - Trường:THPTTX Sađec
Chuyên đề: Luyện tập về Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp
với đáy ABCD một góc 30
o
và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60
0
.
Tính thể tích hộp chữ nhật. Đs:
3
2a 2
V
3
=
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và
cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30
o
.Tính thể tích
khối lăng trụ. Đs: V = 3a
3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45
o
. Tính thể tích lăng

o
.
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45
o
.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1)
3
V a 3=
; 2) V =
3
a 3
4
; V =
3
a 3
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45
o
.
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
0
.
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
Đs: 1) V = 16a
3
. 2) V = 12a
3
.3) V =

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
a
2
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
Đs: 1)
3
3a 3
V
4
=
; 2) V =
3
3a 2
8
; V =
3
3a
2
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a
Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a
2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30
o
3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 30
0
Đs: 1)
3
2
V 8a=

H
o
60
a
B'
A'
C'
C
B
A
Lời giải:
Ta có
C'H (ABC) CH⊥ ⇒
là hình chiếu
của CC' trên (ABC)
Vậy
¼
o
góc[CC',(ABC)] C'CH 60= =
0
3a
CHC' C'H CC'.sin60
2
⇒ = =V
S
ABC
=
2
3a
4

mặt phẳng nào ? Tứ đó
có thể BC
⊥
CC' không ? tại sao? Vậy BB'C'C là hình gì?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA'' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
H
O
o
60
C'
A
a
B'
A'
C
B
Lời giải:
1) Ta có
A'O (ABC) OA⊥ ⇒
là hình
chiếu của AA' trên (ABC)
Vậy
¼
o
góc[AA',(ABC)] OAA' 60= =
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt
bên của lăng trụ)


AB =
3
AD =
7
.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy
những góc 45
0
và 60
0.
.

Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Hoạt động của giáo viên:
• Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh:
+ Học sinh không vẽ được hộp có đáy là hình chữ nhật.
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt bên với đáy hộp.
+ Học sinh không tạo ra được phương trình đại số có ẩn số là chiều cao của hộp.
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình chữ nhật ABCD và các cạnh bên của hình hộp .
• Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Xác định góc giữa mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H và HN
⊥
AD
HM
⊥
AB Suy ra góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào được ? Đặt x = A'H
+ Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?

Đặt A’H = x . Khi đó
A’N = x : sin 60
0
=
3
2x
AN =
HM
x
NAAA =
−
=−
3
43
''
2
22
Mà HM = x.cot 45
0
= x
Nghĩa là x =
7
3
3
43
2
=⇒
−
x
x

abc 3
4
Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và
điểm A' cách đều A,B,C biết AA' =
2a 3
3
.Tính thể tích lăng trụ. Đs:
3
a 3
V
4
=

Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có
hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb
BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60
o
.
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs:
3
3a 3
V
8
=
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b
CC' = a hợp với đáy ABC 1 góc 60
o
và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.

V
4 2
=
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu
vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của
hộp đôi một tạo với nhau một góc 60
o
.
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
3) Tính thể tích của hộp. Đs: 2)
2 2
ACC'A' BDD'B'
S a 2;S a= =
. 3)
3
a 2
V
2
=
Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
A = 60
o
chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2
đường chéo đáy biết BB' = a.
1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
Đs: 1) 60
o
2)