Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)
ĐỀ SỐ 1:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

MÔN THI TOÁN BẢNG A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 1

(4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
x
y

hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình
giới hạn bởi:
xy
2
log=
; x + y = 3; y = 0.
Bài 2


coscoscos
1
coscoscos ≤
++
+++
CBA
CBA
.
Bài 4

(4 điểm)
1. Giải phương trình
( ) ( ) ( )
[ ]
23log5log3
53
+=−+−− xxxx
.
2. Tính
x
xx
x
13121
lim
3
0
−++
→
.
Bài 5

+
+
+
≥
+
+
+
+
+
αα
α
αα
α
αα
α
αα
α
αα
α
αα
α
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac

( )
( )







=
−
−
−=
−
k
x
xx
xxk
x
x
2
2
0
2
1
2
1
có nghiệm
⇒
( )

+
=
=
1
1
2
0
0
0
0
xVoi
x
x
x
x
• Với x
0
= 0 ⇒ k = 0,
Với x
0
=
1
2
0
0
+x
x
⇒ k =
( )
2

1

223
0
±=x
• ⇒ M
1
(
223 +
; 0), M
2
(
223−
; 0).
0.5®
0.5®
0.5®
0.5®
2
Giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè
xy
2
log=
, vµ ®êng th¼ng x +y = - 3
lµ A(2; 1) ⇒ V = π
( )





2
1
2
ln.log
=
=π
( )
12ln2.log
2
−e
.
• V
2
=π
( )
dxx
∫
−
3
2
2
3
= = π
3
1
• V=π[
3
1
+
( )

B
i
ý
Ni dung i
m

1
= (m 2)
2
0 v
2
= (m 7)
2
0 m = 2 hoc m = 7 thỡ
h phng trỡnh vụ nghim.
Vi





7
2
m
m
v
0m
thỡ tp nghim ca (1) l D
1
R

3
2

=



=

=+ x
xx
x
xx

2
173
023
1
13
2
+
=



=

=+ x
xx
x

=
=
02sin
13cos
x
x









=
+=
2
3
2
3


lx
k
x
KL: Nghiệm x = + 2k
0.5đ
0.5đ
0.5đ

> 0 hàm số đồng
biến trên (1;
2
3
]
t (1;
2
3
] thì f(1) < f(t) f(
2
3
) =
6
13
Vậy
6
13
coscoscos
1
coscoscos
++
+++
CBA
CBA
Dấu bằng xảy ra khi:
CBA coscoscos
++
=
2
3

−+− xx
đồng biến trên (5; + ∞)
• Hàm số y =
3
2
−
+
x
x
có y’=
( )
2
3
5
−
−
x
< 0 nghịch biến trên (5; + ∞)
• ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
• L =
x
xxxx
x
131313121
lim

• L
1
=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
−+
+
→
=
( )
121
2
31lim
3
0
++
+
→
xx
x
x
x
= 1
• L

= 1
• Vậy L = 2
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
V
1
•



=−−−
=−−+
)(0122
)(
0322
Qzyx
P
zyx
ta nhận thấy



∈
∉
)(
)(
QI
PI

0.5đ
2 Giả sử a ≥ b ≥ c > 0
0
11
1
11
1
11
1
≥








+
−
+
+









αα
α
αα
α
ba
c
ba
c
ac
b
ac
b
cb
a
cb
a
0
1
11
11
1
11
1
11
1
≥





−
−−
−
αααα
α
αααα
α
αααα
α
baba
c
c
acac
b
b
cbcb
a
a
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
0
11
11
1
11
11

αααα
αα
α
bcac
acbaca
c
acac
abacbc
b
cbcb
cacbab
a
0.5đ
0.5đ
0.5đ
5
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)
Bà
i
ý
Nội dung Điể
m

( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
0


++
−
++
−+
+








++
−
++
−⇔
−−−−
−−
−−−−
−−
−−−−
−−
αααααααα
αα
αααααααα
αα
αααααααα
αα

2/ Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp
tuyến tại diểm
đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất .
Bài 2

: (2 điểm )
Biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình :
∫
−=






−
x
mdt
t
t
1
2
11
Bài 3

: (2 điểm )
Giải phương trình :
xxxxxxx −−+−−+−−= 3.55.44.3
Bài 4:


Tìm đa thức
( )
xP
có bậc lớn hơn 1 thoả mãn hệ điều kiện sau :

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Rx
P
xPxPxxxPxx
∈∀



=
=++−−+
;
271
012'22''42
2
Bài 7:

(2 điểm )
Giải hệ sau :
( )
( )



β
.
Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp .
Bài 9:

(2điểm )
Cho các số thực
2,, ≥cba
chứng minh bất đẳng thức sau :

3
222
≥++
+++
cLogbLogaLog
baaccb

.
Họ và tên thí sinh : Số báo
danh
Thanh hóa; Ngày 06 tháng 09 năm 2005
LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 12
Bài ý Lời giải chi tiết Điểm
Bài
1
1 a) TXĐ : D = R
b) Sự biến thiên:
• CBT:
( )

;

• BBT :
1 điểm
7
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)

c) Đồ thị : y
Đồ thị đi qua gốc toạ độ O=(0;0)
Tâm đối xứng I=( 1;2 )
1
O
x
-1 1

1 điểm
2
Gọi
( )( ) ( )
0;; >∈= aCayaM
thì
( )
11
1
1
2
−

(d)
Tiệm cận đứng x = 1 ; Tiệm cận xiên y = x + 1
Giao điểm của 2 tiệm cận là I=( 1 ; 2 )

Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 1 là






−
=
1
2
;1
a
a
A
Với tiệm cận xiên là :
( )
aaB 2;12 −=
0.5
điểm

8
x
∞−
o 1 2
∞+

−+=−+=
π

Theo bất đẳng thức Cô si :
( )
BIAIBIAIBIAIAB .22.2.2
2
−=−≥
( )
1222 −≥⇔ AB
(1)
Đặt p là chu vi tam giác ABI thì :
( )
4
241222.2 +−≥+≥++= BIAIABBIAIABp
Dấu đẳng thức xảy ra
4
2
1
1+=⇔=⇔ aBIAI

Vậy
( )
4
4
2
1
1241222 +=⇔+−= aMinp
Hay điểm cần tìm là


11
2
1
2
11 1
−−=








−=−=






−
∫∫ ∫
xxtLn
t
dt
t
tdtdt
t
t

1
' ±=⇔=−= xy
x
xy

+∞==
+
→
+∞→
yLimyLim
x
x
0

BBT
x
∞−
o 1
∞+
y’ | - o +
y |
∞+

∞+

0.5 điểm

0.5
điểm


t
xcxbxa === 5;4;3
Ta cú
cabcabcbax ++====
222
543Do ú
( )( )
( )( )
( )( )





=++
=++
=++






++=
++=
++=
5

=+
=+
4
152
3
152
5
152
ac
cb
ba
Cng cỏc v phng trỡnh ca h, cú PT mi v thay
ln lt mi PT ca h vo PT va cú.Ta c nghim ca
phng trỡnh ó cho l:

240
671
=x

0.5
điểm

0.5
điểm

1 điểm
Bài
4
Nhận thấy Cosx=0 không thoả mãn PT , bằng các chia cả 2 vế cho
0

10

t

Do PT (1) luôn có 1 nghiệm
[ ]
1;01=t
nên PT
0342
2
=+ mmtt
0.5
điểm

10
Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 1)
Chỉ có 1 nghiệm t = 1 hoặc không có nghiệm nào thuộc đoạn [ 0 ; 1 ]

Để ý rằng t = 2 không thoả mãn . Do đó
( )
m
t
t
tf =


=
42
3
2




<

4
3
1
m
m
0.5
điểm

1 điểm
Bi
5
Ta chng minh b : iu kin cn v tam giỏc ABC cú B= 2A
l
acab +=
22
(1)
Tht vy: Theo nh lý CụSin trong tam giỏc

aCosBacaaCosBcacaacCosBcab 222
2222
==+=+=
ỏp dng nh lý Sin, ta c
RSinACosBRSinARSinC 422 =

( ) ( ) ( )

6
Gi s a thc cn tỡm l:
( )
0;
01
1
1
++++=

n
n
n
n
n
aaxaxaxaxP

( ) ( )
12
2
1
1
2 1' axaxanxnaxP
n
n
n
n
++++=




( )
0;
301
2
2
3
3
+++= aaxaxaxaxP
0.5
điểm

0.5
điểm
11
Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 1)
Thay a thc vo iu kin (1) :
( ) ( ) ( )
xaaxaaaxaaaxaa =+++ ;0161248882248212
20321
2
132
3
23





=
=

aa
aa
aaa
aaa
aa

Nờn
( )
( )
8126
23
3
+++= xxxaxP

Mt khỏc
( )
271 =P
; Suy ra
12727
33
== aa
Vy a thc cn tỡm l :
( )
8126
23
+++= xxxxP

0.5
điểm


8)3(/1///2
2
++ yyy
trở thành :

0505
2
+ yyy
, kết hợp với (1) ta có y = - 5 (3)

Kết hợp (1);(2) và (3) ta có nghiệm của hệ đã cho là :






=
+=
5
;
2
y
Zkkx


1 điểm

0.5
điểm


gIEOI cot=

Trong
EIO'
cú:

gIEIO cot' =

Suy ra




gg
l
gg
OO
IEggIEOO
cotcot
cos
cotcot
'
)cot(cot'
+
=
+
=+=

0.5

22
)cot(cot4
cos33
βα
α
gg
l
S
DEF
+
=
∆

Vậy thể tích phần chung của 2 hình chóp là :
2
33
)cot(cot4
cos3
βα
α
gg
l
V
+
=
A
B

≥
+
+
+
+
+
⇔
baLog
cLog
acLog
bLog
cbLog
aLog
(1)
Do
2 ≥cba
nên
abba
ba
≤+⇔≤+ 1
11
,tương tự ta cũng được :

acacbccb
≤+≤+
&

Khi đó
( )
yx

222
;; ===Ta chứng minh:
1,,;3
222
≥≥
+
+
+
+
+
zyx
yx
z
xz
y
zy
x

( )
9
111
.222
92
2
2
2
2





+
+
+








+
+
⇔
xzzyyx
zyx
yx
z
xz
y
zy
x

1 ®iÓm

0.5
điểm
Chú ý : Nếu thí sinh có lời giải theo các cách khác mà đúng vẫn cho điểm
theo biểu điểm của
từng bài .
S 3:
S GIO DC O TO THANH HO
TRNG THPT BM SN
ngh: BNG A
THI CHN HC SINH GII TNH MễN TON LP 12
NM HC 2005 - 2006
(Thi gian lm bi 180 phỳt)
Bi 1:

(4 im)
1) ( 48 I
2
trong 150 tuyn sinh i hc)
Tỡm trờn th hm s y =
1
2
x
x
hai im A v B i xng nhau qua ng
thng y = x -1
2) (T sỏng tỏc)
Cho a, b, c R vi a 0 v m N
*
tho món:


) + Sin
4
(x +
xSinx 4
2
3
)
4
3
(sin)
2
44
=++

2) ( Toỏn hc tui tr nm 2003)
Cho tam giỏc ABC khụng cú gúc tự tho món h thc:
14
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)
6
5
coscos)2cos2(cos
2
1
)3cos3(cos
3
1
=+++−+ BABABA
Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 3:

1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học 2000-2001)
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng ∆: 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các
điểm M có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng ∆ bằng
3
4
là một Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.
2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ - Trần Khắc Bảo)
Cho Parabol y
2
= 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu
điểm F của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d.
Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng
cố định.
Bài 5:

(3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của
SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V
1
, V thứ tự
là thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của tỷ số
V
V
1
.
15
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)
16
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)

=+−=⇒
+
=
+
m
mxy
m
xx
II
BA
Ta phải có điểm I thuộc đường thẳng y =x -1 =>
1
4
1
4
13
−
+
=
− mm
⇔ m = -1
0,5 ®iÓm
Khi ®ã g(x) = 2x
2
- 1= 0 ⇔ x =
2
2
±
0,5 ®iÓm
Với x

; -1-
2
2
)
0,5 điểm
2) (2 điểm)
Xét hàm số f(x) =
m
cx
m
bx
m
ax
mmm
+
+
+
+
++
24
24
với a ≠ 0 và m N
*
Là hàm số liên tục và có đạo hàm là:
f’(x) = ax
m+3
+ bx
m+1

+ cx

0
1
0
3
0
−++
++
xmm
cb
= 0
=> x
0)(
2
0
4
0
1
0
=++
−
cbax
m
=> ax
4
0
+ bx
2
0
+ c = 0
0,5 điểm

4
π
) + Cos
4
(x+
4
π
)
17
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)
= (Sin
2
x +Cos
2
x) - 2Sin
2
x Cos
2
x + 1 - 2Sin
2
(x+
4
π
).Cos(x+
4
π
)
= 1-
2
1

Sin
4
4x =
2
3
⇔ Sin
2
4x = 1 ⇔ Cos 4x = 0
⇔ 4x =
2
π
+ kπ ⇔ x =
8
π
+ k.
4
π
với k ∈ Z
0,5 điểm
Để x ∈ [1; 100] ta phải có: 1 ≤
8
π
+ k.
4
π
≤ 100 ⇔ 8 ≤ (2k+1) π ≤ 800
mà k ∈ Z nên k = 1, 2, 3 …… .,126
0,5 ®iÓm
Nªn tæng c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: S =
∑∑

π
π
2016
2
126).2533(
.
8
=
+
0,5 điểm
2) (2 điểm)
Ta có
3
1
(Cos 3A + Cos 3B) -
2
1
(Cos 2A + Cos 2B) + Cos A +CosB =
6
5

(1)
⇔
3
1
(4 Cos
3
A - 3 CosA + 4 Cos
3
B - 3CosB) -

4
t
3
- t
2
víi t ∈[0;1] ta cã:
0,5 ®iÓm
f’(t) = 4t
2
- 2t; f’(t) = 0 ⇔ t = 0
t =
2
1
. Ta cã b»ng biÕn thiªn;
=> Víi ∀t ∈[0;1] th× f(t) ≥ f(
2
1
) = -
12
1
0,5 ®iÓm
18
t 0
2
1
1
f’(t) 0 - 0 +
f(t)

12

1
(3)
0,5 điểm
Do đó (2) được thoả mãn ⇔ (3) xảy ra dấu “=” => Cos A =
2
1
Cos B =
2
1
=> A = 60
0
B = 60
0
=> C = 60
0
0,5 ®iÓm
Bµi 3: ( 4 ®iÓm)
1) (2 ®iÓm)
Ta cã:
23
23
23
24
3
24
5
++
+
−=
+ xx

xx
xx
Víi ∀x
⇔ 3x
3
+ 2x = (Ax + B) (x
2
+ 1) + (Cx + D) (x
2
+ 2) Víi ∀x
0,5 ®iÓm
Hay 3x
3
+ 2x = (A+C)x
3
+ (B + D)x
2
+ (A + 2C)x + B + 2D Với ∀x
=> A + C = 3 B = D = 0
B + D = 0 => C = -1 tức là
12
4
23
23
2224
3
+
−
+
+

4
2
2
2
2
22
22
2
+
+
∫+
+
+
∫−=
+
∫+
+
∫−
x
xd
x
xdx
x
xdx
x
xdxx
0,5 điểm
0,5 điểm
Vậy ∫ f(x)dx =
kxx

2006

v
u
= v - u
v = x
6
+ x
2
+ 1> 0
⇔ log
2006
u - log
2006
v = v- u (*)
0,5 ®iÓm
19
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)
- Nếu u > v thì VT (*) > 0 > VP (*) nên không thoả mãn.
- Nếu u < v thì VT (*) < 0 < VP (*) nên không thoả mãn
- Xét u = v thì VT (*) = 0 VP (*)
Do đó pt (*)⇔ x
6
+ x
2
+ 1 = 4x
2
+ 2 ⇔ x
6
- 3x

3
3
2
1
π
α
=⇒
(Do 0 < α <
2
π
)
=> α =
9
π
ta có t = x
2
= 2 Cos
9
π
. Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x = ±
9
2
π
Cos
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
1) (2 điểm): Giả sử điểm M (x;y) khi đó AM =
22
)4( yx +−

yx
0.5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
2)( 2 điểm): Parabol y
2
= 2px đường
chuẩn là ∆: x = -
2
p
. Đường tròn
đường kính MN có tâm là trung
20
-3
y
M F
I
d
x
O
-1
N
1
M
1
H
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1)
điểm I của MN và bán kính R=
2
MN

0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
Bài 5: (3 điểm):
Vì ABCD là hình bình hành
=> V
SABC
= V
SADC
=
2
1
V
SABCD
=
2
1
V.
Đặt
x
SB
SM
=
,
y
SD
SN
=
thì

SMNK
=
= x.y.
2
V
+ x.y.
4
V
=> V
1
=
4
.3 Vxy
(2).
Từ (1) (2) => x + y = 3xy => y =
13 −x
x
(3)
Do x > 0 và y > 0 nên từ (3) => x >
3
1
Và y =
1
13
1 ≤
−
⇒≤
x
x
SD

−
=
− x
x
x
x
x
Xét hàm số f(x) =
)13(4
3
2
−x
x
với
1
2
1
≤≤ x
. Ta có f’(x) =
2
)13(4
)23(3
−
−
x
xx
f’(x) = 0 ⇔ x = 0 không thuộc đoạn [
1;
2
1

8
3
vi x [
1;
2
1
] hay
3
1

8
3
1

V
V
Vy Min (
V
V
1
) =
3
1
khi x =
3
2
hay SM =
3
2
SB

S GD & T THANH HO
TRNG THPT MAI ANH TUN
K THI HC SINH GII LP 12
Năm học 2005-2006
Môn: Toán. Bảng A-B
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu I.

(5 điểm). Cho hàm số
1
22
2

+
=
x
xx
y
1, Kho sỏt v v th (C) ca hm s trờn.
2, Chng minh ng thng (d):
1
12
=

+
y
x
cú ỳng hai im m t mi
im ú k n (C) hai tip tuyn vuụng gúc. Xỏc nh to hai im ú.
Cõu II.

2, Giải phương trình:
x
x
x
x
x
1
2
1
22
22
2
211
−=−
−−
Câu III.

(5 điểm)
1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P):
32
2
++−= xxy
tại hai điểm phân biệt A,
B lần lượt có hoành độ x
1
; x
2
giả sử x
1
<x

3coscos
xneu
xneu
x
e
y
xx
tại x=0
2, Hình chóp đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên hợp với
đáy góc α,
°°
<< 900
α
. Chứng minh
3
1
≤
R
r
( với r, R lần lượt là bán kính mặt
cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp).
Câu V.

(2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dựng một mặt phẳng cắt ba
mặt bên tứ diện theo ba đường thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc α, β, γ.
Chứng minh:
2
222
=++
γβα

• Tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1 do






−−
−
+−
±∞→
)1(
1
22
lim
2
x
x
xx
x
=



∞−
∞+
=
−
±∞→
1

0,5
I. 2. Chứng minh trên đt (d) 2,5
• Gọi điểm M
( ) ( )
dyx ∈
00
;
thì toạ độ M
0,5
24
x
- ∝
0 1 2
y' + 0 - - 0 +
y
- ∝
2
- ∝
+∝
2
+∝
y
x
2
1
-1
-2
2
x =1
y=x -1

- 2
• Đt
( )
∆
là tiếp tuyến của (P) thì hệ phương trình:







=
−
−
−
+−=
−
+−
)2(
)1(
1
1
)1(
2
2
)(
1
1
1

=








−
−
2
)1(
1
1
x
(x – 1)+ k(1 – x
0
)+
2
2
0
−x
.
<=>
1
1
−x
=
4

2
= -1.
• ĐK





−=
−
−−
≠−
1
)1(4
16)2(
01
2
0
2
0
0
x
x
x
0,5
<=>





• Hai điểm M
1








−+
10
476
;
5
766
; M
2








−−−
10
764
;