MỤC LỤC

A. PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích 2
3. Nhiệm vụ 2
4. Giả thuyết khoa học 2
5. Đối tượng nghiên cứu 2
6. Phương pháp nghiên cứu 2
7. Đóng góp của khóa luận 2
B: PHẦN NỘI DUNG 3
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 3
1.1. Tổng quát 3
1.1.1. Tọa độ suy rộng 3
1.1.2. Dịch chuyển ảo 3
1.1.3. Công ảo 4
1.1.4. Liên kết lí tưởng 4
1.2. Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II 4
1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange 4
1.2.2 Phương trình lagrange loại II 4
CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 8
2.1. Dao động của con lắc lò xo 8
2.1.1. Phương trình vi phân 8
2.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân 9
2.1.3. Trường hợp suy biến 10
2.1.4.Vận dụng 10
2.2. Dao động cưỡng bức của con lắc lò xo 15
2.2.1. Phương trình vi phân 15
2.2.2. Nghiệm của phương trình vi phân 16
2.2.3. Cộng hưởng 20
2.2.4. Vận dụng 23

cơ học lí thuyết vẫn còn đầy đủ giá trị thực tiễn của nó.
Chương trình môn Vật lí nói chung, môn Cơ học và lí thuyết nói riêng ở bậc
đại học tương đối phong phú và đa dạng. Để học tốt được các môn vật lí lí thuyết
mỗi sinh viên vần phải trang bị cho mình không những kiến thức về vật lí mà còn
phải chuẩn bị thêm cho mình kiến thức về toán giải tích, phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, phương pháp toán lí. Chính vì vậy mà các sinh viên
gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn Cơ học và lý thuyết tương đối.
Nhiều sinh viên sau khi đã học xong môn Cơ học và lí thuyết tương đối đếu không
thể vận dụng các kiến thức mới, phương pháp mới vào để giải các bài toán động
lực học, đặc biệt là các bài tập về dao động và dao động điện.
Hiện nay tại thư viện trường Đại học Tây Bắc có rất ít đề tài và khóa luận
nghiên cứu về vấn đề này. Các giáo trình viết về vấn đề dao động thì sử dụng
phương pháp dùng các định luật Newton, để xây dựng các kiến thức cần thiết.
Trong các giáo trình đó đã trình bày phương pháp giản đồ véc tơ để giải các bài
toán về dao động phương pháp này hay, ngắn gọn nhưng chưa mang tính khái
quát cao. Sử dụng phương pháp ấy chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản,
trong nhiều trường hợp không thể giải quyết được. Nhiều bài toán về phương
trình Lagrange rất phức tạp vì vậy tôi đã chọn khóa luận “Phương trình
Lagrange và phương pháp giải một số bài tập”. Trong khóa luận này tôi đã

2
thống kê những kiến thức cơ bản về hàm Lagrange, bên cạnh đó để người đọc dễ
hiểu thì tôi có dựa vào hàm Lagrange để giải một số các bài tập về dao động.Tôi
mong rằng khóa luận này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên
và các giáo viên giảng dạy môn vật lý ở trường phổ thông.
2. Mục đích
Mục đích của khóa luận là giúp cho các bạn sinh viên hiểu sâu hơn về
phần cơ học đại cương và phần dao động, nhằm phục vụ tốt cho việc học tập các
môn: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ lý thuyết, Cơ học lượng tử.
3. Nhiệm vụ

Để khảo sát 1 cơ hệ ta cần chỉ ra được liên kết đặt lên cơ hệ. Liên kết này
được biểu diễn bởi n phương trình

1 2 N
f (r ,r , r ,t) 0, 1,2,3, ,n

  
(1.1)
Nếu n phương trình này là độc lập thì trong số 3N tọa độ Descartes có
s = 3N – n tọa độ độc lập

Muốn xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần phải xác định s
thông số độc lập.
Giả sử chúng ta tìm được s thông số
1 2 3 s
q ,q ,q , q
liên hệ với các véctơ
i
r (i 1,2,3 N)
bởi các phương trình.

i i 1 2 3 s
r r (q ,q ,q , q ,t),i 1,2,3, N
(1.2)
Sao cho khi thay phương trình (1.2) vào phương trình (1.1) thì các
phương trình này sẽ trở thành đồng nhất thức

1 2 N
f (r ,r , r ,t) 0


Hiêụ của hai véctơ
i
dr
và
i
dr '
là một véc tơ vô cùng bé và được kí hiệu
bằng
i
r

Tập hợp những véctơ
i
r
=
i
dr
-
i
dr '
gọi là những véctơ dịch chuyển ảo.

4
1.1.3. Công ảo
Công ảo là một đại lượng vật lý được xác định bởi công thức:

NN
i i ix i iy yi iz zi
i 1 i 1
A R r (R x R R )

r
ta nhận được

i
i i i i i
(m a F) r R r   

Phương trình chuyển động của tất cả các chất điểm trong cơ hệ

N
i i i i
i1
(m a F) r 0

  


Theo điều kiện (1.4) ta có :
N
i i i i
i1
(m a F) r 0

  

(1.5)
(1.5) được gọi là biểu thức của nguyên lý Dalambert – Lagrange
1.2.2 Phƣơng trình lagrange loại II
- Khảo sát hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt trên cơ hệ được biểu diễn bằng
n phương trình:

rộng.
- Giả sử các tọa độ suy rộng
kk
q q (t, )
, trong đó t là biến số thời gian,


là thông số thực
Khi
0
thì
kk
q (t,0) q (t)
xác định vị trí thực của cơ hệ
Khi
0
thì tọa độ suy rộng
k
q (t, )
xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù
hợp với liên kết đặt lên nó.
Dạng
k
q
thay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số

thay đổi
- Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng
k
q (t)

k
q (t, )
nên ta có:

ss
i i k i
ik
k 1 k 1
kk
r r q r
rq
qq

   
      
   

(1.7)
- Đặt biểu thức của
i
r
từ (1.7) vào (1.5) ta nhận được

s
k k k
k1
(Z Q ) q 0

  


   



Đại lượng
k
Q
gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng
- Biến đổi
k
Z
về dạng thuận tiện hơn ta được:

N N N N
i i i i i
k i i i i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
k k k k
r dr r d r d r
Z m r m m r m r ( )
q dt q dt q dt q
   
   
   
   
   
(1.9)
- Ta có:
s
i i i

r r r d r
q ( )
q t q q q dt q

   
  
     

(1.12)
- Chú ý đến các hệ thức (1.11) và (1.12) ta có thể viết
k
Z
dưới dạng :

NN
ii
k i i i i
i 1 i 1
kk
d r r
Z m r m r
dt q q






Hay:
k

kk
ZQ

- Thay từ (1.13) vào ta được :
k
kk
d T T
Q
dt q q



, (k = 1,2,…,s) (1.14)

7
- Nếu hoạt lực
i
F
tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì giữa năng lượng tương tác
của cơ hệ
 
1 2 N
U r ,r , r
và lực thế liên hệ với nhau bằng hệ thức:
i
i
U
F
r


và thời gian t,
 
1 2 3 s,
U U q ,q ,q , q t

Do
k
U
0
q



nên ta có :
 
kk
TU
T
qq





- Như vậy phương trình (1.14) bây giờ có dạng

kk
d L L
0
dt q q


2.1.1. Phƣơng trình vi phân
- Chọn hệ tọa độ gồm mặt phẳng xOy nằm ngang, trục Oz thẳng đứng và
vuông góc với mặt phẳng xOy.
- Các phương trình liên kết:
x 0,y 0

hệ có một bậc tự do, con lắc chỉ
chuyển động theo trục Ox
- Chọn
qx
là tọa độ suy rộng của hệ, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị trí
cân bằng
- Xét vật ở li độ x, động năng của hệ:
2
1
T mx
2


- Các lực tác dụng lên vật m gồm có:
+ Trọng lực:
P mg

+ Phản lực:
N

+ Lực đàn hồi:
F kx




Hay
k
mx kx x mx x kx 0 x x x 0
mm

            

- Đặt
22
00
k
, x 2 x x 0
2m m

         
(2.1)
(2.1) chính là phương trình vi phân của dao động tắt dần.
2.1.2. Nghiệm của phƣơng trình vi phân
- Đặt
rt
x Ce
, thay x vào phương trình (2.1) ta có phương trình đặc trưng

22
0
r 2 r 0    
(2.2)


   

Trong đó
1, 2
CC
là các hằng số tùy ý, phụ thuộc điều kiện ban đầu, q là số
thực.Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời
x0
khi
t0
.Trong trường hợp này
không có dao động vì lực cản quá lớn. Người ta gọi đây là quá trình biến đổi khi
ma sát lớn.
- Nếu
' 0 2 km    
thì nghiệm của (2.2) là:
12
rr  

- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:
 
t
12
x C C t e



- Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời
x0
khi

t i t i t
1 2 1 2
x C e C e e C e C e
   
   

- Khai triển hàm mũ theo công thức Euler

i t i t
e cos t isin t; e cos t isin t
  
       

- Khi đó x được viết dưới dạng:

     
t i t t
1 2 1 2 1 2
x C C e cos t C C e sin t e D cos t D sin t
   
         

Với
 
1 1 2 2 1 2
D C C ; D C C i   
, trong đó
12
D ,D
là các hằng số tùy ý.

k
m

gọi là tần số góc dao dộng riêng của hệ

0
0
2m
T2
k

  

gọi là chu kì dao động của hệ.
2.1.4.Vận dụng
Bài tập 1
Cho hệ dao động như hình vẽ. Hãy tìm chu kì dao động nhỏ của hệ. Biết
khối lượng của sợi dây và lò xo không đáng kể, mômen quán tính của ròng rọc
M là I, bán kính ròng rọc là R, sợi dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở trục
ròng rọc là không đáng kể. Khối lượng của vật là m, độ cứng của lò xo là k
GIẢI
- Chọn hệ trục tọa độ gồm mặt phẳng xOy
trùng với mặt phẳng hình vẽ, trục Oz vuông góc với
mặt phẳng xOy.
- Các phương trình liên kết:

11
x x ;y y ;z 0
M 0M M 0M M
y y ,z 0


0
P T 0
hay
0
P T 0
. Với
0
T k l

Trong đó
l
là độ dãn tại vị trí cân bằng.
- Tại li độ x ta có:
F P T
hay
 
F P k l x kx     

- Từ công thức
2
1
dU Fdx U kx
2
   

22
2
1 I 1
L T U m x kx

22
00
2
k
x x 0
I
m
R
     


- Chu kì dao động của hệ là:
2
0
0
I
m
2
R
T2
k


  


Bài tập 2
Cho hệ thống dao động như hình vẽ, vật năng có khối lượng m khung
ABCD gồm các thanh khối lượng không đáng kể.Có thể di động được nhờ khớp


P 2T 0

Tại B, D:
00
2T k l 0  00
0
0 0 0
0
P 2T cos 0
1
P k l 0
2T sin k l 0
tan
  

    

   



Với
0
l
là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng.
* Khi vật m có li độ x thì lò xo biến dạng một đoạn x’
- Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:

x'
x
sin sin tan tan
2 2 2 2
     
   
           

- Ta có:
 
 
0
0
00
P 2T cos F
P 2T F
2Tsin k l x' 0
2T k l x' 0
  






    
   




   


- Động năng của hệ là:
2
1
T mx
2


- Hàm Lagrange của hệ :
22
2
0
1 1 k
L T U mx x
2 2 tan
   


- Phương trình Lagrange loại II của hệ
d L L
0
dt x x




Hay
22



Bài tập 3
Một mạch điện gồm hai dây dẫn song song, được nối với nhau nhờ cuộn
dây có độ tự cảm L và một thanh có khối lượng m có thể trượt tự do không ma
sát trên các dây dẫn. Các dây dẫn nằm trong mặt phẳng nằm ngang trong từ
trường thẳng đứng đồng nhất có cảm ứng từ
B
. Khoảng cách giữa hai dây dẫn

14
là l, điện trở của mạch nhỏ không đáng kể. Tại thời điểm t = 0 người ta truyền
cho thanh vận tốc
0
v
về phía phải. Hãy tìm quy luật chuyển động x(t) của nó ?
x
GIẢI
- Khi thanh chuyển động, từ thông qua khung dây biến thiên:

BS  
= Blx
- Từ thông biến thiên làm xuất hiện trong khung một dòng điện cảm ứng:
i =
Blx
LL

  

- Chọn q = x là tọa độ suy rộng của thanh, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị

Hay iBl
x
= Qδx

Lực suy rộng:Q = iBl =
22
B l x
L


- Phương trình Lagrange loại II:

2 2 2 2
d T T B l x B l x
Q mx x 0
dt x x L mL

       


- Đặt:
22
22
00
Bl
x x 0
mL
     

- Nghiệm của phương trình vi phân có dạng: x = Asin








- Vậy nghiệm của dao động là:
0
0
0
v
x sin t

với
0
Bl
ml


2.2. Dao động cƣỡng bức của con lắc lò xo
Bài toán
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu
của lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo được giữ cố định. Vật nặng chuyển
động dọc theo trục Ox trong môi trường có hệ số nhớt

dưới tác dụng của lực
cưỡng bức hợp với phương dao động một góc

. Cho biết lò xo có khối lượng



- Ở li độ x các lực tác dụng lên vật gồm có:
+ Trọng lực:
P mg

+ Lực cưỡng bức:
F

+ Lực đàn hồi:

 
dh
F k x l   

+ Lực cản của môi trường:
c
Fx 

- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo
r
:

 
dh c
A P F F F r Q x       

Hay:
A mg x k l x x x F cos x          


0
F Fe cos t



- Khi đó phương trình vi phân (3.1) có dạng:
bt
0
k F e
x x x cos cos t
m m m


    
(3.5)
- Đối với dạng phương trình này thì phương pháp giản đồ không tìm ra
được nghiệm. Ta phải dùng phương pháp giải tích để giải và trong khuôn khổ
của khóa luận ta chỉ giải các phương trình vi phân bằng phương pháp giải tích.

17
- Đặt:
2
0
2m
k
m





t C e C e
1
xe

 

nếu
' 0 2 km    

Trong đó
22
0
q     
t
1 1 2
x e C C t


nếu
' 0 2 km     
t
1 1 2
x e D cos t D sin t



       



- Đặt:
 
 
bt
11
2
2
bt
1
CC
tan x e cos tcos sin tsin
C cos
C
e cos t
cos


       

   


- Ta có :
2
1


    

- Lần lượt lấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai biểu thức của
2
x
theo t, ta được:
   
bt bt
2 1 1 2
x C bC e cos t C bC e sin t

       

   
2 2 bt 2 2 bt
1 2 1 2 1 2
x b C 2b C C e cos t b C 2b C C e sin t

           18
- Thay
x
và
x
vào phương trình (3.6), ta được:
 
 

F
C b 2 b C 2 2b cos
m
C 2b 2 C b 2 b 0


           





          


- Giải hệ trên ta xác định được các hệ số
12
C ,C
:

   
   
 
2 2 2
00
1
2
2
2 2 2
0


   
2 2 2
0
2 2b
tan
b 2 b
  
  
     
(3.8)

   
 
22
0
12
2
2
2 2 2
0
F cos
CC
m b 2 b 2 2b



         



bt
0
2
2
2 2 2
0
x x x e D cos t D sin t
F cos e
cos t
m b 2 b 2 2b


     

   

         


* Các trƣờng hợp đặc biệt
- Nếu b=0 thì
0
F F cos t

Phương trình vi phân có dạng (3.2)

 
 
t
0

       
     

- Nếu
0
thì
bt
0
F F e

Khi đó phương trình vi phân có dạng (3.3)
Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

 
 
bt
t
0
12
2
22
0
F cos e
x e D cos t D sin t cos
m b 2 b



t
e

. Sau khoảng thời gian
4,6


thì nghiệm này
giảm đi 100 lần. Ở các khoảng thời gian sau đó
t 
có thể coi như nghiệm
1
x0
, dao động tự do tắt hẳn.
- Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3.2) là:

 
 
0
2
2
2 2 2 2
0
F cos
x x cos t
m4

     
     



 
 
0
2
2 2 2 2
0
F cos
x cos t
m4

   
     

- Biên độ dao động cưỡng bức

 
0
2
2 2 2 2
0
F cos
A( )
m4


     

Biên độ này phụ thuộc tần số của ngoại lực cưỡng bức.
- Đặt:

2 2 2
0
df
0 2 0
d

         
0  
hoặc
22
0
2    
;
 
00
2
0
F cos F cos
A0
mk





21
- Bảng biến thiên:



0
22
2
0
  
+∞

 
df
d

0 + 0 -

 
f 0
Fcos

0
2    
gọi là hiện tượng cộng hưởng
- Tần số
22
0
2    
gọi là tần số cộng hưởng, kí hiệu là
ch


- Biên độ cực đại ứng với tần số cộng hưởng là:

 
00
max ch
2
F cos F cos
AA
2m m
  
   
 

Với
2
T

   


max
2
00
F cos F cos F cos
A Q.A 0
2m m k
    
   
  

* Nếu tần số của ngoại lực
0
thì:
0
0
F F cos
F cos
A(0)
k







22



b. Cộng hưởng vận tốc
- Vận tốc trong dao động cưỡng bức ổn định có biểu thức:

   
x Asin t cos t Vcos t
2


               



Trong đó:
VA
2





   


V,

là biên độ và độ lệch pha của vận tốc so
với ngoại lực cưỡng bức.
- Đặt:



           

 
 
0
00
dg
F cos
0V
d 2m


       


- Bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến
thiên ta thấy: Biên độ
của vận tốc đạt giá trị
cực đại khi tần số của
ngoại lực cưỡng bức đạt
giá trị
0
  


thì V=0, vật gắn với con lắc lò xo không chuyển
động.
2.2.4. Vận dụng
Bài tập 1
Chứng tỏ rằng ngoại lực cưỡng bức tác dụng lên một dao động tử có dạng
0
F F sin t
thì li độ dao động cưỡng bức có dạng:
 
0
m
F
x cos t
Z
    


và vận tốc có dạng:
 
0
m
F
sin t
Z
    

Trong đó
m
Z
là tổng trở của dao động tử:

0
Fcos
2m

 0 0