Trần Thị Kim Liên: Tính tự nhiên tôpô của định lý Noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình
giữa các không gian phức – Toán giải tích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

Mở đầu…………….……………………………………………………
1
Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Ánh xạ chỉnh hình…………………………………… …………….
3
1.2 Đa tạp phức………………………………………………………….
3
1.3 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức…………………
6
1.4 Không gian phức hyperbolic ………… ……………………………
7
Chương 2 : Tính tự nhiên tôpô của định lí Noguchi về dãy các ánh
xạ chỉnh hình giữa các không gian phức

2.1 Mở đầu…………………….………………………………………
19
2.2 Tổng quát tôpô các kết quả của Kiernan, Kobayashi, Kwack và
Noguchi trong không gian phức………………………………………
20
2.3 Một số đặc trƣng của tính chất  và ứng dụng………………………
32
Kết luận……………………………………………………………….
46
Tài liệu tham khảo……………………………………………………

ngha một số khái nim về đa tạp phức , không gian phƣ́ c hyperbolic và tính
nhng hyperbolic của các không gian phức . Tiế p theo l à các kết quả của
Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi về thá c triể n á nh xạ chỉnh hì nh giƣ̃ a
các không gian phức . Chƣơng 2 là nội dung chính của luận văn. Trong
chƣơng này chng tôi trình bày một số đặ c trƣng củ a tí nh chấ t , các chứng
minh và tổ ng quá t cá c kế t quả củ a Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
Các kết quả trình bày trong chƣơng 2 đã đƣợ c J .Joseph và M .Kwack
trình bày trong
 
4
. Tuy nhiên trong luậ n văn chú ng tôi đã cố gắ ng trì nh bày
mộ t cá ch tƣơng đố i chi tiế t cá c chứng minh củ a cá c định lý và trì nh bà y cá c
vấ n đề theo cách hiu của mình . Ngoài ra chng tôi cn chứng minh đƣc một
số ví dụ mà J .Joseph và M.Kwack đã đƣa ra nhằ m là m rõ hơn cá c vấ n đề đã
đƣợ c trì nh bà y trong luậ n văn .
Luận văn đƣc hoàn thành dƣi sự hƣng dẫn tận tình của PGS.TS
Phạm Vit Đức. Em xin bày tỏ lng biết ơn sâu sắc ti Thầy. Nhân dịp này
em cũng xin đƣc bày tỏ lng biết ơn sâu sắc ti các Thầy , Cô đã giảng dạy
cho em các kiến thức khoa hc trong suốt quá trình hc tập tại trƣờng. Xin
chân thà nh cảm ơn Trƣờng Đại hc Sƣ phạm - Đại hc Thái Nguyên đã tạo
điều kin thuận li cho vic hc tập của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia
đình, ngƣời thân và bạn bè đã động viên gip đỡ tôi trong suốt quá trình khoá
hc và hoà n thà nh luậ n văn nà y .

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010
Tác giả


00
0
( ) ( ) ( )
lim 0
h
f x h f x h
h


  


trong đó
12
( , , , )
n
n
h h h h
và
2
22
12

n
h h h h   

(2) Hàm f gi là chỉnh hình tại
0
xX
nếu f là khả vi phức trong một

.
1.1.2 Định nghĩa
Cho X là tập mở trong
n

, hàm
: ( )
n
f X f X
là song chỉnh hình
nếu f là song ánh chỉnh hình và
1
f

cũng là ánh xạ chỉnh hình.
1.2 Đa tạp phức
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ
1.2.1.1 Định nghĩa
Cho X là một không gian tôpô Hausdorff
(1) Cặp
 
,U

đƣc gi là một bản đồ địa phƣơng của X ở đó U
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
là một tập mở trong X,
:
n

i
iI
U

là một phủ mở của X.
(ii) Vi mi
,
ij
UU
mà
ij
UU  
thì ánh xạ

   
1
:
j i i i j j i j
U U U U
   

  

là ánh xạ chỉnh hình.
Xét h các atlas trên X. Hai atlas
12
,AA
đƣc gi là tƣơng đƣơng
nếu hp
12

0,1,2, ,in
. Rõ
ràng
 
1
n
i
i
U

là một phủ mở của
()
n
P 
.
Xét các đồng phôi
:
n
ii
UC

 
0 1 1
01
: : : , , , , ,
i i n
n








,
ở đó
1
i
z 
là ánh xạ chỉnh hình.Vậy
()
n
P 
là một đa tạp phức n chiều.
1.2.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
(1) Cho M,N là hai đa tạp phức. Ánh xạ liên tục
:f M N
gi là
chỉnh hình trên M nếu vi mi bản đồ địa phƣơng
 
,U

của M và bản đồ địa
phƣơng
 
,V


0
x
trong M và một số hữu hạn các hàm chỉnh hình
12
, , ,
n
  
trên
V sao cho
XV
là tập các đim
xX
thỏa mãn :
12
( ) ( ) ( ) 0
n
x x x
  
   
.
(2) Cho M là đa tạp phức, không gian con phức đóng A của M đƣc gi
là một divisor trên M nếu về mặt địa phƣơng thì nó là không đim của một
hàm chỉnh hình, ngha là vi mỗi
xA
có lân cận V của x trong M sao cho
AV
là tập các không đim của hàm f chỉnh hình trên V.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6

( , ) ln ; ,
1
1
D
ab
ba
a b a b D
ab
ba



  




.
Ta có
D

là một khoảng cách trên D và gi nó là khoảng cách
Bergman – Poincaré trên đa đơn vị.
1.3.2 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.3.2.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai đim tùy ý của X.
( , )H D X
là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đa đơn vị D vào không gian
phức X đƣc trang bị tôpô compact mở.
Xét dãy các đim

p p a a f f



thỏa mãn các điều kin trên.
Ta đặt :
1
(0; )
n
Di
i
La





và định ngha
( , ) inf
X
d x y L



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
trong đó infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình  nối x vi y . Dễ
thấy
X

d


và
1,
(( ),( )) max ( , )
n
i j i j
D
jn
d z w z w



vi mi
( ),( )
n
ij
z w D
.
ii) Nếu
: f X Y
là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X,Y
thì

( , ) ( ( ), ( )), ,
XY
d p q d f p f q p q X  
.
Từ đó suy ra rng nếu

Không gian phức X đƣc gi là không gian hyperbolic nếu giả
khoảng cách Kobayashi
X
d
là khoảng cách trên X, ngha là:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
( , ) 0
X
d p q p q  
,
,p q X

1.4.1.2 Ví dụ
(a) D là hyperbolic vì
DD
d


mà
D

là khoảng cách trên D nên
D
d
cũng là khoảng cách trên D.
(b)

n

n
fD
yx
z x z
p






Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình,
(0) fx
và
()f p y
. Do f làm
giảm khoảng cách đối vi
D
d
và
n
d

nên ta có:

(0; ) ( (0); ( ))
n
D
d p d f f p


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Chứng minh
Vi mi
, ' , 'x x X x x
ta có :
 
( , ') ( ), ( ') .
XY
d x x d f x f x

Mặt khác do f đơn ánh nên
( ) ( ')f x f x
và do Y là không gian
hyperbolic nên ta có :
 
( ), ( ') 0
Y
d f x f x 


( , ') 0
X
d x x 

 X là không gian hyperbolic.
iii) Định lý Barth (xem
 
8

xX
và
0r 
mọi hình cầu đóng
( , )B x r
là compact.
1.4.2.3 Mệnh đề
(a) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
(b) Tích hữu hạn các không gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy.
(c) Một không gian con đóng của không gian hyperbolic đầy là
hyperbolic đầy.
(d) Giả sử
: XY


là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức.
Giả sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi
yY
, tồn tại một lân cận U sao cho
1
()U


là hyperbolic. Khi đó X là hyperbolic đầy.
(e) Giả sử
:'XX


12
XX
là nhúng hyperbolic trong
12
YY
.
iii) Nếu có hàm khoảng cách

trên
X
thỏa mãn
( , ) ( , ), ,
X
d x y x y x y X

  

thì X là nhúng hyperbolic trong Y.
1.4.3.3 Định lý
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y.
HI2. X là hyperbolic và nếu
   
,
nn
xy

D
f H H f H D X  


trong đó
H

là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D.
HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi
( , )f H D X
ta có
*
D
f H H
.
1.4.3.4 Định lý Kiernan
Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian
phức Y.
Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu
( , )H D X
là compact
tương đối trong
( , )H D Y
.
1.4.4 Các định lý về thác triển chỉnh hình giữa các không gian phức
1.4.4.1 Định lý
Nếu X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y thì mọi
*
( , )f H D X


Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y. Cho M là đa tạp phức và A là divisor
trên M có giao chuẩn tắc, thế thì mỗi
( , )f H M A X
đều có thác triển
( , )f H M Y

.
Chứng minh
Trƣc hết ta nhận thấy rng nếu
 
n
f
là dãy trong
*
( , )H D X
,
 
k
z
và
 
'
k
z
là các dãy trong
*
D
hội tụ đến 0 và

*n
M A D
vi n nào đó ta sẽ chỉ ra rng
f có thác trin nếu
*ns
M A D D  
vi mi s.
Giả sử
11
( , ) ( , , , , , )
ns
ns
t t t D D
  
  
và
*
:
ns
f D D X
là ánh
xạ chỉnh hình. Vi mỗi t ta đặt
( ) ( , )
t
f f t


, theo giả thiết
t
f



.
Xác định
*
:
k
f D X
bởi
( ) ( , )
k
k
f z z


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Từ
0
k
t 
và
( ) ( , )
k k k
k
f t f t y





.
Xét ánh xạ chỉnh hình
*1
:
n
f D X


và đặt
*
:g D X
xác định bởi
( ) ( , , , )g z f z z z
. Vậy g chỉnh hình trên D
*
và theo định lý 1.4.4.1 thì g có
thác trin
( , )g H D Y

. Đặt
(0,0, ,0) (0)fg
, nhƣ vậy ta cn phải chứng
minh f là liên tục.
Giả sử f không liên tục, tồn tại dãy
12
( , ) ( , , , , )
k k k k k k
n

z
f z f t







và
 
 
k
k
z


ta có :
(0, ) (0)
k
k
f t f y
.
Vi
( ) , , , ,
k k k
k
k
k k k
zt zt zt

14
1.4.4.4 Định lý Noguchi
Cho X là không gian con phức compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức Y. Cho M là đa tạp phức và A là divisor trên M có
giao chuẩn tắc. Giả sử
:
n
f M A X

là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hộ i tụ đề u trên cá c tậ p con compact củ a
MA

tớ i á nh xạ chỉnh hình
:f M A X

Giả sử
,
n
ff

là các thác triển chỉnh hình của
,
n
ff
tương ứ ng từ M
vào Y.
Khi đó
n
ff


00
,C X Yf
. Ta ký hiu
 
,,C X Y f
là tập các ánh xạ
( , )g C X Y
mà
là các thác trin của các phần tử của
f
.
1.4.4.6 Định lý
Nếu X, Y là các không gian phức thì họ
 
,H X Yf
là chuẩn tắc đều
nếu và chỉ nếu
 
,H M Xf
là compact tương đối trong
( , )C D Y

.
1.4.4.7 Định lý
Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
i) X là nhúng hyperbolic trong Y;

và
()
nn
f w p Y
thì với mỗi lân cận U của p, tồn
tại lân cận W của
0
w
trong
m
D
sao cho
 
*m
n
f W D U
.
Sử dụng các kết quả trên ta có th mở rộng K
3
– định lí và định lí thác
trin hội tụ của Noguchi nhƣ sau
1.4.4.9 Định lí
Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trong M. Giả
sử
( , )H M A Yf
là họ chuẩn tắc đều và
f
là bao đóng của
f
trong

n
ff

.
Chứng minh
Đ chứng minh i) và ii) trƣc hết ta chứng minh vi mỗi
f f
đều
thác trin đƣc thành
( , )f C M Y



và
,,C M Y



f
là compact tƣơng đối
trong
( , )C M Y

.
Vì bài toán là địa phƣơng nên ta có th giả thiết rng
m
MD
và
*
( , )

m
C D Y



f
là liên tục
đồng đều trong
( , )
m
C D Y

.
Giả sử ngƣc lại, khi đó tồn tại
0
m
wD
, các dãy
   
,'
nn
ww
trong
*m
D
cùng hội tụ ti
0
w
và có dãy
 

;
nn
w M A w w  
và
()
n
f w p
. Khi
đó p xác định duy nhất, do đó vi
0
w
và p ở trên ta định ngha
0
( ) .f w p


Rõ ràng
ff

trên
MA
,
vì nếu ta chn dãy
n
w w M A  
vi mi n, thì
( ) ( )f w f w

vi mi
w M A

, theo bổ đề 1.4.4.7, tồn tại lân cận mở W của
0
w
trong
M sao cho
()f M A U
, tức là tồn tại lân cận mở W của
0
w
trong M sao
cho
()f W V

. Từ đó ta có
f

liên tục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Đ kết thc chứng minh i) ta lấy
f f
Khi đó tồn tại dãy
 
n
f
trong
f
sao cho
n

(vì chng bng nhau trên
MA
). Vậy i) đƣc chứng minh.
Đ chứng minh ii) ta chứng minh
, , , ,C M Y C M Y

   

   
ff
.
Vi
g f
ta chn dãy
 
n
f  f
sao cho
n
fg
.
Do tính compact tƣơng đối của
,,C M Y



f
trong
( , )C M Y


Ngƣc lại, vi
,,g C M Y





f
, tồn tại dãy
 
,,
n
f C M Y





f
mà
n
fg


.
Suy ra
n
fg
trên
MA

n
ff
. Ta chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
n
ff

khi
n 
.
Theo i) thì các
n
f

và
f

luôn tồn tại.
Theo ii), vì
 
,,
n
f C M Y






3
) khẳng định rng :
Nếu X là không gian con phức, nhúng hyperbolic trong không
gian phức Y và A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M thì mỗi
( , )f H M A X
đều thác triển được thành
( , )f C M Y



và nếu X là
compact tương đối trong Y thì
( , )f H M Y

.
Từ đó theo định lí 1.4.4.7 và định lí 1.4.4.9 ta suy ra kết quả của định lí
Noguchi 1.4.4.4.
1.4.4.11 Định lý
Các phát biu dƣi đây là tƣơng đƣơng, vi X là không gian con phức
trong không gian phức Y.
i) X là nhúng hyperbolic trong Y.
ii) Nếu
   
,
nn
fz
là các dãy theo thứ tự trong
*
( , )H D X
và D

 
n
z
tương ứng là các dãy trong
( , )H M A X
và
MA
thỏa
mãn
n
z z M
, thì
,
()
nn
f z p
, với mọi dãy
 
,
n
z
của
MA
thỏa mãn
,
n
zz
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


XX 
thỏa mãn
,x x v x


và
 
f x y


, ta có
 
f v y


.
Mục đích chính của chng tôi là sử dụng tính chất  đ mở rộng và chứng
minh lại các định lý của Kwack, Kobayashi, Kiernan và Noguchi (Định lý
1.4.4.1, 1.4.4.2, 1.4.4.3, 1.4.4.4) bng phƣơng pháp tôpô thuần ty. Đồng thời
đƣa ra một số đặc trƣng của tính chất  và ứng dụng cho nghiên cứu tính
nhng hyperbolic của các không gian phức. Trƣc hết, ta nhắc lại một số khái
nim sau :
+ Một không gian đƣc gi là k - không gian nếu một tập con C của
không gian là đóng khi
CK
là đóng trong K cho mỗi tập con compact K
của không gian.
+ Mi không gian tôpô đều đƣc giả thiết là không gian Hausdorff và Y
sẽ luôn là không gian compact địa phƣơng, X là k - không gian.


và
()f a W

()f V U
.
Nếu
( , )F X Y
là liên tục đồng đều từ X ti Y, ta nói gn rng

là liên
tục đồng đều.
2.2.2 Mệnh đề (xem
 
4
)
Cho X là không gian chính quy, compact địa phương và Y là không
gian chính quy. Khi đó
( , )C X Y
là compact tương đối trong
( , )C X Y
nếu
và chỉ nếu :
a)

là một tập con liên tục đồng đều của
( , )C X Y
.
b)
 
( ) ( )x f x Y f   

và
()Ub

trong Y. Do
( , )C X Y

là liên tục đồng đều nên có
( ), ( )W b O a

sao cho :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
   
: ( ) : ( )f f a W f f O U    

Đặt
 
 
0
V O X v  
thế thì
aV
và V là tập con mở của
 
0
Xv
và
( ) ( )f V f O U
, vậy

mà
()f x B

 
 
 
0
f A X x W  
.
Ta cần chứng minh
 f
mà
()f x B

()f A W
.
Lấy
,f z A 
và
( ( ))H f z

, ta chứng minh
  HW
(vì khi
đó
()f z W
). Do
 
 
0

f Q A X f Q X z f A X x H W           
.

()f z W
mà
()z A f A W  
.
Mnh đề đƣc chứng minh.
Định lý sau thiết lập một đặc trƣng nữa của tính chất .
2.2.4 Định lý
Cho
0
X
là tập con trù mật của không gian X và
0
( , )F X Y
. Các
phát biểu sau đây là tương đương
(1)

thỏa mãn tính chất

ứng với
 
0
,,X X Y
.
(2)

thỏa mãn hai tính chất sau :

trong
00
XX 
sao cho :
()
( ) .
xx
vx
f x p
f v q















(*)
Vi mỗi , theo (a) 
f

thác trin đƣc thành

.
Mặt khác theo (b) và mnh đề 2.2.2 
,;C X Y




là liên tục đồng
đều trong
( , )C X Y

, theo định ngha liên tục đồng đều vi
0
,x X x x



và
0
,v X v x


ta có:
   
()f x f x g x
   
   




x x X
; do

Y
là
compact 
 


n
f x p Y
.
Hơn nữa do

thỏa mãn tính chất  nên vi dãy

n
vx
thì
 
()
n
f v f x p
, do đó
()fx
liên tục tại x 
0
( , )C X Y




x
là một lƣi trong
0
X
và
xv


thì
()f x p


(vì

Y
compact 
p
và
 

f x p
khi

xv
do định ngha

thỏa mãn tính chất ).
Do đó ta có th định ngha
()f v p

0
Xv
ti
Y

. Khi đó, tồn tại
 
0
, , ( )x X v p Y U p

   

sao cho vi mỗi cặp
( , ) ( ) ( )V W x p


thỏa mãn
WU
, vi
( , )VW
f 
và
 
( , ) 0VW
x X v
thỏa mãn
( , ) ( , )
, ( )
V W V W
x V f x W

f x W

nên tồn tại

()Hx

sao cho
HV
và
( , )
()
VW
f H W

. Chn H nhƣ trên và
( , ) 0VW
y H X
, khi đó
 
( , )VW
y
là một lƣi trong
0
X
.
Nếu
()Bp

vi
BU

Ta có vi mỗi cặp (V,W) thì
( , )VW
xx
. Từ đó
( , )VW
xv
(vì
( , )
()

VW
f x W
nhƣng
( , )
()

VW
f x W
nhƣng
( , ) ( , )
()
V W V W
f x Y W



do đó
W
).
Nhƣng do


là bao đóng của

trong
0
( , )C X Y

.
2.2.5 Hệ quả
Cho
0
X
là tập con trù mật của không gian X và
0
( , )F X Y
thỏa
mãn tính chất

đối với
 
0
,,X X Y
. Khi đó :
(1) Mỗi
f 
thác triển thành
( , )f C X Y




trin
( , )f C X Y




vi mỗi , và tồn tại lƣi con
 
f


của
 
f

sao cho
( , )f g C X Y





. Ta thấy
gf

(vì trên
0
X
thì
f f f

,;C X Y




là compact tƣơng đối trong
,C X Y



do đó
mi dãy con của
 
f


đều có một dãy con
 
f



hội tụ đến
f

nên từ định lý