1

GIỚI THIỆU ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2013 - MÔN TOÁN
BANG NEW SOUTH WALES, ÚC

Đỗ Thị Thuý Ngọc – GV THPT Ninh Bình

Ở Úc, có một sự khác biệt đáng kể trong việc giảng dạy môn Toán giữa các bang, lí do vì mỗi bang
vận hành một hệ thống giáo dục riêng biệt. Chẳng hạn ở bang New South Wales, với môn Toán, học
sinh THPT phải trải qua bốn khoá học:
- Toán học đại cương (2 đơn vị bài học): Một khoá Toán học cơ bản cung cấp các kiến thức toán
học ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày, gồm các chuyên đề như Toán tài chính, Dữ liệu và Thống
kê, Xác suất, Đo lường, Đại số và Mô hình hoá và các chủ điểm nghiên cứu như Toán học và Thông
tin, Toán học và Điều khiển, Toán học và Sức khoẻ, Toán học và Tài nguyên…
- Toán học (2 đơn vị bài học): Một khoá Toán học nâng cao gồm các chuyên đề như Đại số và Số
học căn bản, Hình học phẳng, Xác suất, Hàm thực, Lượng giác, Hàm tuyến tính, Dãy số và ứng dụng,
Tiếp tuyến của đường cong, Tam thức bậc hai và Parabol, Ứng dụng hình học của đạo hàm, Tích phân,
Logarit và Mũ, Hàm lượng giác, Ứng dụng của Giải tích trong Vật lí…
- Toán học mở rộng 1 (1 đơn vị bài học): Một khoá Toán học nâng cao hơn gồm các chuyên đề như
Đường tròn, Ứng dụng của Giải tích, Parabol, Đa thức, Tích phân, Hàm ngược, Hàm lượng giác, Công
thức nhị thức Newton, Hoán vị và Tổ hợp, Quy nạp toán học, Các ứng dụng nâng cao của Giải tích…
- Toán học mở rộng 2 (1 đơn vị bài học): Khoá Toán học nâng cao nhất trong bốn khoá, gồm các
chuyên đề như Đồ thị, Số phức, Các đường Cônic, Tích phân, Thể tích, Cơ học, Đa thức và Các chủ đề
nâng cao của Toán học mở rộng 1.
Sau đây xin giới thiệu đề thi tốt nghiệp THPT năm 2013 khoá Toán học mở rộng 2. Đề và đáp án
(bằng tiếng Anh), các bạn xem tại website

TOÁN HỌC MỞ RỘNG 2

Phần I - 10 điểm
Gồm các câu hỏi trắc nghiệm từ 1 đến 10. Cho phép khoảng 15 phút cho phần này.

x x c
 

2 Cặp đường thẳng nào sau đây là các đường chuẩn của
2 2
4 25 100
x y  ?
(A)
25
29
x  
(B)
1
29
x  

(C)
29
x  
(D)
29
25
x  
3 Số phức
z
được biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình dưới đây

Hình nào dưới đây biểu diễn
2
z

?
(A)
3 2
4 11 7 5 0
x x x
   
(B)
3 2
4 3 6 0
x x x
   
(C)
3 2
4 13 11 7 0
x x x
   
(D)
3 2
4 2 2 8 0
x x x
   

5 Hình nào dưới đây biểu diễn tập hợp số phức
z
thoả mãn 1
4 3
z
 
  
?



 

 
 

(C)
 


2
ln 3 3 4
x x C
    
(D)
 


2
ln 3 3 4
x x C
    

7 Một chiếc đĩa bán kính 5cm quay với tốc độ 10 vòng mỗi phút. Xác định tốc độ của một điểm nằm
trên vành đĩa.
(A) 50 cm min
-1

(B)


(A)
4
2
4
4
x dx


(B)
4
2
4
4
x dx



(C)
 
4
2
4
4 16
x dx



(D)
 

  và
1 3
w i
  .
(i) Tìm
z w

. 1
(ii) Biểu diễn
w
dưới dạng lượng giác. 2
(iii) Viết
24
w
dưới dạng đơn giản nhất. 2
(b) Tìm
A
,
B
và
C
sao cho 2
 
 
2
2
2
8 11
3 2
3 2

 
. 3
Câu 12 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Sử dụng phép đổi biến
tan
2
x
t  hoặc cách khác, tính
2
0
1
4 5cos
dx
x



. 4
(b) Cho phương trình
 
log log 1000 log 3
50
e e e
x
y y    , trong đó
y
được ngầm hiểu là một hàm số
của
x
. Chứng minh rằng


tạo thành một khối tròn xoay.

Tính thể tích của khối tròn xoay. 4
(d) Các điểm
;
c
P cp
p
 
 
 
và
;
c
Q cq
q
 
 
 
, trong đó
p q

, nằm trên hypecbol có phương trình
2
xy c

.
Tiếp tuyến của hypecbol tại
P

A B
và
O
cùng thuộc một đường tròn có tâm là
P
. 2
(iii) Chứng minh rằng
BC
song song với
PQ
. 1

Câu 13 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Cho
 
1
2
2
0
1
n
n
I x dx
 

, trong đó
0
n

là một số nguyên.


2
y f x
 2
(ii)
 
1
1
y
f x


3
(c) Các điểm
A
,
B
,
C
và
D
nằm trên một đường tròn bán kính
r
, tạo thành một tứ giác nội tiếp.
Cạnh
AB
là một đường kính của đường tròn. Điểm
E
được chọn trên cạnh
AC



sin sin cos sin cos
     
   . 1
Câu 14 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Cho hàm số
ln
y x

có đồ thị như hình vẽ. 3

Bằng cách so sánh diện tích các hình phẳng có liên quan trong hình vẽ, chứng minh rằng
1
ln 2
1
t
t
t

 

 

 
, với
1
t

.

2
n

.
(c)
(i) Cho số nguyên dương
n
, chứng minh rằng
2 2
0
sec tan
n
n k
k
n
k
 

 

 
 

. 1
(ii) Từ đó, bằng cách viết
8
sec

dưới dạng
6 2


,
3
DE

và
2
EC

.
6(i) Chứng minh rằng tam giác
ABC
đồng dạng với tam giác
AED
. 1
(ii) Chứng minh rằng
BCED
là một tứ giác nội tiếp. 1
(iii) Chứng minh rằng
21
CD 
. 2
(iv) Tìm giá trị chính xác của bán kính của đường tròn đi qua các điểm
B
,
C
,



4 3 2
P x ax bx cx e
   
cho đa thức
1
x

ta được số dư là
3

.


P x
có một
nghiệm kép
1
x
 
.
(i) Chứng minh rằng
9
4 2
2
a c
  
. 2
(ii) Từ đó, hoặc sử dụng cách khác, tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

là một
hằng số. Phương trình chuyển động của quả bóng khi rơi là
2
mv mg kv
 

. (không cần chứng minh điều này)
(i) Chứng minh rằng vận tốc khi lực tác động bằng không
T
v
của quả bóng trong khi nó rơi là
mg
k
. 1
(ii) Chứng minh rằng khi quả bóng phóng lên, độ cao cực đại
H
nó đạt được là 3
2
2
2
ln 1
2
T
T
v
u
H
g v
 
 

(ii) Từ đó, hoặc bằng cách khác, chứng minh rằng với
0
x

,
   


2
2 2
1 4 25
x x x x
    . 1
(iii) Từ đó, hoặc bằng cách khác, chứng minh rằng với
0
m

và
0
n

, 2
   
2 2
100
4
1
mn
m n m n
m n

PS
và
'
PS
có cùng độ lớn
T
.

Độ dài của sợi dây là
2
a
và
' 2
SS ae

, với
0 1
e
 
. Mặt phẳng nằm ngang đi qua
P
giao với
'
SS
tại
Q
. Trung điểm của
'
SS
là

  . 1
(iii) Chứng minh rằng
cos
sin
1 cos
e
e






. 2
(iv) Bằng việc xem xét các lực tác động lên
P
theo phương thẳng đứng, chứng minh rằng 2


2
2 2
2 1 cos
1 cos
T e
mg
e





Hết
8

BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

n
x dx


1
1
, 0
1
n
x x
n

 

nếu
0
n


1
dx
x


ln , 0

ax a
a
 

2
sec
axdx


1
tan , 0
ax a
a
 

sec tan
ax axdx


1
sec , 0
ax a
a
 

2 2
1
dx
a x





2 2
ln , 0
x x a x a
    

2 2
1
dx
x a




2 2
ln
x x a
  
CHÚ Ý:
ln log , 0
e
x x x
 