Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

MC LC

Chng 1 5
LÝ THUYT PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 5
§1. M U 5
1.1. nh ngha 5
1.2. Ý ngha c hc và vt lý ca phng trình vi phân 5
1.3. Cp ca phng trình vi phân 6
1.4. Ý ngha hình hc ca phng trình vi phân cp 1 7
§2. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM I VI PHNG TRÌNH
VI PHÂN CP I 8
2.1. nh ngha 8
2.2.nh lý 8
§3. CÁC LOI NGHIM CA PHNG TRÌNH VI PHÂN 9
3.1.Nghim tng quát 9
3.2.Tích phân tng quát 9
3.3.Nghim riêng 9
3.4.Nghim kì d 10
3.5. Phng pháp tìm nghim kì d 11
Chng 2 14
MT S PHNG PHÁP 14
GII PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 14
§1. PHNG TRÌNH VI PHÂN VI BIN S PHÂN LY 14
1.1.Dng
() () 0M x dx N y dy+=
14
1.2.Phng trình đa v phng trình tách bin 15
§2. PHNG TRÌNH THUN NHT 15

31
§2. PHNG TRÌNH (, , ') 0Fxyy
=
- PHNG TRÌNH LAGRNG-KLERÔ
32

2.1.Phng trình
(, , ') 0Fxyy
=
32
2.2.Phng trình Lagrng 33
2.3.Phng trình Klerô: Khi
(') 'yy
φ
≡
34
Chng 4 35
PHNG TRÌNH VI PHÂN CP CAO 35
§1. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM 36
1.1.Dng tng quát ca phng trình vi phân cp cao 36
1.2.nh lý tn ti và duy nht nghim 37
1.3. Phng trình cp n 38
§2. CÁC PHNG TRÌNH GII C BNG CU PHNG 39
2.1.Dng
()
(, ) 0
n
Fxy =
39
2.2.Dng

§2. PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 49
2.1. Tính cht ca toán t
n
L
49
2.2. Khái nim v s ph thuc tuyn tính 49
2.3. nh thc Wrônxki 50
2.4. H nghim c bn 52
§3. PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH KHÔNG THUN NHT 54
3.1. Tính cht: 54
3.2. Phng pháp bin thiên hng s 55
§ 4. PHNG TRÌNH TUYN TÍNH CÓ H S HNG S. 57
4.1. Phng trình tuyn tính thun nht h s hng s. 57
4.2. Phng trình tuyn tính không thun nht h s hng s. 60
Chng 6 65
H PHNG TRÌNH VI PHÂN 65
§ 1. KHÁI NIM, NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM 65
1.1. nh ngha 65
1.2. nh lý tn ti và duy nht nghim 65
1.3. Các loi nghim ca h chun tc 66
§2. A H PHNG TRÌNH VI PHÂN V PTVP CP CAO. 66
2.1. Mt s ví d 66
§3. PHNG PHÁP LP T HP GII TÍCH 68
§ 4. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 70
4.1. nh ngha 70
4.2. Toán t vi phân tuyn tính 71
4.3. Khái nim v s ph thuc tuyn tính 72
4.4. H nghim c bn 74
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

dy
xx
dx
+
=

''' 5 '' 0yyy
+
=
Ta phân bit phng trình vi phân thng là phng trình mà trong đó hàm
phi tìm ch ph thuc mt bin s đc lp.
Phng trình đo hàm riêng là phng trình mà hàm phi tìm ph thuc ít
nht hai bin s:
Ví d
:
2
2
sin .sin ( , )
uu
x
tuuxt
xt
∂∂
+= =
∂∂

1.2. Ý ngha c hc và vt lý ca phng trình vi phân
Bài toán: Xét chuyn đng ri t do trong chân không ca mt vt có khi
lng m. Hãy tìm quy lut chuyn đng.
Chn hng oy nh hình v.

12
2
gt
yCtC=− + +
. Trong đó:
10
0t
dy
Cv
dt
=
⎛⎞
=
=
⎜⎟
⎝⎠
(vn tc
ban đu),
200
()
t
Cy y
=
==
(đ cao ban đu).
Qua ví d trên ta thy:
- Nghim ca phng trình vi phân cha các hng s tu ý (s lng tu theo
cp ca phng trình).
- Mun xác đnh các hng s thì ta phi bit đc các điu kin ban đu ca
phng trình.

n
n
dy
dx
.
i vi phng trình vi phân cp n thông thng ta tìm nghim di dng
12
( , , , , )
n
yxCCC
φ
=
cha n hng s tu ý đc gi là nghim tng quát ca
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

phng trình. Nu cho
12
, , ,
n
CC C
nhng giá tr c th ta s đc nghim riêng ca
phng trình.
1.4. Ý ngha hình hc ca phng trình vi phân cp 1
Xét phng trình:
( , ) (1.4)
dy
fxy
dx
=

Nh vy: Ý ngha hình hc ca vic ly tích phân phng trình
(1.4)
là hãy
v đng cong
()yx
φ
=
sao cho hng ca tip tuyn ti mi đim ca nó trùng vi
hng ca hng trng ti đim y.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

§2. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM I VI PHNG
TRÌNH VI PHÂN CP I

Xét phng trình
(, ) (2.1)
dy
fxy
dx
=

Khi đó bài toán tìm nghim ()yyx
=
ca (2.1) sao cho khi
0
x
x=
thì
0

thì
(, ) (,) (2.2)fxy fxy Ny y−≤− .
Chú ý: Bt đng thc (2.2) s tho mãn nu
'
(, ), (, )
y
f
xy f xy∃
gii ni trong G tc
là
'
(, ) (, )
y
f
xy N xy G≤∀ ∈
. Vì theo Lagrng
'
(, ) (,) (, ( )
y
f
xy f xy f xy ty y y y Ny y−=+−−≤−

Nhng điu ngc li không đúng vì có th (2.2) tho mãn nhng
'
(, )
y
f
xy

không tn ti.

⎧
>
⎨
−≤ ≤ +
⎩

(vì
f
liên tc trong G kín, gii ni nên
M
∃
đ
(, ) (, )
f
x
y
Mx
y
G
≤
∀∈
)
2. (, )
f
xy tho mãn trong G điu kin lipsit đi vi
y
.
Khi đó tn ti duy nht mt nghim ()yx
φ
=

dy
fxy
dx
=

3.1.Nghim tng quát
Gi s
2
GR⊂ là min mà ti mi đim ca nó có mt và ch mt đng
cong tích phân ca phng trình (3.1)đi qua. Khi đó hàm
( , ) (3.2)yxc
φ
=
xác
đnh và có đo hàm liên tc theo
x
đc gi là nghim tng quát ca phng trình
(3.1)
trong G nu:
a) (, )
M
xy G∀∈ t (,)yxc
φ
= có th gii ra đc (, )cxy
ψ
=
.
b)
(,)yxc
φ


Nghim nhn đc t nghim tng quát vi hng s
c
xác đnh luôn luôn là nghim
riêng.
3.4.Nghim kì d
Nghim ()yyx
=
đc gi là nghim kì d ca phng trình (3.1)nu ti mi
đim ca nó tính cht duy nht nghim ca bài toán Côsi b phá v.
Ví d
: Xét phng trình
'2yy=
(0)y ≥
2
(0)
2
()
()( )
dy
dx y
y
yxc x c
yxc x c
⇒= ≠
⇒=+ >−
⇒= + >−

Ta xét các loi nghim ca phng trình trên.
a) Ta chng minh rng

. Và trong lân cn đó
1f
y
y
∂
=
∂
gii ni
⇒
điu kin Lipsit đc tho mãn.
+) T
2
()yxc c yx
=
+⇒=−

+) H thc
2
()
y
xc=+
vi
x
c>−
tho mãn phng trình.
Do đó
2
()
y
xc=+

0y = là nghim kì d.
Chú ý: +) Nghim kì d không th nm trong min tn ti G ca nghim tng quát
đc.
+) on '
x
MN cng là nghim nhn đc bng cách dán nghim riêng và
nghim kì d, đây không phi là nghim riêng và không phi là nghim kì d.
3.5. Phng pháp tìm nghim kì d
a) Phng trình: '(,)yfxy=
Nghim kì d ch có th xut hin ti nhng ni mà điu kin Lipsit không
đc tho mãn. Do đó nghim kì d có th xut hin ti nhng ni mà
f
y
∂
∂
không
gii ni. T đó ta có th rút ra quy tc tìm nghim kì d:
+) Tìm nhng đng cong mà dc theo nó
f
y
∂
∂
không gii ni. Gi s gi đng
cong đó là
*
()
y
x
φ
=

y
∂
=
∞
∂
khi 0y
=
.
Ta thy: +) 0y = là nghim.
+) Nghim tng quát ca phng trình vi phân trên là
3
27 ( )
y
xc=+
đây
là h đng Parabol bc 3, ta thy ti mi đim ca 0y
=
tính cht duy nht
nghim b phá v do đó 0y = là nghim kì d.
b) Phng trình

(, , ') 0 (3.2)Fxyy =
.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Gi s phng trình (3.2) xác đnh mt s các giá tr thc 'y (hay vô hn)

'(,)(1,2, ) (3.3)
i

=
∂∂
vi phân phng trình (3.2) theo
y
ta đc
'
0
'
FFy
yyy
∂∂∂
+=
∂∂∂

'
(0)
'
'
F
yF
y
gt
F
yy
y
∂
−
∂∂
∂
⇒= ≠

⎨
=
⎪
∂
⎩
kh 'y ta đc h thc
( , ) 0 (3.4)Rxy
=

H thc
(3.4) gi là 'y − bit tuyn (hay p bit tuyn) ca phng trình (3.2).
* Th xem p bit tuyn có phi là nghim ca phng trình (3.2) hay không.
* Nu phi thì xem tính cht duy nht có b phá v hay không. Nu có thì
p-bit tuyn là nghim kì d.
Ví d
: Tìm nghim kì d ca phng trình
22
(, , ') ' 1 0Fxyy y y
=
+−=
.
Ta có
2' 0
'
F
y
y
∂
=
=

cxc
π
−+ = + −
).
Ta thy trên 1y =± tính cht duy nht nghim b phá v
1y⇒=±
là nghim kì d.
c) Tìm nghim kì d t nghim tng quát
:
Gi s tích phân tng quát có dng (, ,) 0xyc
Φ
= ta tìm bao hình ca h
nghim tng quát. Mun vy trc ht ta tìm
c
-bit tuyn t h
(, ,) 0
(, ,)
0
xyc
xyc
c
Φ=
⎧
⎪
⎨
∂Φ
=
⎪
∂
⎩

⇒=
⎨
∂Φ
=
⎪
∂
⎩

+ Th xem
c -bit tuyn có phi là bao hình không. Nu phi thì (, ) 0Rxy = là
nghim kì d.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Chng 2
MT S PHNG PHÁP
GII PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1

§1. PHNG TRÌNH VI PHÂN VI BIN S PHÂN LY
1.1.Dng
() () 0M x dx N y dy+=

(1.1)

(1.1) gi là phng trình vi phân vi bin s phân ly (phng trình tách bin)
gi s
(), ()
M
xNy liên tc trong min nào đó ca
2

Px Ny
+
=
∫∫
. Ngoài ra ta phi xét trng hp
()() 0NyPx=
.
Nhng trng hp
0
yy=
làm cho () 0Ny
=
cng là nghim ca phng
trình (1.2) . Nu mun tìm c nghim di dng ()
x
xy
=
thì nhng giá tr
0
x
x
=

làm cho
() 0Px =
cng là nghim ca phng trình.
Ví d
: Xét phng trình
22
(1) (1) 0x y dx y x dy

22
(1)(1)
xy
C
−
−=

Ngoài ra còn có các nghim
1, 1yx
=
±=±
.
1.2.Phng trình đa v phng trình tách bin
Xét phng trình dng
()
dy
f
ax by c
dx
=
++
.
t
dz
a
dy
dx
zaxbyc
dx b
−

1
11
C
x
x
zee zCe
−
−
−= ⇒−=
.
Vy 1
x
zCe
−
=− hay
4
x
yCe x
−
=++
là nghim ca phng trình.

§2. PHNG TRÌNH THUN NHT
2.1.nh ngha: Hàm s (, )
f
xy gi là hàm thun nht bc n nu
(,) (,)
n
f
tx t

fxy f
x
x
φ
⇒==
ta có:
()
dy y
dx x
φ
=
(2.2)
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

t
ydy dz
zzx
x
dx dx
=⇒ =+
th vào phng trình (2.2) ta có
()
dz
zx z
dx
φ
+=
hay
()

φ
φ
−
∫
=+ = ⇔= =
−
∫
hay
()z
x
Ce
ϕ
= thay
y
z
x
=

vào ta đc
()
y
x
x
Ce
ϕ
=
(2.3)

ây là nghim tng quát ca
(2.1) .


2
1
22
(1 ) 2
ln
(1 ) 1
dx z dx dz zdz
dz C
xzz x z z
−
⇒− =−+ =
++
∫∫ ∫∫∫

hay
2
2
11
(1 )
ln ln ln 1 ln
xz
x
zzC C
z
+
−++= ⇔ =
hay
2
(1 )xz

mà đt luôn
yzx=
sau đó bin đi.
-
Nu () 0zz
φ
−
= vi
0
zz
=
thì ngoài nghim tng quát còn nghim
0
zz
=

hay
0
yzx=
cng là nghim.
Trong ví d trên đng thng 0y
=
cng là nghim ca phng trình.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

2.2. Phng trình đa đc v phng trình thun nht
Xét phng trình dng
111
222

, khi đó
phng trình có dng
11111
22222
dabahbkc
f
dabahbkc
ηξη
ξξη
⎛⎞
++++
=
⎜⎟
++++
⎝⎠
. Nu chn ,hktho mãn
111
222
0
0
ah bk c
ah bk c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
thì ta đc phng trình thun nht
11
22

111 2 2 1
222 222
()dy ax by c ax by c
ff
dx a x b y c a x b y c
λ
⎛⎞⎛ ⎞
++ + +
==
⎜⎟⎜ ⎟
++ ++
⎝⎠⎝ ⎠

t
22
zaxby=+
và lp phng trình theo
z
ta có
()
dz
z
dx
φ
=
đây là phng
trình tách bin.
Ví d
:
3

hk k
+−= =
⎧⎧
⇔
⎨⎨
−−= =
⎩⎩
Ta đc phng trình thun nht
d
d
η
ξη
ξ
ξη
+
=
−
t
2
1
1
du u
u
du
ηξξ
ξ
+
=⇒ =
−
phng trình tách bin.

Phng trình vi phân tuyn tính là phng trình vi phân tuyn tính đi vi hàm và
đo hàm ca nó.
Dng tng quát:
() () ()
dy
A
xBxyCx
dx
+=
(3.1)
Trong đó (), (), ()
A
xBxCx là các hàm liên tc trong khong nào đó. Nu trong
khong đang xét
() 0
A
xx≠∀
thì phng trình đc đa v dng.
() ()
dy
P
xy Qx
dx
+=
(3.2)
Xét phng trình
() 0
dy
Pxy
dx

−
∫
⇒=
hay
()
P
xdx
yCe
−
∫
=

(3.4)

Mt khác 0y = cng là nghim nhng có th gp vào (3.4) ng vi trng hp
0C = .
Vy nghim tng quát ca phng trình
(3.3)
là
()
P
xdx
yCe
−
∫
=
trong đó C là hng
s tu ý.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

∫
=
hay
()
1
() ()
Pxdx
CCx Qxe C
∫
=
=+
∫
. Trong đó
1
C
là hng s
tu ý.
Vy
() () ()
()
P
xdx Pxdx Pxdx
yCe e Qxe
−−
∫∫ ∫
=+
∫
(3.5)
Chú ý: 1. V phi ca (3.5) ta thy s hng đu là nghim tng quát ca phng
trình vi phân tuyn tính thun nht, s hng th hai là nghim riêng ca phng

dC
CCx x
dx
=⇒=
hay
2
1
1
2
CxC=+
. Vy
3
2
x
yCx
=
+
.
3.3.H qu
a) Nu bit đc mt nghim riêng ca phng trình vi phân tuyn tính không thun
nht thì vic gii phng trình s quy v vic gii phng trình thun nht.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Tht vy: đt ()yYx z=+ trong đó ()Yx là mt nghim riêng ca phng
trình không thun nht. Còn
z
là hàm phi tìm, lp phng trình vi phân đi vi
z


=

Nghim này cha mi nghim riêng, gi s ng vi
0
C
ta có
()
0
()
P
xdx
xCe
φ
−
∫
=
do đó
0
()
yC
x
C
φ
=
ký hiu
1
0
C
C
C

yPxfyQx
dx
+=

Bng phép th ()zfy
=
đa v
() ()
dz
P
xz Qx
dx
+=
.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Ví d
:
22 2 2
1
()
2
dy dz
yxyx xzxzy
dx dx
+=→ += =
.
b) Phng trình Becnuli
Dng phng trình

dy
Px Qx
ydx y
αα
−
+=

(3.7)

i bin
1
z
y
α
−
=
ta có
(1 )
dy dz
y
dx dx
α
α
−
−=
và do đó
1
() ()
1
dz

44(0)
y
dy y dy
xy x y
dx x x
ydx
−= ⇒ − = ≠
. t
zy=
do đó
2
y
z
=
và
2
dy dz
z
dx dx
=
Thay vào ta có
2
2
dz z x
dx x
−
=
gii phng trình ta đc nghim
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

thì ta nói
(4.1)
là phng trình vi phân hoàn chnh, khi đó tích phân tng quát ca
phng trình là (, )uxy C= .
Ví d
: 0xdx ydy+=
Ta có
()
22
1
2
x
dx ydy d x y
⎡⎤
+= +
⎢⎥
⎣⎦
vì vy tích phân tng quát là
22
xy
C+=
.
4.1.Cách đoán nhn phng trình là phng trình vi phân hoàn chnh
nh lý: iu kin cn và đ đ biu thc vi phân
(, ) (,)
M
xydx Nxydy
+
(4.3)
Trong đó

∃
sao cho
(, )
uu
du Mdx Ndy dx dy x y G
xy
∂
∂
=+= + ∀∈
∂∂

22
(, ) ; (, ) ;
uuMuNu
Mxy Nxy
x
yyxyxyx
∂∂∂∂∂∂
⇒= =⇒= =
∂∂∂∂∂∂∂∂

do gi thit
22
;
uu
x
yyx
∂∂
∂∂ ∂∂
tn ti và liên tc nên chúng bng nhau

∂∂
==
∂∂
(4.5)
điu này tng đng chng minh (4.5) có nghim.
Xét phng trình
(, )
u
M
xy
x
∂
=
∂
nghim ca nó vit di dng
0
(, ) (, ) ()
x
x
uxy Mxydx y
φ
=+
∫
(4.6)
Trong đó ()y
φ
là mt hàm tu ý theo
y
(tích phân này có ngha vì G đn liên). Ta
s chn hàm ()y

'( ) ( , )
x
x
M
yNxy dx
y
φ
∂
⇒= −
∂
∫
(4.7)
Vì
0
'( ) ( , )
x
x
MN N
yNxy dx
yx x
φ
∂∂ ∂
=⇒ = −
∂∂ ∂
∫00
(,) (,) ( ,) ( ,)Nxy Nxy Nx y Nx y=−+ =


Tc là tn ti hàm (, )uxy tho mãn (4.5) .
Chú ý: 1, T (4.9) ta có tích phân tng quát ca phng trình (4.2) là:

00
0
(, ) ( , )
y
x
xy
M
xydx Nx ydy C+=
∫∫
(4.10)
2, Nu khi tìm hàm
(, )uxy
mà không xut phát t phng trình
(4.5)
thì ta
s đc tích phân tng quát dng:
00
0
(, ) (, )
y
x
xy
M
xy dx Nxydy C
+
=
∫∫

xy
x
u
xy
y
∂
=+
∂
∂
=−
∂

t
(*) ( , ) (7 3 ) ( )uxy x ydx y
φ
⇒=++
∫