Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
1

MỤC LỤC Trang

• Tóm tắt kiến thức 2

• Các bài toán về điểm và đường thẳng 4

• Các bài toán về tam giác 6

• Các bài toán về hình chữ nhật 13

• Các bài toán về hình thoi 16

• Các bài toán về hình vuông 17

• Các bài toán về hình thang, hình bình hành 19

• Các bài toán về đường tròn 21

• Các bài toán về ba đường conic 31


TÓM TẮT KIẾN THỨC

1. Phương trình đường thẳng
• đường thẳng đi qua điểm
(
)
;
o o
A x y
và có VTCP
(
)
;
u a b
=

có PTTS là
= +


= +

o
o
x x at
y y bt
.
• đường thẳng đi qua điểm
(
)

B x y
có phương trình:
− −
=
− −
A A
B A B A
x x y y
x x y y
.
• đường thẳng đi qua hai điểm
(
)
;0
A a
và
(
)
0;
B b
với
≠
0
a
và
≠
0
b
có phương trình:
+ =

( ') : 0
d ax by c
thì (d) có phương trình là
− + =
0
bx ay m
.
• nếu (d) song song với
+ + =
( ') : 0
d ax by c
thì (d) có phương trình là
(
)
+ + = ≠
0
ax by m m c
.
• đường thẳng có hệ số góc k có phương trình là
= +
y kx b
.
• đường thẳng đi qua điểm
(
)
;
o o
A x y
và có hệ số góc k có phương trình là
(

A x y
đến
∆ + + =
( ) : 0
ax by c
tính bởi công thức:
( )
+ +
∆ =
+
2 2
,
o o
ax by c
d A
a b

• M, N ở cùng phía đối với đường thẳng
∆ + + =
( ) : 0
ax by c
(
)
(
)
⇔ + + + + >
0
M M N N
ax by c ax by c
• M, N ở khác phía đối với đường thẳng

' ' '
' '
ax by c a x b y c
a b a b



( )
+
∆ ∆ =
+ +
2 2 2 2
' '
cos ; '
. ' '
aa bb
a b a b


∆ ⊥ ∆ ⇔ + =
' ' ' 0
aa bb
.

3. Đường tròn
• đường tròn (C) tâm
(
)
;
o o

.
• cho đường thẳng
∆ + + =
( ) : 0
ax by c
và đường tròn (C) có tâm
(
)
;
o o
T x y
và bán kính R . Lúc đó:
∆
( )
tiếp xúc (C)
( )
+ +
⇔ ∆ = ⇔ =
+
2 2
;
o o
ax by c
d T R R
a b
.
www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


•
Phương trình chính tắc:
( ) ( )
+ = < <
2 2
2 2
: 1 0
x y
E b a
a b

• Tiêu điểm:
(
)
(
)
−
1 2
;0 , ;0
F c F c
với
2 2
c a b
= −

• Tiêu cự:
=
1 2
2
F F c

5. Đường hypebol

x

y

M(x;y)
F
2

(c;0)

F

1

(-
c;0)
O

• Định nghĩa:
(
)
{
}
= − =
1 2
| 2
H M MF MF a



• Bán kính qua tiêu: = + = −
1 2
;
c c
MF a x MF a x
a a

• Tâm sai:
= >
1
c
e
a

• Trục thực là Ox, độ dài trục thực: 2a
• Trục ảo là Oy, độ dài trục ảo: 2b
• Phương trình các đường tiệm cận: = ±
b
y x
a

• Tọa độ các đỉnh:
(
)
(
)
−
;0 , ;0
a a

)
(
)
= >
2
: 2 0
P y px p

• Tiêu điểm:
 
 
 
;0
2
p
F
• Đường chuNn:
+ =
0
2
p
x
• Bán kính qua tiêu:
= +
2
p
MF x
• Tọa độ đỉnh:
(
)

+ + = − − = − =
1 2 3
: 3 0, : 4 0, : 2 0
d x y d x y d x y
.
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
1
bằng hai lần
khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
.
ĐS: M(–22; –11), M(2; 1)
B11: Cho hai đường thẳng
: 4 0
x y
∆ − − =
và
: 2 2 0
d x y
− − =
. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d
sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng
∆
tại điểm M thỏa mãn
. 8
OM ON
=
.

135
AMB
=
và
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB bằng
10
2
.
ĐS:
(
)
0;0
M hoặc
(
)
1;3
M −
D10: Cho điểm A(0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết
phương trình ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
ĐS: 2 đường
∆
:
(
)
x y
5 1 2 5 2 0
− ± − =

B04(dự bị): Cho điểm I(–2; 0) và hai đường thẳng d x y d x y
1 2

và cắt
1 2
;
d d
lần lượt tại A và B sao cho
2
MB MA
= −
 
.
ĐS:
: 1
d x
=

Toán học & Tuổi trẻ: Cho hai điểm
(
)
(
)
2;5 , 5;1
A B . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A sao cho
khoảng cách từ B đến d bằng 3.
ĐS:
: 7 24 134 0
d x y
+ − =

Toán học & Tuổi trẻ: Cho điểm
(

là lớn nhất.
ĐS:
: 4 5 9 0
d x y
+ − =

chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Cho tam giác ABC có đỉnh A(0 ; 4), trọng tâm
(
)
4 / 3;2 / 3
G và trực
tâm trùng với gốc tọa độ. Tìm tọa độ B, C biết
B C
x x
<
.
ĐS:
(
)
(
)
1; 1 , 5; 1
B C
− − −

www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế

,
d d
lần lượt tại A, B sao cho 2IA=IB.
ĐS:
− =
: 3 4 0
d x y
hoặc
=
: 0
d x

chuyên ĐH Vinh - 2013: Cho hai đường thẳng
− − = + − =
1 2
: 2 0, : 2 2 0
d x y d x y . Gọi I là giao điểm
của
1 2
,
d d
. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;1) cắt
1 2
,
d d
lần lượt tại A, B sao cho AB = 3IA.
ĐS:
+ =
0
x y

1 2 3
, ,
d d d
đều bằng 6.
ĐS:
(
)
2;1
B − hoặc
6 13
;
5 5
B
 
 
 *****
− −
3; 1
B . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của
tam giác OAB.
ĐS:
(
)
(
)
H I
3; 1 , 3;1
− −

B08: Hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường
thẳng AB là điểm H(–1; –1), đường phân giác trong góc A có phương trình
− + =
2 0
x y
và đường cao kẻ
từ B có phương trình
+ − =
4 3 1 0
x y
.
ĐS: C
10 3
;
3 4
 
−

3
A
 
 
 

D11: Cho tam giác ABC có đỉnh
(
)
4;1
B − , trọng tâm
(
)
1;1
G và đường thẳng chứa phân giác trong của
góc A có phương trình
1 0
x y
− − =
. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
ĐS:
(
)
(
)
4;3 , 3; 1
A C
−

B13: Cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là

(
)
2;4
H
−
và
(
)
1;1
I
−

lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh C.
ĐS:
(
)
−
1;6
C

D03(dự bị): Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B
và C có phương trình tương ứng là:
x y x y
2 1 0, 3 1 0
− + = + − =
. Tính diện tích tam giác ABC.
ĐS:
B C
( 5; 2), ( 1;4)
− − −

x y
3 0
+ + =
và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A,
B, C.
ĐS:
A B C
2 2 8 8
; , ( 4;1), ;
3 3 3 3
   
− − −
   
   

www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
7

B06(dự bị): Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình
x y
3 7 0
− − =
và
đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình
x y
1 0

0
13 10 13 10 13 10
x
   
− + + − + =
   
   

Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC có
: 5 2 7 0; : 2 1 0
AB x y BC x y
+ + = − − =
. Phương trình
đường phân giác trong góc A là
1 0
x y
+ − =
. Tìm tọa độ điểm C.
ĐS:
11 4
;
3 3
C
 
 
 

Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC biết C(4 ; 3). Đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh
A của tam giác lần lượt có phương trình
2 5 0

B C− − lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên các đường thẳng AC, AB. Xác
định tọa độ của A, B, C.
ĐS:
( )
21 21 31 1
1; 1 , ; , ;
4 4 4 4
A B C
   
− − −
   
   

Lê Hồng Phong - Thanh Hóa:
1. Cho tam giác ABC có A(5 ; 2). Phương trình đường trung trực đoạn BC là
6 0
x y
+ − =
, trung
tuyến CC’ là
2 3 0
x y
− + =
. Tìm tọa độ các đỉnh B, C.
2. Cho tam giác ABC có A(1 ; 5). Phương trình
: 2 6 0
BC x y
− − =
. Tâm đường tròn nội tiếp
I(1;0). Tìm tọa độ các đỉnh B, C.

)
(
)
1;3 , 3; 1 , 1;1
A B C− − hoặc
(
)
(
)
(
)
1;3 , 3; 1 , 1;1
A C B− −
Lý Thái Tổ - Bắc Ninh: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong góc A
lần lượt có phương trình là
1 2
: 3 4 10 0; : 1 0
d x y d x y
+ + = − + =
. Điểm M(0 ; 2) thuộc đường thẳng AB
đồng thời cách C một khoảng bằng
2
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
ĐS:
(
)
(
)
(
)

8

THPT Triệu Sơn 4: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B lần
lượt có phương trình là
2 2 0; 1 0
x y x y
− − = − − =
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M(0 ; 2)
thuộc đường thẳng AB và AB = 2BC.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
3;1/ 2 , 2;1 , 7 / 4;3/ 2
A B C
Quỳnh Lưu 2 - Nghệ An: Cho tam giác ABC có diện tích bằng
12 6 6
+
,
(
)
(
)
2;0 , 4;0
A B− , bán kính
đường tròn ngoại tiếp bằng 5. Tìm tọa độ điểm C biết tung độ của C dương.
ĐS:

(
)
(
)
4; 1/ 2 , 6; 3 / 2
A B− − hoặc
(
)
(
)
4; 1/ 2 , 6; 3/ 2
B A− −
GSTT.VN - 2013: Cho tam giác ABC có M(0;-1) nằm trên cạnh AC. Biết AB=2AM, đường phân giác
trong góc A là
: 0
d x y
− =
, đường cao đi qua đỉnh C là
' : 2 3 0
d x y
+ + =
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC.
ĐS:
( ) ( )
 
− − − −
 
 
1

, trung điểm
của cạnh AC là M(0;3), đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N(7;-1). Xác định tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC.
chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2013: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2), điểm M(-2;1) nằm
trên đường cao kẻ từ A. Đường thẳng BC có phương trình
1 0
x y
− − =
. Tìm tọa độ điểm B biết
0
B
x
>

và diện tích tam giác ABC bằng 24.
ĐS: B(7;6)
chuyên ĐH Vinh - 2013: Cho tam giác ABC có A(-1;-3), B(5;1). Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao
cho MC=2MB. Tìm tọa độ điểm C biết rằng MA = AC = 5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số
nguyên.
ĐS: C(-4;1)
Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho tam giác ABC có A(1;2), trọng tâm G(1;1) và trực tâm
2 10
;
3 3
H
 
 
 
.
Tìm tọa độ hai đỉnh B và C của tam giác.

và
BH là đường cao. Tìm tọa độ của điểm M, N trên đường thẳng chứa đường cao BH sao cho ba tam giác
MBC, NBC và ABC có chu vi bằng nhau.
ĐS:
8 24 3 24 6 3 8 24 3 24 6 3
; , ;
13 13 13 13
M N
   
− + + − − − +
   
   
   

chuyên ĐH Vinh - 204: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là
3 18 0
x y
+ − =
, phương trình đường thẳng trung trực của BC là
3 19 279 0.
x y
+ − =
Đỉnh C thuộc đường
thẳng
: 2 5 0.
d x y
− + =
Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng

135 .

Biết rằng đường thẳng d chứa đường phân giác trong của góc A, đường thẳng
∆

vuông góc với cạnh AC và ba đường thẳng
∆
, d và trung trực của cạnh BC đồng qui tại một điểm.
ĐS:
4 2
;
3 3
B
 
 
 

chuyên ĐH Vinh - 204: Cho tam giác ABC có M(2;1) là trung điểm cạnh AC, điểm H(0;-3) là chân
đường cao kẻ từ A, điểm E(23;-2) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B biết
điểm A thuộc đường thẳng
: 2 3 5 0
d x y
+ − =
và điểm C có hoành độ dương.
ĐS:
(
)
3; 4
B
− −

Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC có A(1;5), điểm B nằm trên đường thẳng

(
)
3;0
I − và trung điểm của cạnh BC là
(
)
0; 3
M
−
. Viết phương trình đường thẳng AB biết B có
hoành độ dương.
ĐS:
: 3 7 49 0
AB x y
+ − =

chuyên Hà Nội - Amsterdam: Cho tam giác ABC và điểm
(
)
0; 1
M
−
. Phương trình đường phân giác
trong của góc A và đường cao kẻ từ C lần lượt là
0; 2 3 0
x y x y
− = + + =
. Đường thẳng AC đi qua M và
AB = 2AM. Viết phương trình cạnh BC.
ĐS:

d x y
+ − =
và
' : 1 0
d x y
− − =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A
có hệ số góc dương sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến
∆
là lớn nhất.
ĐS:
∆ − + =
: 3 6 0
x y

chuyên Nguyễn Đình Chiểu - Đồng Tháp - 2014: Cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH là
3 3.
x =
Phương trình đường phân giác trong góc

ABC
,

ACB
lần lượt là
3
x y
−

ĐS: A(0; 2), B(4; 0), C(–2; –2)
B09: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(–1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆:
− − =
4 0
x y
.
Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
ĐS: B C
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
   
−
   
   
hoặc B C
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
   
−
   
   

A10: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và
AC có phương trình
+ − =
4 0
x y
. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; –3) nằm trên đường cao đi


Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An: Cho tam giác ABC cân tại A có
: 2 2 0; : 2 1 0
AB x y AC x y
+ − = + + =
, điểm
M(1 ; 2) thuộc đoạn BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho
.
DB DC
 
nhỏ nhất.
ĐS: D(0 ; 3)
Nguyễn Đức Mậu - Nghệ An: Cho tam giác ABC cân tại A, đỉnh B thuộc
: 4 2 0
d x y
− − =
, cạnh AC
song song với d. Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình
3 0
x y
+ + =
, điểm M(1 ; 1) nằm trên AB. Tìm
tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
ĐS:
(
)
(
)
(
)

A B C
www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
11

chuyên ĐH Vinh - 2013: Cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H(-3;2). Gọi D, E là chân đường cao
kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng
: 3 3 0
d x y
− − =
, điểm F(-2;3) thuộc đường thẳng DE
và HD=2. Tìm tọa độ điểm A.
ĐS:
(
)
3;0
A
Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2014: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi N là trung điểm của AB. Gọi E và
F lân lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Tìm tọa độ của đỉnh A biết rằng
E(7;1),
11 13
;
5 5
F
 
 
 

và
2
: 2 7 0
d x y
+ − =
. Lập phương trình
đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với
1 2
;
d d
một tam giác cân có đáy thuộc đường thẳng đó.
ĐS:
1
18
3 8 0;
5
x y S− + = = hoặc
2
32
3 6 0;
5
x y S+ − = =
Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết
: 2 1 0; : 4 3 0
AB x y BC x y
+ − = + + =
. Viết
phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.
ĐS:
31 22 9 0

 
+ +
 
 
 
, G
2
4 3 1 6 2 3
;
3 3
 
− − − −
 
 
 

D04: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(–1; 0), B(4; 0), C(0; m) với
≠
0
m
. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
ĐS:
m
G m
1; , 3 6
3
 
= ±
 

x
0
≥
, trên trục Oy, lấy điểm C có
www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
12

tung độ
C
y
0
≥
sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC
lớn nhất.
ĐS: B(0; 0), C(0; 5)
D07(dự bị): Cho các điểm A(0; 1), B(2; –1) và các đường thẳng

− + − + − =
1
:( 1) ( 2) 2 0
d m x m y m ,
− + − + − =
2
:(2 ) ( 1) 3 5 0
d m x m y m
Chứng minh d

ĐS:
   
− −
   
   
4 4
3; , 1;
3 3
G G
chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: Cho
(
)
1;2
A − và đường thẳng
: 2 3 0
d x y
− + =
. Tìm trên d
hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC = 3BC.
ĐS:
3 6
;
5 5
C
−
 
 
 
và
13 16

thuộc đường thẳng AC, điểm
(
)
2; 3
M
−
thuộc đường thẳng AB. Xác định tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
1;1 , 4;5 , 3;4
A B C− −
Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có I là trung điểm của cạnh BC. Gọi M là
trung điểm của IB và N là điểm nằm trên đoạn thẳng IC sao cho NC=2NI. Biết rằng
11
; 4
2
M
 
−
 
 
, phương
trình đường thẳng AN là
2 0


Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
13

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT

1. Tìm tọa độ của điểm
B02: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm
 
 
 
1
I ; 0
2
, phương trình đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB =
2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
ĐS: A(–2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(–1; –2)
D12: Cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =
và
4 0
x y
− + =
. Đường thẳng BD đi qua điểm
(
)
−
1 / 3;1

N
−
.
ĐS:
(
)
(
)
− − −
1; 7 , 4; 7
C B
Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chữ nhật ABCD biết
: 2 1 0; : 7 14 0
AB x y BD x y
− − = − + =
. Đường
chéo AC đi qua điểm M(2 ; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
1;0 , 7;3 , 6;5 , 0;2
A B C D
Đô Lương 4 - Nghệ An: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng
: 3 0

ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
2;5 , 2;1 , 0; 1 , 4;3
A B C D− − hoặc
(
)
(
)
(
)
(
)
2;5 , 2;1 , 0; 1 , 4;3
B A D C− −
Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2012: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
9 3
;
2 2
I
 
 
 
và trung

−
 
 
M và N thuộc trục Oy.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm A có hoành độ âm, điểm D có hoành độ dương
và diện tích tam giác AND bằng 10.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
− −
4;5 , 4;0 , 6;0 , 6;5
A B C D
chuyên ĐHKHTN Hà Nội - 2013: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12. Tâm I của hình chữ
nhật là giao điểm của hai đường thẳng
1
: 3 0
d x y
− − =
và
2
: 6 0
d x y
+ − =
. trung điểm của một cạnh là

chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh B, C thuộc
trục tung. Đường chéo
: 3 4 16 0
AC x y
+ − =
. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
4;1 , 0;1 , 0;4 , 4;4
A B C D
hoặc
(
)
(
)
(
)
(
)
− − −
4;7 , 0; 7 , 0;4 , 4;4
A B C D

;5 , 2;1
5
A D
 
− −
 
 

Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có
: 2 1 0
AD x y
+ − =
, điểm I(-3;2) thuộc BD sao
cho
2
IB ID
= −
 
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết
0
D
x
>
và
2
AD AB
=
.
ĐS:
(

(
)
1;1 , 3;1 , 3; 3 , 1; 3
A B C D
− −

Can Lộc - Hà Tĩnh - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi N là trung điểm của cạnh BC,
M là điểm thuộc cạnh CD sao cho DC=4DM. Biết tọa độ M(1;2), phương trình đường thẳng AN là
4 5 0.
x y
− + =
Tìm tọa độ đỉnh A biết
0,5
A
x
< −
.
ĐS:
(
)
1;1
A −
Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có B(1;1). Trọng tâm của tam giác ABC nằm
trên đường thẳng
: 3 2 0.
d x y
− − =
Điểm N(4;6) là trung điểm của cạnh CD. Tìm tọa độ đỉnh A.
ĐS:
( )

A09: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;
5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆:
+ − =
5 0
x y
. Viết phương
trình đường thẳng AB.
ĐS:
y x y
5 0, 4 19 0
− = − + =www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
15

Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chữ nhật, hai đường chéo lần lượt có phương trình là
+ − =
1
: 7 4 0
d x y

− + =
2
; : 2 0
d x y . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của hình chữ nhật biết nó đi qua điểm


*****


−

chuyên Quốc Học Huế: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD. Biết
đường thẳng AC có phương trình
2 1 0
x y
− − =
; đỉnh
(
)
3;5
A và điểm B thuộc đường thẳng
+ − =
: 1 0
d x y
. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình thoi ABCD.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
1;2 , 3;0 , 1; 3
B D C
− − −
hoặc
( )
13 4 13 31
3; 2 , ; , ;

(
)
(
)
− − − − − − − −
1 3; 3 1 , 2;2 , 3 1; 1 3 , 4; 4
A B C D
Lạng Giang 1 - Bắc Giang: Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AC là
7 31 0
x y
+ − =
, hai đỉnh
B, D lần lượt thuộc các đường thẳng
+ − =
1
: 8 0
d x y và
− + =
2
: 2 3 0
d x y . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thoi biết diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
(

(
)
(
)
(
)
0;1 , 3;0 , 2;3 , 1;4
A B C D− −
2. Viết phương trình đường thẳng
• Cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) và AC = 2BD. Điểm
4
2;
3
M
 
 
 
thuộc đường thẳng AB, điểm
13
3;
3
N
 
 
 
thuộc đường thẳng CD. Viết phương trình đường thẳng BD biết
3
B
x
<


Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
17

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG

1. Tìm tọa độ của điểm
A05: Cho hai đường thẳng
− =
1
: 0
d x y
và
+ − =
2
: 2 1 0
d x y
. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết
rằng đỉnh A thuộc d
1
, đỉnh C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
ĐS: A(1; 1), B(0; 0), C(1; –1), D(2; 0) hoặc A(1; 1), B(2; 0), C(1; –1), D(0; 0)
A12: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho
CN = 2ND. Giả sử
11 1
;
2 2
M

1
d
và C thuộc
2
d
.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
3;3 , 2;2 , 1;3 , 4;2
A B C D hoặc
(
)
(
)
(
)
(
)
1;3 , 2;2 , 3;3 , 4;2
A B C D
chuyên Vĩnh Phúc: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường thẳng
: 2 0
DM x y

. Gọi M, N lần
lượt là hai điểm trên hai cạnh BC, CD sao cho BM = CN. Biết AM cắt BN tại
2 14
;
5 5
I
 
 
 
. Xác định tọa độ
điểm C.
ĐS: C(0 ; 0) hoặc C(4 ; 8)
Đô Lương 4 - Nghệ An: Cho hình vuông ABCD có tâm
3 1
;
2 2
I
 
 
 
. Các đường thẳng AB, CD lần lượt đi
qua
(
)
4; 1
M
− −
,
(
)

2 4 2 4
A B D
   
− −
   
   

Đặng Thúc Hứa - Nghệ An: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc
: 4 0
d x y
− − =
. Đường thẳng
BC, CD lần lượt đi qua M(4 ; 0) và N(0 ; 2). Biết tam giác AMN cân tại A, xác định tọa độ các đỉnh của
hình vuông.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
1; 5 , 2; 2 , 1; 1 , 2; 4
A B C D
− − − − − −
hoặc
(
)
(

− −
6;1 , 0; 1 , 2;5 , 4;7
A B C D
www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
18

chuyên Quốc Học Huế - 2014: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Biết rằng
1
;2
2
M
 
−
 
 
và đường thẳng BN có phương trình
2 9 34 0
x y
+ − =
. Tìm tọa độ các điểm A và B biết rằng điểm B có hoành độ âm.
ĐS:
(
)
(
)

0
B
x
>
.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
2;2 , 1;2 , 1;1 , 2;1
A B C D
Tĩnh Gia 1 - Thanh Hóa - 2014: Cho hình vuông ABCD có D(5;1). Gọi M là trung điểm của BC, N là
điểm thuộc đường chéo AC sao cho AC=4AN. Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN là
3 4 0
x y
− − =
và M có tung độ dương.
ĐS: C(5;5)
Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2014: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AD,
11 2
;
5 5
H
 
−

 
−
 
 
là hình chiếu vuông góc của D lên AM. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của
hình vuông biết
2.
B
x
<

ĐS:
(
)
(
)
(
)
1; 3 , 5; 3 , 5;1
B C D− −
Nguoithay.vn - 2014: Cho hình vuông ABCD có M(2;2) là trung điểm của cạnh AB, đường thẳng đi qua
đỉnh C và trung điểm của cạnh AD có phương trình là
7 46 0.
x y
+ − =
Xác định tọa độ các đỉnh của hình
vuông ABCD biết điểm C tung độ âm.
2. Viết phương trình đường thẳng
• Cho hình vuông ABCD biết các điểm
(


www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
19

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THANG, HÌNH BÌNH HÀNH

1. Tìm tọa độ của điểm
B13: Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD
có phương trình
2 6 0
x y
+ − =
và tam giác ABD có trực tâm
(
)
3;2
H
−
. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
ĐS:

(
)
3;4 , 2;4
C D hoặc
(
)
(
)
5; 4 , 6; 4
C D
− − − −

Yển Khê - Phú Thọ: Cho hình bình hành ABCD có A(1 ; 2),
: 2 1 0
BD x y
+ + =
. Gọi M là một điểm
nằm trên đường thẳng AD sao cho A nằm giữa M và D, AM = AC. Đường thẳng
: 1 0
MC x y
+ − =
. Tìm
tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.
ĐS:
(
)
(
)
(
)

ĐS:
(
)
(
)
− − −
1;3 , 3; 3
A D
Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có
AB AD CD
= <

(
)
, 1;2
B , đường thẳng BD có phương trình
2 0
y
− =
. Biết đường thẳng
: 7 25 0
d x y
− − =
cắt các đoạn
thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M, N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác của
góc

MBC
. Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương.
Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2014: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A(1;1) và B. Trên cạnh AB lấy

x y
+ − =
Phương trình đường trung trực của
đoạn BC là
2 8 5 0.
x y
+ − =
Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
ĐS:
(
)
(
)
(
)
1; 3 , 2; 1 , 3; 4
B C D
− − − − −

2. Viết phương trình đường thẳng
Đào Duy Từ - Thanh Hóa: Cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 18,
: 2 0
CD x y
− + =
. Hai
đường chéo AC và BD vuông góc nhau và cắt nhau tại I(3 ; 1). Viết phương trình đường thẳng BC, biết C
có hoàng độ âm.
ĐS:
: 2 1 0
BC x y


*****


đường tròn (C
′
) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và
(C′).
ĐS:
C x y
2 2
( ) :( 3) 4
′
− + =
, A(1; 0), B(3; 2)
B04: Cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và
khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS: C x y C x y
2 2 2 2
1 2
( ):( 2) ( 1) 1, ( ):( 2) ( 7) 49
− + − = − + − =

A07: Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(–2; –2), C(4; –2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
ĐS: H(1; 1),
x y x y
2 2
2 0
+ − + − =

D07: Cho đường tròn
− + + =
2 2

: 3 0
d x y và
− =
2
: 3 0
d x y . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại
A, cắt d
2
tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác
ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
ĐS: T x y
2 2
1 3
( ): 1
2
2 3
   
+ + + =
 
 
 
 

B10: Cho điểm
(

 
− + − =
 
 

B12: Cho hai đường tròn
2 2
1
( ) : 4
C x y
+ =
và
2 2
2
( ) : 12 18 0
C x y x
+ − + =
và đường thẳng
: 4 0
d x y
− − =
. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc
(
)
2
C
, tiếp xúc với d và cắt
(
)
1

tại hai điểm A và B sao
www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
22

cho
4 2
AB =
. Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình
đường tròn (C).
ĐS:
− + − =
2 2
( ) : ( 5) ( 3) 10
C x y

B09: Cho đường tròn (C):
− + =
2 2
4
( 2)
5
x y
và hai đường thẳng
− = − =
1 2
: 0, : 7 0

1
), (C
2
) và có tâm nằm trên đường thẳng d:
x y
6 6 0
+ − =
.
ĐS:
x y
2 2
( 12) ( 1) 125
− + + =

B03(dự bị): Cho đường thẳng
d x y
: 7 10 0
− + =
. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
∆:
x y
2 0
+ =
và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2).
ĐS: x y
2 2
( 6) ( 12) 200
− + + =
A04(dự bị): Cho điểm A(–1; 1) và đường thẳng
d x y

D05(dự bị): Cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán
kính R =
10
.
ĐS:
x y x y
2 2 2 2
( 1) ( 2) 10, ( 3) ( 6) 10
+ + − = − + − =

D06(dự bị): Cho điểm A(–1; 1) và đường thẳng
d x y
: 1 2 0
− + − =
. Viết phương trình đường tròn (C) đi
qua điểm A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.
ĐS: C x y y C x y x
2 2 2 2
1 2
( ): 2 0, ( ): 2 0
+ − = + + =

B07(dự bị): Cho đường tròn (C) có phương trình
x y x y
2 2
2 4 2 0
+ − + + =
. Viết phương trình đường tròn
(C′) có tâm M(5; 1) và (C′) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
AB

: 1 0
d x y
− + =
. Viết phương trình
đường tròn đi qua M và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích bằng 2.
ĐS:
( ) ( )
2 2
1 2 8
x y
− + − =

Lạng Giang 2 -Bắc Giang: Cho
(
)
2 2
: 4 3 4 0
C x y x
+ + − =
. Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương
trình đường tròn (C’) có bán kính bằng 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
ĐS:
( )
(
)
( )
2
2
' : 3 3 4
C x y

vuông.
ĐS:
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 1 18/ 5
C x y− + − =
ĐH Vinh: Cho đường tròn
(
)
2 2
: 2 4 20 0
C x y x y
+ + − − =
và điểm
(
)
5; 6
A
−
. Từ A vẽ tác tiếp tuyến AB,
AC của đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
ĐS:
( ) ( )
2 2
25
2 2
4
x y− + + =
Toán học & Tuổi trẻ: Viết phương trình đường tròn có bán kính bằng 2, có tâm I nằm trên đường thẳng
1

1
C
có bán kính bằng 4 và cắt (C) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.
ĐS:
( )
2 2
1
4 3 2 3
: 2 1 16
5 5
C x y
   
− − + + + =
   
   
   
;
( )
2 2
1
4 3 2 3
: 2 1 16
5 5
C x y
   
− + + + − =
   
   
   


+ − =
2
2
: 1 2
C x y
GSTT.VN - 2013: Cho A(1;5) và
+ − + =
2 2
( ) : 2 6 0
C x y x y
. Viết phương trình đường tròn (C') có tâm
nằm trên
: 2 0
d x y
+ + =
, đi qua A và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho
2 2
MN =
.
ĐS:
( )
   
+ + − =
   
   
2 2
23 15 377
:
4 4 8
C x y hoặc

: 3 0
d y
− =
. Viết phương
trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và cắt d tại hai điểm phân biệt M, N sao cho

o
60
MAN
=
.
ĐS:
( ) ( ) ( )
2 2
: 3 2 4
C x y
− + − =

Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho điểm A(1;2) và đường tròn
(
)
+ + − + =
2 2
: 2 4 1 0
C x y x y . Viết
phương trình đường tròn (C') có tâm A và cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho diện tích tam
giác AMN đạt giá trị lớn nhất.
ĐS:
( ) ( ) ( )
2 2

   
2 2
1 43
: 1
25 25
C x y
Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hai đường thẳng
1 2
: 1 0; : 1 0
d x y d x y
+ − = − + =
. Lập phương trình
đường tròn (C) cắt d
1
tại A và d
2
lần lượt tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC là tam giác đều có
diện tích bằng
24 3
.
ĐS:
( ) ( ) ( )
− + + =
2 2
: 2 1 32
C x y hoặc
( ) ( ) ( )
+ + − =
2 2
: 2 3 32

2 2
: 20 2 20 0.
C x y x y
+ − − + =
Viết phương trình đường tròn (C') tiếp xúc với (C) và đồng
thời tiếp xúc với đường thẳng d
1
và d
2
.
ĐS:
( ) ( )
2
2
: 1 1
C x y
+ − =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2
: 100 1 6561
C x y− + − =
Tĩnh Gia 1 - Thanh Hóa - 2014: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), bán kính R=5.
Chân đường cao kẻ từ B và C lân lượt là H(3;3) và K(0;-1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BCHK, biết A có tung độ dương.
ĐS:
( )
2 2
7 1 25
:

   
   

2. Tìm tọa độ của điểm
D06: Cho đường tròn (C):
+ − − + =
2 2
2 2 1 0
x y x y
và đường thẳng
− + =
: 3 0
d x y
. Tìm toạ độ điểm M
nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với
đường tròn (C).
ĐS: M(1; 4), M(–2; 1)
A11: Cho đường tròn
2 2
( ) : 4 2 0
C x y x y
+ − − =
và đường thẳng
: 2 0
x y
∆ + + =
. Gọi I là tâm của (C),
M là điểm thuộc
∆
. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ

A02(dự bị): Cho đường thẳng
d x y
: 1 0
− + =
và đường tròn (C): x y x y
2 2
2 4 0
+ + − =
. Tìm toạ độ điểm
M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho

AMB
0
60
=
.
ĐS: M M
1 2
(3;4), ( 3; 2)
− −
www.MATHVN.com
MATH.VN
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
25


. Xác định toạ
độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C), biết A nằm trên d.
ĐS: A(2; –1), B(2; –5), C(6; –5), D(6; –1) hoặc A(6; –5), B(6; –1), C(2; –1), D(2; –5)
Toán học & Tuổi trẻ: Cho đường tròn
2 2
3
( ) :
2
C x y
+ =
và parabol
(
)
2
:
P y x
=
. Tìm trên (P) các điểm
M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60
o
.
ĐS:
(
)
2; 2
M
hoặc
(
)
2; 2

;
5 5
M
 
 
 
. Tìm trên (C)
những điểm N sao cho MN nhỏ nhất.
ĐS:
(
)
8 / 5;19 / 5
N −
Trung Giã - Hà Nội: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ngoại tiếp đường tròn
(
)
2 2
: 2
C x y
+ =
. Tìm
tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC biết A thuộc tia Ox.
ĐS:
( )
(
)
(
)
2;0 , 2,2 2 , 2, 2 2
A B C− + − − −

chuyên Vĩnh Phúc - 2013: Cho
(
)
+ − − − =
2 2
: 2 4 4 0
C x y x y . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác đều
ABC ngoại tiếp (C) biết A thuộc đường thẳng
: 1
d y
= −
và
0
A
x
>
.
ĐS: A(6; –1), B(-4; -1), C(1; 8)
chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2013: Cho điểm A(2;0) và
( ) ( )
− + + =
2 2
( ) : 1 2 5
C x y . Tìm tọa độ
hai điểm B, C thuộc (C) sao cho tam giác ABC vuông tại B và có diện tích bằng 4.
ĐS:
( ) ( )
16 8 6 12
2; 4 , ; , 0;0 , ;
5 5 5 5