NHĐ
1 Chương

1
1. Mệnh đề:
 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
 Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
2. Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P.
 Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là
P
.
 Nếu P đúng thì
P
sai, nếu P sai thì
P
đúng.

Ví dụ:
P: “ 3 > 5 ” thì
P
: “ 3

P(x)
".
Ví dụ:
Cho x là số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3”
Ta có :  P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng

( )
P x
: “ x không chia hết cho 6”
Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệnh đề đúng.
 “x N
*
, P(x)” đúng có phủ định là “x N
*
,
P(x)
” là sai
1.
M
ỆNH ĐỀ

MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP
NHĐ
28. Phép chứng minh phản chứng:
Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B.

Cách 1:

x x
2
1 0
  
có nghiệm. k) 13 là một số nguyên tố.
Baøi 2.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?
a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. b) Nếu
a b

thì
a b
2 2

.
c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. d) Số

lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. f) 81 là một số chính phương.
g) 5 > 3 hoặc 5 < 3. h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.
Baøi 3.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có
một góc bằng
0
60
.
d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

2
, 1 0
    

f)
x R x x
2
, 9 3
    

g)
x R x x
2
, 3 9
    
. h)
x R x x
2
, 5 5
    
i)
x R x x
2
,5 3 1
   

k)
x N x x
2
, 2 5

ab khi a b
0 0 0
  
d)
ab khi a b a b
0 0 0 0 0
    
.
NHĐ
3

e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 …. cho 3.
f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 …. bằng 5.
Baøi 6.
Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x  R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng:
a)
P x x
2
( ):" 5x 4 0"
  
b)
P x x
2
( ):" 5x 6 0"
  
c)
P x x x
2
( ):" 3 0"
 

2
:
  
.
c)
x Q x
2
: 4 1 0
   
. d)
x R x x
2
: 7 0
    
.
e)
x R x x
2
: 2 0
    
. f)
x R x
2
: 3
  
.
g)
n N n
2
, 1

thì
a b
2 2

.
e) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.
Baøi 10.
Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ
ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.
e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.
Baøi 11.
Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ":
a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.
c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi
n
2
là số lẻ.
Baøi 12.
Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:
a) Nếu
a b
2
 

4
1. Tập hợp:
 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
 Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp dạng A = {x/ P(x)
Ví dụ :
A = a; 1; 3; 4; b hoặc N =  0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . 
A = x N/ x lẻ và x < 6  A = 1 ; 3; 5
 Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu .
2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau:



A B x A x B
     


A A A
,
 

A A
,
  

A B B C A C


b x R x b
( ; )
   

 Đoạn:


a b x R a x b
[ ; ]
   

 Nửa khoảng:


a b x R a x b
[ ; )
   
;


a b x R a x b
( ; ]
   
;



a x R a x
[ ; )

4. Các phép toán tập hợp”

Giao của hai tập hợp:



A B x x A vaø x B
   


Hợp của hai tập hợp:



A B x x A hoaëc x B
   


Hiệu của hai tập hợp:



A B x x A vaø x B
\   


Phần bù:
Cho
B A

AB = x /xA hoặc xB

A\ B = x /xA và xB

Chú ý:
Nếu A  E thì C
E
A = A\ B = x /xE và xA

Baøi 13.
Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
A =


x R x x x x
2 2
(2 5 3)( 4 3) 0
     
B =


x R x x x x
2 3
( 10 21)( ) 0
    



x N x
5
 
H =


x R x x
2
3 0
   

Baøi 14.
Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:
A =


0; 1; 2; 3; 4
B =


0; 4; 8; 12; 16
C =


3 ; 9; 27; 81
 

D =



x Q x x
2
4 2 0
   

D =


x Q x
2
2 0
  
E =


x N x x
2
7 12 0
   
F =


x R x x
2
4 2 0
   

Baøi 16.

Baøi 17.
Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào?
a) A =


1, 2, 3
, B =


x N x
4
 
, C =
(0; )
 
, D =


x R x x
2
2 7 3 0
   
.
b) A = Tập các ước số tự nhiên của 6 ; B = Tập các ước số tự nhiên của 12.
c) A = Tập các hình bình hành; B = Tập các hình chữ nhật;
C = Tập các hình thoi; D = Tập các hình vuông.
d) A = Tập các tam giác cân; B = Tập các tam giác đều;
C = Tập các tam giác vuông; D = Tập các tam giác vuông cân.
Baøi 18.
Tìm A  B, A  B, A \ B, B \ A v

2
4
 
, B =


x Z x x x x
2 2
(5 3 )( 2 3) 0
    
.
g) A =


x N x x
2 2
( 9)( 5x 6) 0
    
, B =


x N x laø soá nguyeân toá x
, 5
 
.
NHĐ
6

Baøi 19.
Tìm tất cả các tập hợp X sao cho:

Câu 3
: Cho tập hợp sô’ sau A = ( - 1, 5] ; B = ( 2, 7) . tập hợp A\B nào sau đây là đúng:
a) ( -1, 2] b) (2 , 5] c) ( - 1 , 7) d) ( - 1 , 2)
Câu 4: Cho A = {a; b; c ; d ; e}. Số tập con của A có 3 phần tử là:
a)10 b)12 c) 32 d) 8
Câu 5
: Cho A = “xR : x
2
+1 > 0” thì phủ định của A là:
a) A = “ xR : x
2
+1  0” b) A = “ xR: x
2
+1 0”
c) A = “ xR: x
2
+1 < 0” d) A = “  xR: x
2
+1  0”
Câu 6
:Xác định mệnh đề đúng:
a) xR: x
2
 0 b) xR : x
2
+ x + 3 = 0
c) x R: x
2
>x d) x Z : x > - x
Câu 7