Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
Chuyên đề :
Rút gọn biểu thức
A. MỞ ĐẦU
Hàng năm trong các đề thi môn toán của kỳ thi vào lớp 10- THPT phần rút gọn
biểu thức thường chiếm từ 1,5 điểm đến 2điểm. Có những bài rất dễ, rất cơ bản
nhưng các em học sinh vẫn làm sai dẫn đến đạt được trọn vẹn số điểm rất khó. Là
một giáo viên toán được nhà trường phân công dạy lớp 9 tôi luôn trăn trở và suy nghĩ
phải dạy ôn cho các em những gì và làm thế nào để các em học sinh của mình đạt kết
quả tốt nhất. Chính vì thế tôi cùng nhóm thầy cô dạy toán của trường THCS Vạn An
– T. P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” với mục đích làm tài liệu
dạy ôn cho học sinh lớp 9, với mong muốn các em học sinh nắm chắc chuẩn kiến
thức, kỹ năng để hiểu và biết cách làm dạng bài “ Rút gọn biểu thức”.
Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản của
sách giáo khoa và phát triển dần theo mức độ có đầy đủ các dạng bài phù hợp với
từng đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra đều bám sát vào các đề thi vào
lớp 10 –THPH của Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh trong những năm gần đây.
B. NỘI DUNG
*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh
1
1. (A+B)
2
= A
2
+2AB +B
2

2. (A – B)

3

6. A
3
+B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
7. A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
2. Các công thức biến đổi căn thức:
1.
A
có nghĩa khi A≥0
2.
AA
=
2
3.

0≥
)
A
B
= -
BA
2
( Với A < 0 ; B
0≥
)
7.
AB
BB
A 1
=
( Với AB
0≥
và B
0
≠
)
8.
B
BA
B
A
=
( Với B > 0 )
9.


( )
0, 0, )
C C A B
A B A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
(víi
Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
* DẠNG1 : RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I.Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/
721834520 ++−
.
b/ (
847)73228
++−
.
c/
( )
12056
2
−+
.

Giải:

.
c/
( )
12056
2
−+
=
30.253026
2
−++
=
1130230256
=−++
.

Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh
3
1 1 3 4 1
d/ 2 200 :
2 2 2 5 8
 
− +
 ÷
 ÷
 
2
2
1 1 3 4 1 1 2 3 4 1
/ 2 200 : 2 10 .2 :
2 2 2 5 8 2 2 2 5 8

C = + −
+ +
Giải:
a/
1 1
5 3 5 3
A = −
+ −

( ) ( )
( ) ( )
5 3 5 3
5 3 5 3
− − +
=
+ −5 3 5 3 2 3
3
5 3 2
− − − −
= = = −
−
b/
4 2 3
6 2
B
−
=

3 3 1
= + −
+
+

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 1 2 3 3 1 2 2 3
3 3 1 2 3
+ + + + − +
=
+ +

( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 2
2 3 4
3 3 1 2 3 3 3 1 2 3
+
+
= =
+ + + +

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1

2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 9− + + − =
BĐVT ta có :

( ) ( )
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP− + + − = − + + + − = =
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/
2 3 2 3 6+ + − =
BĐVT ta có :

(
)
2 2 3 2 3
2 3 2 3
2
+ + −
+ + − =
( ) ( )
2 2
3 1 3 1
4 2 3 4 2 3
2 2
+ + −
+ + −
= =
3 1 3 1
3 1 3 1 2 3
6

5 2 5 2
2 5 2 5
5 2 5 2
+ − −
= − = − =
− +
− +
+ −
2 5 4 2 5 4
8
5 4
VP
+ − +
= = =
−
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/
2 3+
và
10
b/
2003 2005+
và
2 2004
c/
5 3
và
3 5
Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh

Ta có:
( )
2
2003 2005 2003 2005 2 2003.2005+ = + +

( ) ( )
2
4008 2 2004 1 2004 1 4008 2 2004 1= + − + = + −
Và
( )
2
2
2 2004 4.2004 2.2004 2 2004= = +
Vì
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2004 1 2004 2004 1 2004
4008 2 2004 1 4008 2 2004
2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004
− < => − <
=> + − < +
=> + < => + <
c/
5 3
và
3 5
Ta có:
2

b/
252 700 1008 448− + −
;
c/
( ) ( )
2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2+ − − −
.
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a/
2 3 1 3
;
2 2
− −
+
b/
3 2 2 6 4 2;+ + −
c/
2 3 2 3 2 2 3
: .
2 2
6 2 3
 
+ + +
 ÷
− +
 ÷
 

3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/

;
b/
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10+ + + − + = +
;
c/
1 1 1
9
1 2 2 3 99 100
+ + + =
+ + +
Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh
7
Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I. Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Cho biểu thức
1 1 1
:
1 2 1
a
M
a a a a a
+
 
= +
 ÷
− − − +
 
với a >0 và a
1≠

+
−
+
−
=
a
a
aaa
( )
( ) ( )( )
( )( )
a
a
aaa
aa
a
a
aa
a 1
11
11
1
1
.
1
1
22
−
=
+−

Vậy M < 1.
* Ví dụ 2: Cho biểu thức








−
+
−
−








−−
−
−
−−
=
xx
x
xx

>
021
02
01
0
x
x
x
x





≠
≠
≥
⇔







≠
≠
≥
>
⇔

−
+
−
−








−−
−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1

x
xxx
xx
xxxx
xx
2
2
2
2
2121
213
11
1

( )
( )
( )
( )
( )
xx
xx
x
xx
xx
xx
−
−−










−
+−−
−
+−
−+
=
2
2
.
3
213
1
1

( )
( )
( )
x
x
x
x
x
xxx
−

2
2
−
+−
=
−
−−
=
−
−−
=
P
12
12
1
+=
−
=
* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc
trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không.
Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở
mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức

9
113
3
1

x

Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh
9
Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
3
3
33
33
33
93
33
1133362
33
1133132
33
113
3
1
3
2
9
113

−
−
−
+
−
+
=
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxxx
xx
xxxxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A

+−
⇔
<
−
−−
⇔<−
−
⇔<
−
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi



<−
>+
03
06
x
x


9;3;1)9(
±±±=
U
nên ta có:
• x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.
* Ví dụ 4: Cho biểu thức









−
+
+







a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ :
0
≥
x
và
1
≠
x
a/








−
+
+









( ) ( )
( )
11.
1.1
1
21.
1.1
12
1
11
.
1.1
112
2
−=−
++−
++
=
+−
++−
+−+
=






−
+

:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++








++
+








+=







+=

( )( ) ( )
( )
yxxy
yxxyyxyxyx
xy
yx
yxxy
yx
+
+++−+








+
+
+
+

2
xy
yx
yx
xy
xy
yx
+
=
+
+
=
b/ Ta có
020
2
≥−+⇔≥






−
xyyxyx

.2 xyyx
≥+⇔
Do đó
1
16

Bc 1: iu kin biu thc cú ngha (cn thc xỏc nh, mu khỏc
khụng nu bi toỏn cha cho)
Bc 2: Phõn tớch cỏc mu thnh nhõn t (ỏp dng thnh tho cỏc phộp
bin i cn thc)
+ p dng quy tc i du mt cỏch hp lý lm xut hin nhõn t
chung.
+ Thng xuyờn ý xem mu ny cú l bi hoc c ca mu khỏc
khụng.
Bc 3: Tin hnh quy ng rỳt gn, kt hp vi iu kin ca bi
kt lun.
Bc 4: Lm cỏc cõu hi ph theo yờu cu ca bi toỏn.
+ Tuõn th nghiờm ngt cỏc phộp bin i phng trỡnh, bt phng
trỡnh.
+ Kt hp cht ch vi iu kin ca bi toỏn nhn nghim, loi
nghim v kt lun.
II. Bi tp:
Bi 1: Cho biu thc
2
2 2
1 3 1
:
3 3
3 27 3
x
A
x
x x x ữ

x 4
2 x x 2 x 2



+ + +
ữ
ữ
ữ

+ +a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 4: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thức :
a)
2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4

Trnh Th Thỳy Hnh Trng THCS Vn An- T.P Bc Ninh
13
Chuyờn : Rỳt gn biu thc
Bài 7: Cho các biểu thức
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 8: Cho các biểu thức








+



xx
x
x
xx
B
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tim x ờ B > 0 .
c) Vi x > 4 ; x
9

, Tim gia tri ln nhõt cua biờu thc B( x + 1).
Bài 9: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ
ữ

+ +

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2









+

+

+
+










+
+
+
+
1
11

do đó không tránh khỏi thiếu sót, rât mong các đồng nghiệp tham gia góp ý
xây dựng để chuyên đề của chúng tôi có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính
thiết thực hơn!
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Vạn An, ngày 24 tháng 10 năm 2010.
Đ/c gmail:
Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh
15