TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2

KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010-2011

MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.
a)Anh (chị) hãy nêu phương pháp chung để giải một bài toán? Lấy ví dụ minh hoạ.
b)Anh (Chị) hãy cho biết: Lời giải của một bài toán cần có những yêu cầu nào?
Câu 2.
Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a; AC = BD = b; AB = CD = c. Đặt
, ,
  
theo
thứ tự là góc giữa: BC và AD, AC và BD, AB và CD. Chứng minh rằng trong các số
2 2 2
os , os , os
a c b c c c
  
có một số hạng bằng tổng của hai số hạng còn lại.
(Bài 24 - SBT hình học 11 nâng cao, chương III)
Anh (Chị) hãy giải bài toán trên và nêu cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải.
Câu 3.
Cho dãy (u
n
) với
2 2 2 2
n
u      ( n căn). Chứng minh rằng (u

Ni dung im

1a
(4đ)
-Phơng pháp chung để giải bài toán: Có 4 bớc
1.Tìm hiểu nội dung đề bài
2.Tìm lời giải
3.Trình bày lời giải
4.Nghiên cứu sâu lời giải

-Nói đợc cụ thể từng bớc

-Ví dụ minh hoạ đúng
1đ 1đ

1đ
1b
(2đ)
Các yêu cầu về lời giải của một bài toán
-Kết quả đúng, kể cả các bớc trung gian
-Lập luận chặt chẽ
-Lời giải đầy đủ
-Ngôn ngữ chính xác
-Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

. . .cos( , ) .cos( , )
AC BD AC BD AC BD b AC BD


(2)
2
. . .cos( , ) .cos( , )
AD BC AD BC AD BC a AD BC


(3)


(6)
Từ (1), (4 suy ra
2 2 2
.cos( , )
c AB CD a b (7)
Từ (2), (5) suy ra
2 2 2
.cos( , )
b AC BD a c (8)
Từ (3), (6) suy ra
2 2 2
.cos( , )
a AD BC b c (9)
Vì
, ,

theo th t l gúc gia: BC v AD, AC v BD, AB v CD nên từ (7),
(8), (9) ta có
2 2 2
.cos
c a b

0,5
0,5 2
3a
(4đ)
Định hớng 1:

Định hớng 2:
-Trình bày một cách giải


> u
1

Giả sử (1) đúng với n = k hay u
k+1
> u
k
, ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1,
do u
k+1
> u
k
<=> a+u
k+1
> a + u
k
<=>
1
k k
a u a u


<=> u
k+2
> u
k+1

Vậy (u
n
) là dãy số tăng.

u a a
  
Gi¶ sư (2) ®óng víi n = k, hay 1 2
k
u a
  víi k > 1, ta sÏ chøng minh (2) ®óng
víi n = k + 1,
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã
2
1
1 2 1 2 (1 )
1 1 2 1 2
k k
k k
u a a u a a a
a u a a u a

        
        

VËy d·y (u
n
) lµ d·y bÞ chỈn


2 2 2 2
(2 1) 2 2 1 2 (1)
1 1 7 1 1 7
[( - ) ] [( ) ] 0 thay vào (1)ta thấy không
2 2 4 2 2 4
1
thỏa mãn. Vậy f'(x)=0 vô nghiệm, mà f'(0)= >0, d
2
x x
f x f x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
 
  
 
  
    
  
2 2
x +
x +
o đó f'(x)>0 x
2
Mặt khác: Lim ( ) = Lim 1; Lim ( ) 1
2 2
Vậy pt đã cho có nghiệm -1 1
x
R
x