Nguyễn văn hoan trờng thcs sơn
Công - ứng hòa hà nội
Bài tập về căn thức
Bài 1 : Cho biểu thức : p =
+
xx
x
xx
x
A, Rút gọn biểu thức :
B, Tìm x để p nhận giá trị nguyên :
GiảI : a, p =
=
+
=
+
+ +
vi x
0; y
0; x
y.
Gii :
x x y y
xy x y
x y
+ +
=
x y
xy x y
x y
+ +
=
x y x xy y
= + = +
=
B
= + + + + +
ữ ữ
ữ ữ
2B =
(
)
(
)
+ + + + +
(
)
(
)
= + + + + +
=
( ) ( )
+
x
xx
x
=
+
+
+
+
xxxx
x
xx
xx
=
+
+
xx
=
+
=
+
Vy khi x = 9 thì A =
c) Ta có B = A.
x
+
= x
x
x
= xx
xx =
+
x
Vi mi giá tr ca x
v x
.
Du bng xảy ra khi
xx
x
x
x
x
với x
x
A, Rót gän biÓu thøc P ?
B, Chøng minh r»ng khi x= 3+2
th× P =
Gi¶i:
−+
−++
xx
xxx
.
vµo ta cã P =
=
+
+
=
−+
+
Bi 6:
a a
≥ ≠
a a a a
M
a a a a
− − +
= − − =
+ − + −
a
a
+
+
Ta có:
a a
M a
a a a
+ − +
= = = + + −
+ + +
!"#$%
a +
&'
a +
(!)
M a
a
= + + − ≥ − =
+
*+,- -./"
a a a
−
− +
÷
÷
÷
− + +
9( - =
a a
−
÷
− +
=
a a a
a a a a
+ − +
=
− + − +
: =
+
x
x
x
x
xx
với x>0 , x
x
A, Rút gọn A ?
B, Tìm giá trị của x để A có giá trị âm ?
Giải : A =
x
xxx
x
xxxx
xx
xx
xx
x
Thì A <0
Bi 9 :"#3 45("6!$5
7.
+
+
x
x
x
x
xx
( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
+
=
++
+
=
> xxx
347.
(!)
==
x
3A.
( )( )
( )( )
( )
( )( )
+
+
+
+
++
x
x
xx
xx
xx
xx
.
( )( )
=
+x
x
=G
( )
=
=
+=
+=
x
x
xx
xx
*+,A.
=.
Bài 11:
Cho biểu thức:
P =
x x x
+
+
=
x x x
x x x x
+
+
=
x x x x
x x x
+
+
=
x
x
b.
P = -1
m
. do đó bất phơng trình
thoả mãn với mọi x > 9
9
m
và 4m - 1 > 0
Ta có m
Bi 12:
01(23 45("6!
( )
( ) ( )
+
3"6< "
a a a a
a
a a
a a a a
a a
a a a a
a a
a a a
+
+ =
ữ ữ
ữ ữ
+
+
= +
ữ ữ
ữ ữ
+
= + =
&8
a
&'
+
x
xx
x
x
x
x
x
x
Với x
;1
.a, Rút gọn biểu thức A
.b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x=
+
c. Tìm giá trị của x để A=3
a. Rút gọn A=
x
x
b.Thay x=
+
b) Tính giá trị A biết a = 4 +2
3
c) Tìm a để A < 0
A.
( ) ( ) ( )
ữ ữ
+
ữ ữ
+
+
1 1 2
:
1 1
1 1 1
a
a a
a a a a
A.
+
=
+
1 1 1
:
( 1) ( 1)( 1)
a a a
a a a a a
3.J
3
Q x
x x
+ +
= + +
+ +
01(2N
3 O"N/"
x =
! ;<!P! P(QR!D=("S<T
Q x x= +
J
( ) ( ) ( )
x x x
Q x x x
x x
+ +
= + + = + + + = +
+ +
J
( )
x = =
U
( )
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
x =
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
ĐK: x > 0; x
1
P =
( )
( ) ( )
( )
( )
x x x x x
x x x x
+ + + +
+ +
=
x
x
Với x =
( )
( )
= +
P
có nghĩa khi x > 1
x x
P
x
x
= =
Đặt
x y =
( y > 0)
x y = +
y
P y
y y
+
= = +
Vì y > 0 và
y
> 0 Theo bất đẳng thức Cô Si có:
P y y
y y
x
xx
xx
xx
xx
xx
a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Giải . ĐK: x
x
a, Rút gọn: P =
( )
( )
( )
+
xx
x
Để P nguyên thì
Loaixx
xxx
xxx
xxx
==
===
===
===
Vậy với x=
{ }
thì P có giá trị nguyên.
Bài 18 :cho biểu thức P =
+
xx
xxxxxx
xx
x
x
x
x
x
+
=
+
=
+
=
+
++
xx
xx
Vậy P đat giá trị lớn nhất =1 khi x=0
Bi 19 :
01(2!P!3 45("6!$5
+ +
+
3
= , , =
= ,
=, = ,
+
&8 = G ,G = ,
Giải : a,
=+++=+
+
+
xx
xxxx
x
xx
=1+
++
+
+
+
x
xx
xxx
nhân vào ta có
=1+
++
++++
+=
++
+
++=
++
+
+
+=
++
++
xx
x
xx
xxx
xx
x
xx
xxxxxxx
Ta có A=
=+
=
++
+
vậy A>
Bài 21 :
1. Ta có
( ) ( ) ( )
A = + + + + = + =
= + ì =
A =
(vì A > 0)
2.
( )
( )
( )
( )
( )
= + +
HD: áp dụng hằng đẳng thức (a + b)
3
=a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
Lập phơng hai vế ta có: = + +
(
)
= + + + + + +
= +
=> B
3
- 3B - 18 = 0
<=> (B - 3)(B
2
+ 3B + 6) = 0
*:
+ +
ữ
ữ
+ +
.
2 2 2
x 1 x 1 (x 4)( x 2)
.
( x) 2 ( x 2) x
+ +
ữ
ữ
+
.
2 2
( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) (x 4)( x 2)
.
x
( x) 2 ( x 2)
+ + +
ữ
+
a
a
&8 G&'
3 L>V
01(2A.
+a
Bi 25:
"#3 45("6!:.
ab
ba
bab
b
bab
a +
−
−
+
+
&8 3F'$%XY/"P!"5
01(23 45("6!:
3O" P(QR!D3 45("6!:/" .
+
&'3.
−
Gii :
:.
ab
ba
bab
b
−
−+−++−
3!).
+
.
+=+
&'3.
−
.
−=−
.G:.
−=
−−−
−++
=
−
+
ab
ba
Bµi 26 :
Cho biÓu thøc :
Gii
C©u a) T =
−
+
−
++
+
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
=
−
xxx
xx
=
++ xx
x
b)
Xét
- T =
-
++ xx
x
=
++
+
+
+
a
aa
a
aa
Vụựi 1
a
a) Rút gọn A
b) Với 1
a
. Tỡm a sao cho A = - a
2
Gii
a) A = (
a
aa
a
aa
= (
+ aa
= a 1
b) Tỡm 1
a
. Thỏa mãn đẳng thức A = - a
2
=
aA
=
=
a
a
a
a =
=
=
a
aaa
++
= 1 +
a
+ a
=>
a
a
aa
+
x
x
+
+
=
x
x
x
+
+
=
xx
xxx
+
++
=
x
x
+
b)
P =
++
2) Cho biểu thức :
Q =
x
x
x
x
xx
x
+
++
+
với x > 0 và x
x
xx
x
x
x
+
+
+
+
=
xx
x
x
x
+
+
+
+
=
+
++
xxx
xxxxxx
=
+++
xx
xxxxxx
=
x = 3
Bi 31 : Cho biểu thức:
Q
=
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+
+
a) Tìm ĐKXĐ của
yxyx
+
+
+
++
+
+
=
( )
( )( )
( )( )
yxyx
yx
xyxy
yxyxxy
yx
+
+
++
+
=
( ) ( )
yxyx
yx
yx
yxyxyx
+
+
+
+++
=
yxyx
xy
yxyx
yx
yx
xy
+
=
+
+
+
Vậy, Q =
ú x -
xy
+ y > 0
Vậy, Q =
+
yx
yxyx
xy
và x
y
c)
Theo câu b, ta có x -
xy
+ y >
xy
(1)
Chia 2 vế của (1) cho x -
xy
+ y > 0 =>
<
+
yxyx
xy
Vậy, 0
Q < 1
ữ
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A
Gii :
a) Điều kiện x thỏa mãn
2
1 0
4( 1) 0
4( 1) 0
4( 1) 0
x
x x
x x
x x
+
>
( 2)
x x
x
x
x
+ +
A =
1 1 1 1
2
.
2 1
x x
x
x x
+ +
Với 1 < x < 2 A =
2
1 x
Với x > 2 A =
2
1x
Kết luận
Với 1 < x < 2 thì A =
2
1 x
*8 =("5\!< B=P!>R"(]&'(Q1(2>XM!
3*8 =("5\!< B=P!>R"((;<=$#!"#7.
!)7.
^C&" C<
*+,/"(_(` =$#!"#7.
Bµi 34 :
Cho biÓu thøc M =
x
x
x
x
xx
x
−
+
+
−
+
+
+−
−
a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M
b. T×m x ®Ó M = 5
c. T×m x
Rút gọn M =
( )( ) ( )( )
( )( )
+++
xx
xxxxx
Biến đổi ta có kết quả: M =
( )( )
xx
xx
M =
( )( )
( )( )
+
=
+
x
x
c) M =
+=
+
=
+
xx
x
x
x
Do M
z
nên
x
là ớc của 4
x
xx
xx
xx
A
(Với
>
xx
)
a, Rút gọn biểu thức trên.
b, Tìm các giá trị x để A = 13.
a.
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
+
+
+
++
=
x
xx
Cho biểu thức:
x x x x x x
A
x
x x x x
+ +
= ì
ữ
ữ
+ +
.
a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
Gii :
A, Điều kiện để A đợc xác định là :
Ta tinh biu thc trong ngoc
X >0 x+2
x
+1=(
+x
x-1
>
x
x
=
+
=
+
++
xx
x
xx
xxxx
Tính trong ngoặc ngoc
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxxx
+
=
=
P
có nghĩa và rút gọn
P
.
b) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị của
P
khi
x = +
.
Giải ; P =
+
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
++
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xxxx
Ta có x=4+2
+=+=++= x
P =
&8
x
< <
? @
==
=
=
=
=+
&;K=K
bG&'=cK
Bài 39 :
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
H
x x x x x x
A
x x x x x
+ +
= ì
ữ
ữ
+ +
.
c) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định.
d) Rút gọn biểu thức A.
iu kin xỏc nh l x
, x+
>+ xvxxxxx
++
=
++
=
++
=
++
++
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xxxx
Bài 41 :
a, Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị của biểu thức:
A
= +
+
b) Rút gọn biểu thức
( )
= >
x
x
x
x
x
x
xx
x
+
=
+
+
=
+
=
x
x
=
x
x
A
2
=
( ) ( )
( ) ( )x x x x
x x
+ +
+
=
x x x
x
x
+ +
=
x x x
x
x
x x
+ +
=
ữ ữ
ữ ữ
+
(với
x
và
x
).
GiảI : A =
bababa +=+
-
ba
với a=
+
+
x
x
xxx
x
xx
x
B i 43:
"#3 45("6!
x x x x x
A
x x x x
+
= +
+ +
01(2A
3O" P(QR"S"d(!DA
!;<=>43 45("6!
x
B
A
=
"+ P(QR5,U
điêu kiện x>0 ; x
A =
+=++=+ xxxx
Vì
x
với mọi x vậy A
thì
>+
x
x
do đó 0<B<2 nên B nguyen khi B=1
H
H
=
+
==+=+=
+
xxxx
x
x
x
x
Bài 44: Cho biểu thức A =(
C, Tìm x để A<0
Giải : a, A =
xxxxx
xx
x
xxxx
+++
+
++
=
===++=
+== A
C, với x
xx
A, Rút gọn A=?
B, Tìm GTNN của A=?
GiảI : a, A
+
+
+
++
++
x
xx
x
xx
xx
xxxx
=
+=++=+++ xxxxxxxxxx
B, A =
( )
Nên
xx >+
Vởy A
min
=
ữ ữ
+
+
1 1 2
:
1 1
1 1 1
a
a a
a a a a
A.
+
=
+
1 1 1
:
( 1) ( 1)( 1)
a a a
a a a a a
3.J
3
.
( )
+
2
2 1
.GA.
+
=
xxxx
;<> B5/ C!D=>4 P(QR!D3 45("6!7>XM!=P!>R"
301(23 45("6!7
!O" P(QR!D7/" =.
? ải : P =
+
*ới x=4
=
+
=
+
=
x
x
P
Bi 48
"#3 45("6!7.
+
+
xxxxxx
x
x
J
== xx
Bài 49: Cho biểu thức:
( ) ( )( )
yx
xy
xyx
y
yyx
x
P
+
++
+
=
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phuơng trình P = 2.
Bài48: a). iều kiện để P xác định là :;
+
yxyyx
.
A,. Rút gọn P:
x x y x y x x
x y
+ + + +
=
+
( )
x y y y x
y
+
=
( ) ( ) ( )
( )
x y y y y
y
+
=
x xy y= +
Vậy P =
yxyx
+
b). P = 2
yxyx
+
Copyright: Tài liệu đại học ©