Khoảng cách và góc
§3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài toán 1. Trong mặt phẳng toạ độ ,cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là
ax+by+c=0 .Hãy tính khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
) đến đường thẳng d . Ký hiệu là
:d(M;d).
Bài giải :
Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên d ,thì độ dài MM' chình là khoảng cách từ
M đến d .
Rõ ràng cùng phương với véc tơ pháp tuyến .
Do đó tồn tại một số k sao cho
Từ đó suy ra d(M;d)= M'M=
Nếu gọi M'(x';y') thì từ (1) ta có :
Do M' thuộc d : a()+b()+c=0 . Từ đó suy ra k=
Thay vào (2) ta có công thức tính :
* Ghi nhớ :
Vò trí tương đối của hai điểm đối với một đường
thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình : ax+by+c=0 và một điểm M (x
M
;y
M
). Nếu M' là
hình chiếu vuông góc của M lên d thì :
Tương tự nếu có điểm N(x
N
;y

Ví dụ . Cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(4;8) và C(13;2) . Viết phương trình đường
phân giác trong của góc A .
Bài giải :
Viết phương trình các đường thẳng AB và AC .
Ta có
Đường thẳng AB , đi qua A(2;4) và có véc tơ pháp tuyến . Vậy AB có phương trình là
AB : 2(x-2) -(y-4)=0 ; 2x-y =0 .
Đường thẳng AC , đi qua điểm A(2;4) và có véc tơ pháp tuyến . Vậy AC có phương
trình là AC : 2(x-2)+11(y-4)=0 ; 2x+11y-48 =0 .
Các đường phân giác trong và phân giác ngồi của góc A có phương trình là :
Do B va C nằm về hai phía của phân giác trong của góc A ,nên ta thay toạ độ của hai
điểm B và C vào phương trình của D : (8+8-8)( 26+2-8 )>0 .Vậy D không phải là
đường phân giác trong
Đường phân giác trong của góc A có phương trình là D' : x-2y+6=0 .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 2
a
b
Khoảng cách và góc
2. Góc giữa hai đường thẳng
* Đònh nghóa
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc .Số đo góc nhỏ nhất của các
góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b ,hay đơn giản là góc
giữa a và b .
Khi a // hoặc trùng với b ,ta quy ước góc giữa chúng bằng không
Chú ý
Góc giữa hai đường thẳng a và b ký hiệu là ,hay đơn giản là (a;b) .Góc này không
vượt quá 900, nên ta có :
(a,b) =
(a;b) = 1800-
Trongđó là các véc tơ chỉ phương của a và b .

của đường thẳng . Khảng đònh này dúng .
Bài 16. Cho ba điểm A(4;-1) ,B(-3;-2) và C(1;6) .Tính góc BAC và góc giữa hai
đường thẳng AB và AC ?
Bài giải :
Góc giữa hai đường thẳng AB và AC,chính là góc BAC. Theo hệ thức hàm số cos thì :
Vậy tra bảng ta có
Bài 17. Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax+by+c=0
một khoảng bằng h cho trước ?
Bài giải :
Gọi d là đường thẳng song song với đường thẳng trên ,thì d có phương trình là : ax+by
+m=0 . M(0;c) là một điểm thuộc d thì theo đầu bài ta có d(M,d')=h. bc+c=0 ; hay
c(b-1)=0 . Suy ra : b=1
Bài 18. Cho ba điểm A(3;0),B(-5;4) và P(10;2).Viết phương trình đường thẳng đi qua
P và đồng thời cách đều A và B.
Bài giải :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 4
d'
d"
P(3;1)
Khoảng cách và góc
Đường thẳng d đi qua P(10;2) giả sử có véc tơ pháp tuyến có toạ độ (a;b) thì d có
phương trình là : a(x-10)+b(y-2)=0 ;hay ax+by-10a-2b=0 (1).
Nếu d cách đều A và B tức là khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d bằng nhau :
Nếu a=0 : d
1
: y-2=0 .
Nếu b=2a ,thì ta có d
2
: ax+2ay -10a-4a=0 ; Hay d
2

trung tuyến ,phân giác kẻtừ O ( là giao của d
1
,d
2
) xuống
AB đều vuông góc với AB ,có nghóa là vuông góc với d .
Do vậy ,ta viết phương trình của hai đường phân giác của
góc tạo bởi d
1
,d
2

+) Lập m
1
đi qua P(3;1) và vuông góc với d' , nghóa là m
1
có véc tơ pháp tuyến có toạ
độ [ lên nó có phương trình :
+) Lập m
2
qua P(3;1) và vuông góc với d" ,nghóa là có véc tơ chỉ phương là véc tơ
pháp của d" ,cho nên m2 có phương trình là
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 5
Khoảng cách và góc
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
Bài 1,( ĐH -KA-2006). Cho các đường thẳng d
1
: x+y+3=0 ; d
2
: x-y-4=0 và d

1
: 2x+9y-18=0 ,d2 : x-y-13=0 . Lập phương trình đường thẳng d
đi qua điểm P(2;2) và cắt d
1
,d
2
tai A và B sao cho P là trung điểm của AB.
Bài giải
Cách 1:
Gọi d có véc tơ chỉ phương ,với toạ độ (a;b) .
Nếu d đi qua P(2;2) thì d :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 6
P(2;2)
m
n
A'
B'
B
A
Khoảng cách và góc
. Chọn a= -113; b=30 .
Cho nên d có phương trình là
Cách 2:
+Lập phương trình đường thẳng m đi qua P(2;2) và //d1 : 2x+9y-18=0 . m có véc tơ
chỉ phương với toạ độ (9;-2 ) .Cho nên
+) Lập phương trình đường thẳng n đi qua B' và // d2 ,cho nên (n) có véc tơ chỉ
phương với toạ độ (1;1) .Vậy (n) :
+)Lập đường thẳn d đi qua P(2;2) và có véc tơ chỉ phương là vec tơ
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 7