Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio
MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ VÀ VÍ DỤ
1. Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dãy số có dạng u
1
=1; u
2
= 1; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n = 1, 2, 3…)
Ta có công thức tổng quát:

n n
n
1 1 5 1 5
u
2 2
5
 
   
+ −
 ÷
= −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
   

B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 được u
4
= u
3
+ u
2
= 3 và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
được u
5
= u
4
+ u

Bằng phím
COPY =
Giải thích:
Khi bấm 1
SHIFT STO A
đưa u
2
= 1 vào
A
Khi bấm
1SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=1 với u
1
=1 được u
3
= 2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 được u
4
= u
3

ta sẽ được u
6
= 8; u
7
=13; u
8
= 21
Quy trình 2: Bấm 1
SHIFT STO A

1SHIFT STO B+ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
SHIFT∆

COPY

Lặp lại phím
=
Giải thích:
Khi bấm 1
SHIFT STO A
đưa u
2
= 1 vào
A
GV: Nguyễn Tiến Đào

4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
được u
5
= u
4
+ u
3
= 5
và ghi vào
B
.
Khi bấm
SHIFT∆

COPY
lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím
=
.
Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi u
n
trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công thức nghiệm:
( ( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X
( (1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X 5
÷
− − ÷ ÷
+


ALPHA A SHIFT STO A+
.

ALPHA B SHIFT STO B+
Bằng phím
COPY =
.
Giải thích
Bấm b
SHIFT STO A
nghĩa là đưa u
2
= b vào
A
.
Bấm
a SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=b với u
1
=a được u
3
=a + b và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u

A
và
B
để lần lượt tính
các giá trị u
n
bằng cách bấm liên tiếp phím
COPY =
ta sẽ được u
6
; u
7
; u
8

Quy trình 2: : Bấm b
SHIFT STO A

a SHIFT STO B+ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
SHIFT∆

COPY

Lặp lại phím
=

= 3 và ghi vào
A
.
GV: Nguyễn Tiến Đào
Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
được u
5
= u
4
+ u
3
= 5
và ghi vào
B
.
Khi bấm
SHIFT∆

COPY
lấy lại quy trình và tính tiếp u
n
nhờ phím

2
= 13 vào
A
)

8 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 21 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 34 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 55 vào
B
)

SHIFT∆

COPY


3
= 21 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 34 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 55 vào
B
)
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím
∆
=
ta được các u
n
tương ứng.
Ví dụ 2: Cho dãy số u
1
= 144; u
2
= 233; u
n+1

= 233 vào
A
)

144 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 377 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 610 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 987 vào
B
)
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím
∆
=
ta được các u
n
tương ứng.

=
nữa được u
30
= 165580141.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
233
SHIFT STO A
(gán u
2
= 233 vào
A
)

144 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 377 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 610 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5

u 610 1597
1,61803; 1,61803
u 377 u 987
= ≈ = ≈
= ≈ = ≈
3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u
1
=a; u
2
= b; u
n
= au
n
+ bu
n-1
.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy trình 1:

b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO B× + ×
Lặp lại dãy phím
a ALPHA A b SHIFT STO A× + ×

a ALPHA B b SHIFT STO B× + ×
Giải thích: Bấm
b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO B× + ×
đưa b = u
2

. thực hiện
a ALPHA B b SHIFT STO B× + ×
ta có u
5
trên màn hình và trong ô nhớ
B
.
Tiếp tục vòng lặp lại được các số hạng của u
n+1
=au
n
+ bu
n-1
+ Quy trình 2:
b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO B× + ×

a ALPHA A b SHIFT STO A× + ×

a ALPHA B b SHIFT STO B× + ×

SHIFT∆

COPY

Lặp lại phím
=
Giải thích: Tương tự như quy trình 1 nhưng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím
SHIFT∆


Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:

20 SHIFT STO A
2 2 SHIFT STO B× +
(gán u
3
= 42 vào
B
)

2 ALPHA A SHIFT STO A× +
(gán u
4
= 104 vào
A
)

2 ALPHA B SHIFT STO B× +
(gán u
5
= 250 vào
B
)
Lặp lại quy trình trên bằng phím
∆ =
ta tính được u
6
= 604, u
7
= 1458

Như vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn liên tiếp phím
=
,
còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì phải ấn liên tiếp cặp phím
∆ =
.
Ví dụ 2: Cho dãy số
n n
n
(2 3) (2 3)
u
2 3
+ − −
=
a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính u
n+2
theo u
n + 1
và u
n
.
c) Lập một quy trình để tính u
n
?
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( ( 2 3 ) ^ 1 ( 2 3 ) ^ 1 ) 2 3+ − − ÷ × =
(u
1

4(a b ) (a b )
u
2 3 2 3
− − − −
− −
= −
=4u
n-1
- u
n-2
Vậy u
n
= 4u
n- 1
- u
n-2
hay u
n+2
=4u
n+1
- u
n
c) Lập quy trình tính u
n
.
Có u
1
= 1, u
2
= 4

B
)
GV: Nguyễn Tiến Đào
Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio
Lặp lại quy trình trên bằng phím
∆ =
ta tính được u
6
= 780, u
7
= 2911
Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( ( 2 3 ) ^ ALPHA X ( 2 3 ) ^ ALPHA X ) 2 3− − ÷+
Bấm
CALC
máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta được các u
n
tương ứng.
u
1
= 1, u
2
= 4, u
3
= 15, u
4
= 56, u
5

(gán u
4
= 56 vào
A
)

4 ALPHA B SHIFT STO B× −
(gán u
5
= 209 vào
B
)

SHIFT∆

COPY

Lặp lại phím
=
Tìm được các u
n
tương ứng
4. Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba
Dạng u
1
= u
2
= 1, u
3
= 2, u

= 1 vào
A
, gán u
3
= 2 vào
B
.
Bấm:
ALPHA B ALPHA A 1 SHIFT STO C+ +
tính u
4
và gán vào
C

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A+ +
tính u
5
và gán vào
A

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B+ +
tính u
6
và gán vào
B

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C+ +
tính u
7
và gán vào

GV: Nguyễn Tiến Đào
Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio
- Giải thích:
Bấm
b SHIFT STO A
gán u
2
= b vào
A

2 2
x a x SHIFT STO B+
tính u
3
= b
2
+ a
2
và gán vào
B
Lặp lại dãy:
2 2
x ALPHA A x SHIFT STO A+
tính u
4
=
2 2
3 2
u + u
và gán vào

a) Bấm 3
( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )= + ÷ +
Lặp lại phím
=
ta được :
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838; 0,760889819; 0,76089781;
0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424; 0,760897424,0,760897424
Giải thích:
Bấm 3
=
gán a
1
= 3 vào ô nhớ
Ans
Bấm
( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )+ ÷ +
tính a
2
Bấm
=
gán u
2
vào ô nhớ
Ans
(Mỗi lần bấm phím
=
thì giá trị trên màn hình được gán vào ô nhớ
Ans
)
Bài 2:Cho dãy số

Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x
0
= 1
Bấm: 1
=
Khai báo công thức
n
n 1
n
3x 1
x
x 3
+
−
=
+
Bấm tiếp:
( 3 Ans 1 ( Ans 3 )× − ÷ +
(1)
Liên tiếp bấm phím
=
được x
n
.
Khai báo lại giá trị đầu x'
0
= 3 Bấm 3
=
GV: Nguyễn Tiến Đào

5
= - 4,886751346
x
6
= 1 x'
6
= 3
x
7
= 0,267949192 x'
7
= 0,886751345
x
1
= - 0,267949192 x'
8
= 0,204634926
. . . . . . . . . . .
Tính theo công thức truy hồi ta được:
0 0
1 2 3
0
0 0
0 0
4 5 6 0
0 0
3x 1 x 3
1
x ;x ; x
x

Bài 2: Cho dãy số u
1
= 1, u
2
= 2, u
n+1
= 2003u
n
+ 2004u
n-1
( n = 2, 3, 4, )
a) Tính u
4
, u
5
, u
6
.
b) Lập quy trình tính u
n+1
.

Cho dãy số u
n
=(3 +
7
)
n
+(3 -
7

= 5827680; u
10
= 32901632;
Bài tập 3: Cho dãy số
n n
n
(10 3) (10 3)
u
2 3
+ − −
=
a) Tính các giá trị u
1
, u
2
; u
3
, u
4
.
b) Xác định công thức truy hồi tính u
n+2
theo u
n+ 1
và u
n
.
c) Lập quy trình tiên tục tính u
n+2
theo u

b) Tính u
10
, u
11
, u
12
, u
14
, u
15
.
Hướng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:
1 2 3 4 SHIFT STO A× + ×
GV: Nguyễn Tiến Đào
Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio
Lặp lại dãy phím
3 4 ALPHA A 2 SHIFT STO A× = × + ×
nhờ
∆ =
Tính trên máy Casio fx - 570 MS:
1SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
4 ALPHA B 2 ALPHA A SHIFT STO A
3 ALPHA A SHIFT STO B
SHIFT COPY
+
=V
Kết quả: u
10
= 115548; u
11

2
= 7, U
n+1
= 3U
n
– 2U
n-1
(n > 3)
a) Viết quy trình bấm phím tính U
n
. (n > 3)
b) Tính U
6
; U
12
?
Bài 7: Cho dãy số
1
4
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+

2
, U
3
; U
4
, U
5
; U
6
.
b) Viết công thức truy hồi để tính U
n+2
theo U
n+1
và U
n
.
c) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính U
n+2
với n
≥
1.(nêu rõ loại máy)
Bài 9: Cho dãy số {U
n
} như sau. U
0
= U
1
= 2; U
n+2

n
=
( ) ( )
5 2 6 5 2 6
n n
+ + −
với n = 1, 2, 3, 4,……
a) Chứng minh rằng U
n+2
+ U
n
= 10U
n+1
với
1,2,3, n∀ =
b) Hãy lập một quy trình ấn phím liên tục để tính U
n+2
với n
≥
1.(nêu rõ loại máy)
Bài 11: Cho dãy số {U
n
} như sau. U
n
=
3 5 3 5
2
2 2
n n
   

b) Lập công thức truy hồi tính U
n+2
theo U
n
và U
n+1
.
c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính U
n+1
với n
≥
1.(nêu rõ loại máy)
Bài 13: Cho dãy số {U
n
} như sau. U
n
=
(5 7) (5 7)
2 7
n n
+ − −
, với n = 0,1,2,3,….
a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy?
GV: Nguyễn Tiến Đào
Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio
b) Lập công thức truy hồi tính U
n+1
theo U
n
và U

b) Tính x
100
.
Bài 15: Cho dãy số:
1 2 3 n+3 n+2 n+1 n
u = 2, u = 3; u = 4, u = 3u - 6u +12u
với n = 1, 2, 3,
a) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính
n+3
u
với n = 1, 2, 3,
b) Tính các giá trị
14 18
u ; u .
Bài 16: Cho dãy số được xác định bởi:

1 2
n+2 n+1 n
u = 1, u 2
u = 3u + 4u + 5 ; n N*
=



∈


Hãy lập quy trình tính u
n
.


×
2
-
1
+
1
SHIFT

STO

B

×
2
-

ANPHA

A

+
1
SHIFT

STO

A

×

2
2(2 1)
3
2
a
+
= =
⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát:
3
3(3 1)
6
2
a
+
= =
GV: Nguyễn Tiến Đào











( 1)
2
n

2
.
⇒ A là một số chính phương.
Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a
1
.a
3
+ 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a
2
- 1)
2
- Với n = 2 thì A = 4a
2
.a
4
+ 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a
3
- 1)
2
- Với n = 3 thì A = 4a
3
.a
5
+ 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a
4
- 1)
2
Từ đó ta chứng minh A = 4a
n

2
1
2
4 15 60 , *
o
n n n
a
a a a n N
+
=



= + − ∈


a) Xác định công thức số hạng tổng quát a
n
.
b) Chứng minh rằng số:
( )
2
1
8
5
n
A a= +
biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số
nguyên liên tiếp với mọi n ≥ 1.
Bài 20: Cho dãy số (u

a a a n n N
+ −
= =


= − ≥ ∈

GV: Nguyễn Tiến Đào
đúng với mọi n ∈ N
*
Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio
Chứng minh rằng:
a) Dãy số trên có vô số số dương, số âm.
b) a
2002
chia hết cho 11.
Bài 22: Cho dãy số (a
n
) xác định bởi:

1 2
2
1
2
1
2
, 3,
n
n
n

( )
2 3
n
 
+
 
 
là phần nguyên của số
( )
2 3
n
+
).
Chứng minh rằng dóy (a
n
) là dãy các số nguyên lẻ.
GV: Nguyễn Tiến Đào