http://mathblog.org
Chương 13
Phương pháp không gian toạ độ trong không gian
13.1 Hệ toạ độ trong không gian
Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,
tọa độ trọng tâm, .
Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :
−→
a = 4
−→
j ;
−→
b = −
−→
i + 2
−→
j ;
−→
c = 3
−→
i + 2
−→
j −
−→
k .
Bài 13.2 : Cho các vectơ
−→
a = (−3;1; 2),
−→

◦
. Tìm |
−→
a +
−→
b | và |
−→
a −
−→
b | biết |
−→
a| = 3, |
−→
b | = 5.
Bài 13.4 : Cho vectơ
−→
a = (1; −3; 4).
1. Tìm y
0
và z
0
để cho vectơ
−→
b = (2;y
0
; z
0
) cùng phương với
−→
a .

′
, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA
′
= 2a, A(0;0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A
′
(0; 0; 2a).
1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.
2. Xác định toạ độ
−−−→
DB
′
.
3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA
′
.
4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B
′
CD.
Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

1. Sử dụng các công thức
249
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• S
∆ABC
=
1
2

−−→
AB,
−−→
AC].
−−→
AD ;
• d(AB, CD) =
[
−−→
AB,
−−→
CD].
−−→
AC
[
−−→
AB,
−−→
CD]
;
• d(M, AB) =
|[
−−→
MA,
−−→
MB]|
|
−−→
AB|
=

−→
u ,
−→
v ]
|
−→
u |.|
−→
v |
;
• cos A = cos(
−−→
AB,
−−→
AC) ;
• cos(AB, CD) =
cos(
−−→
AB,
−−→
CD) .
2. Hai vectơ
−→
u và
−→
v cùng phư ơng khi và chỉ khi [
−→
u ,
−→
v ] =

1. Tính cosin của các góc sau : (
−→
a,
−→
b ), (
−→
b,
−→
c ), (
−→
c ,
−→
a ).
2. Tính các tích vô hướng
−→
a .
−→
b ,
−→
b .
−→
c ,
−→
c .
−→
a .
3. Tìm toạ độ của vectơ
−→
v sao cho
−→

1. Tìm điểm M tr ên trục Ox sao cho MA = MB.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 250
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tìm điểm N tr ên mặt phẳng (Oyz) sao cho NA = NB = NC.
3. Tìm điểm P trê n mặt phẳng Oxy sao cho |
−−→
PA +
−−→
PB +
−−→
PC| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.14 : Tìm tọa độ điểm M trong mỗi trường hợp sau đây
1. M tr ê n trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 1; −4), B(−2; 3; 0).
2. M tr ê n mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A(3; 1; −4), B(−2; 1; 0), C(4; 5; −2).
Bài 13.15 : Trong không gian cho 4 điểm A(4; 2; −2), B(1; 2; −5).C(0; 1; −1), D(2; 0; −3). Chứng minh rằng :
1. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng .
2. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
biết :
A(−2; 4; 1), B(1;−1; 2), A
1
(5; −1; 0), C
1
(−2; 0; 1).

sao cho KM =
√
59
2
.
Bài 13.18 : Cho hình chóp S.ABCD có :
S
3; 3;
13
2
, A(1; 2; 3), B(−1; 4; 6), C(2; 1; 10), D(4; −1; 7).
1. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật và SI⊥(ABCD), trong đó I là giao điểm của AC và BD.
2. Tính thể tích hình chóp.
Bài 13.19 : Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau đây :
1.
−→
a = (1;1; 2),
−→
b = (3; 3; 6)
2.
−→
a = (−2;1; 3),
−→
b = (1;3; −4)
3.
−→
a = (−1;1; −2),
−→
b = (2;3; −7)
4.

−−→
OC đồng phẳng.
Bài 13.22 : Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(−2; 1; 3). Tìm điểm M thuộc Ox sao cho tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 13.23 : Cho các điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 2), C(0; 1; 1), D(−2; 1;0).
1. Chứng minh A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.
2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BD.
3. Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 13.24 : Cho tam giác ABC có A(−2; 0; 1), B(0; −1; 1), C(0; 0; −1).
1. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngo ại tiếp của tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó.
2. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 251
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0), C(1;2; 3).
1. Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích bằng 8.
2. Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC).
Bài 13.26 : Cho hai điểm A(−3; −2; 1), B(1; 3; −4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) sao cho các điều kiện sau được th oả mãn :
OC = 1 và các vectơ
−−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC đồng phẳng.
Bài 13.27 : Cho ba điểm A(−2;1; 3), B(1; 1; 1), C(−4; −3; 2).
1. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Tìm điểm D trên trục Oy sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng
1
2
.

y
2
M
+ z
2
M
, d(M, Oy) =
x
2
M
+ z
2
M
, d(M, Oz) =
x
2
M
+ y
2
M
.
(c) Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox có tọa độ (x
M
; 0; 0).
(d) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) c ó tọa độ (x
M
; y
M
; 0).
Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây :

2
+ y
2
+ z
2
− 3x −y + z +
1
2
= 0.
1. Chứng minh rằng mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tìm toạ độ tiếp điểm A.
2. Chứng minh rằng mặt cầu (S) tiếp xúc với Ox tại B. Tìm toạ độ điểm B.
Bài 13.33 : Cho S (−2; 2; −3), A(−2; 2; 1), B(2;4; 1), C(4; 0; 1), D(0;−2; 1).
1. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và S A là đường cao của hình chóp S.ABCD. Tính thể tích hình chóp đó.
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S
m
) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0. Tìm m để (S
m
) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S
m
) : x

C, J là trun g điểm AB
′
. Chứng minh rằng AJ⊥A
′
I.
2. Gọi G là trọng tâm tam giác BA
′
C
′
. Chứng minh rằng B
′
, G, D thẳng hàng.
Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD. A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi M, N, P lần lượt là tru ng điểm của BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc và khoảng cách
giữa C
1
N và MP.

−−→
AC,
−−→
AM,
−−→
AN
đồng phẳng.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 253
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
13.2 Phương trình mặt phẳng
Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(a) Vec tơ
−→
n 
−→
0 được gọi là vectơ pháp tuyến c ủa mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α).
Một mặt phẳ ng có vô số vectơ p háp tuyến, cá c vectơ pháp tuyến luôn cùng phương.
1
(b) Nếu hai vectơ
−→
u,
−→
v khô ng cùng ph ương và có giá của chúng song song (hoặc nằm trên) (α) thì vectơ
−→
n = [
−→
u ,

Giả sử mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Khi đó phương trình của mặt phẳng
(P) là
x
a
+
y
b
+
x
c
= 1.
4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oxy) : z = 0; (Oyz) : x = 0;(Ozx) : y = 0.
Bài 13.41 : Cho hai điểm A(2; 3; −4), B(4;−1; 0). Viết phương trình của mặt ph ẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 13.42 : Cho tam giác ABC có : A(−1; 2; 3), B(2;−4; 3), C(4; 5;6).
1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C.
Bài 13.43 : Trong không gian Oxyz cho điể m M(30; 15; 6).
1. Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ.
2. Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (α).
Bài 13.44 : Cho điểm A(2; −3; 4). Viết phương trình mặt phẳ ng (α) qua các hình chiếu của điểm A trên các trục toạ độ.
Bài 13.45 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của
tam giác ABC.
Bài 13.46 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau đây
1. Cắt các trục tọa độ tại các điểm A(3; 0; 0), B(0; −2; 0), C(0; 0; 5).
2. Qua điểm H(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
3. Qua điểm M(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho tam giá c ABC là tam giác đều.
1
Nếu
−→

= (A
′
; B
′
;C
′
) thì
1. (α) và (α
′
) cắt nhau khi và chỉ khi
−→
n
α
và
−→
n
α
′
không cùng phương.
2. (α) và (α
′
) song song khi và chỉ khi
−→
n
α
và
−→
n
α
′

• Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) ∥ (P) thì (Q) có dạng Ax + By + Cz + D
′
= 0 với D
′
 D.
• Nếu (α)⊥(α
′
) khi đó
−→
n
α
′
sẽ có giá song song với (hoặc nằm trên) mặt phẳng (α).
Bài 13.49 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi mỗi phương trình
1. x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y −7z + 10 = 0;
2. 3x + 2y −z + 5 = 0 và 6x + 4y − 2z + 10 = 0;
3. x + 2y − z + 5 = 0 và −x −2y + z + 10 = 0;
Bài 13.50 : Cho hai mặt phẳng
(α) : 2x −my + 3z −6 + m = 0 và (α
′
) : (m + 3)x −2y + (5m + 1)z −10 = 0.
Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng đó
1. Song song với nhau. 2. Trùng nhau. 3. Cắt nhau. 4. Vuông góc với nhau.
Bài 13.51 : Vẫn hỏi như bài tập 13.50 với hai mặt phẳng
(α) : 2x −my + 10z + m + 1 = 0 và (α
′
) : x −2y + (3m + 1)z −10 = 0.
Bài 13.52 : Tìm m để hai mặt phẳng
(α) : (m + 2)x + (2m + 1)y + 3z + 2 = 0 và (α
′

3
).
Bài 13.59 : Cho hai mặt phẳng
(P) : 2x −y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳn g (P) và (Q) đồ ng thời vuông góc với mặt phẳng (R) : 3x−y+ 1 = 0.
Bài 13.60 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; 4; 1) và giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : 19x − 6y −4z + 27 = 0 và (Q) : 42x − 8y + 3z + 11 = 0.
Bài 13.61 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
(β) : x + y −z + 1 = 0 và (γ) : y + z = 0
đồng thời
1. vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x + 3y − z = 0. 2. tạo với trục Oy một góc 45
◦
.
Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là
d(M, (α)) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|

khoản g cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 13.65 : Tìm trên trục tung các điểm :
1. Cách đều hai mặt phẳng
(α) : x + y −z −1 = 0 và (α
′
) : x −y + z −5 = 0.
2. Cách đều điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) : x + y − z + 3 = 0.
Bài 13.66 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(2; −1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm M
0; 0;
1
2
đến mặt
phẳng (α) bằng
7
6
√
3
.
Bài 13.67 : Lập phương trình của mặt phẳn g (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳ ng
(P) : x − 3y + 7z + 36 = 0 và (Q) : 2x + y − z − 15 = 0
đồng thời (α) cách gốc tọa độ một khoảng bằng 3.
Bài 13.68 : Cho hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y −2 = 0 và (Q) : 2x + y −2z −2 = 0.
1. Tìm trên giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều (Q) và (Oxz).
2. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 13.69 : Cho hai mặt phẳng (P) : −3x + y + z −1 = 0, (Q) : 4x + 3y − z −5 = 0 và hai điểm A(1; 2; 4), B(−3; 2; 2).
1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Tìm tọa độ giao điểm của ∆ với ba mặt phẳng tọa độ.
2. Tìm điểm M trên ∆ sao cho M cách đều A và B.
3. Tìm điểm N tr ên ∆ sao cho tứ diện OABN có thể tích bằng
1
3

n
α
′
= (A
′
; B
′
;C
′
) thì góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và (α
′
) được tính theo công thức
cosϕ =
cos(
−→
n
α
,
−→
n
α
′
)
=
−→
n
α
.
−→
n

.
Bài 13.74 : Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; −1) và :
1. vuông góc với các mặt phẳng
(β) : 2x −y + 3z −1 = 0 và (γ) : x + y + z −2 = 0.
2. vuông góc với (P) : x − y + 2z = 0 và song song với đường thẳng d :
x −1
2
=
y + 1
1
=
z
2
.
3. qua điểm B(2;0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y − z + 1 = 0.
4. qua điểm C(2; 1; 0) và tạo với (Oxy) một góc 60
◦
.
Bài 13.75 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(α) : mx + 2y + mz −12 = 0 và (β) : x + my + z + 7 = 0.
Tìm tham số m để góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 45
◦
.
Bài 13.76 : Trong k hông gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm M(3; 0; 0) và N(0; 0; 1) đồng thời
tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
π
3
.
Bài 13.77 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(P) : 5x −2y + 5z −1 = 0 và (Q) : x − 4y − 8z + 12 = 0.

3. Nếu d(I, (P)) < R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đườn g tròn. Khi đó tâm J của đường tròn là
hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P), và bán kính r của đường tròn được tính theo công thức
r
2
= R
2
− d
2
(I, (P)).
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua tâm I.
Bài 13.79 : Cho bốn điểm A(3; 6; −2), B(6; 0; 1), C(−1; 2; 0), D(0; 4; 1).
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) tại điểm A.
Bài 13.80 : 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y −2z + 5 = 0.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 6x −2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0).
Bài 13.81 : Cho mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− x − y − z +
1
2

+ (y + 2)
2
+ (z + 3)
2
= 14 và điể m M(−1; −3; −2). Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M
và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Bài 13.87 : Cho mặt cầu (S ) : (x −3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z −1)
2
= 9 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 11 = 0.
Tìm điểm M trên mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất.
Bài 13.88 : Xác định tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P), với
(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2(x + y + z) −22 = 0 và (P) : 3x −2y + 6z + 14 = 0.
Bài 13.89 : Cho hai mặt phẳng song song (P
1
) và (P
2
) có phương trình
(P
1
) : 2x −y + 2z −1 = 0 và (P

Cho đường thẳng ∆ :
Ax + By + Cz + D = 0
A
′
x + B
′
y + C
′
z + D
′
= 0
thì chúng ta hiểu rằng đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A
′
x + B
′
y + C
′
z + D
′
= 0.
Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
).

] 
−→
0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d lần lượt có dạng
d :
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct
hoặc d :
x − x
0
a
=
y −y
0
b
=
z −z
0
c
( nếu a, b, c đều khác 0).
Bài 13.92 : Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau :
1. Đi qua điểm A(2;0; −1) và có vectơ chỉ phươn g
−→

y = −3 + t
z = 5 −3t.
2. d :
x = 5
y = 2 + 3t
z = 1 + t.
3. d :
x = t
y = 1 + 2t
z = 5 −3t.
Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 260
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
1. Chuyển đường thẳng về dạng tham số
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct.
2. Điểm M nằm trên đường thẳng nên M(x
0
+ at; y
0
+ bt; z

và mặt phẳng (P) : 3x −y − z = 0.
1. Tìm điểm A trê n d, điểm B trên d
′
sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm C trên d, điểm D trên d
′
sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) và trọng tâm tam giác OCD nằm trên
mặt phẳng (Oxz).
Bài 13.97 : Cho đường thẳng d :
x −1
2
=
y
3
= z và mặt phẳng (P) : 2x − 3y −2z − 6 = 0. Xác định các điểm A, B, C, D sao cho A, B
nằm trên d; S nằm trên (P) và S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nhận gốc tọa độ O làm tâm của đáy có thể tích bằng
196
√
10
3
.
Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆
′
trong không gian

Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u và đường thẳng ∆

] =
−→
0 ⇔ M
0
∈ ∆ thì M
0
cũng thuộc ∆
′
.
2. ∆ và ∆
′
song song khi và chỉ khi
[
−→
u ,
−→
u
′
] =
−→
0
[
−→
u ,
−−−−−→
M
0
M
′
0

0
M
′
0
= 0.
4. ∆ và ∆
′
chéo nhau khi và chỉ khi [
−→
u ,
−→
u
′
].
−−−−−→
M
0
M
′
0
 0.
Bài 13.98 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳn g sau. Tìm tọa độ giao điểm của chún g nếu có. Viết phư ơng trình mặt phẳng
chứa hai đường thẳng đó nếu chúng đồng phẳng.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 261
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
1. d :
x −1
2
=

−2
=
y + 8
3
=
z −4
1
;
3. d :
x −2
4
=
y
−6
=
z + 1
−8
; d
′
:
x −7
−6
=
y − 2
9
=
z
12
;
4. d :

Bài 13.99 : Với các đường thẳng cho trong bài tập 13.98, trong trường hợp d và d
′
chéo nhau hãy viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa d và (Q) son g song với d
′
và viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(−1; 2; 3) đồng thời (R) song song với cả d và d
′
.
Bài 13.100 : Xét vị tr í tương đối của cặp đường thẳng cho bởi các phươn g trình sau :
d
1
:
x −1
2
=
y −2
−2
=
z
1
; và d
2
:
x = −2t
y = −5 + 3t
z = 4.
Bài 13.101 : Cho ha i đường thẳng
∆ :
x = 1 + 2t
y = −1 + t

M
0
∈ ∆ thì M
0
cũng thuộc (P).
2. ∆ song song với (P) k hi và chỉ khi
−→
u .
−→
n = 0
M
0
∈ ∆ thì M
0
không thuộc (P).
3. ∆ và (P) cắt nhau khi và chỉ khi
−→
u .
−→
n  0.
Bài 13.102 : Xét vị tr í tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α), tìm giao điểm của chúng nếu có, biết :
1. d :
x −12
4
=
y − 9
3
=
z −1
1

=
z −5
4
, (α) : 3x −y + 2z −5 = 0;
5. d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
(P) : 3x + 5y + 7z + 16 = 0 và (Q) : 2x − y + z −6 = 0,
(α) : 5x −z −4 = 0.
Bài 13.103 : Xác định giao điểm củ a đ ường thẳng d và mặt phẳng (P) trong những trường hợp sau :
1. d :
x = 12 + 4t
y = 9 + 3t
z = 1 + t
và (P) : 3x + 5y −z −2 = 0.
2. d là giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + z − 2 = 0; x + 2y − z − 1 = 0 và (P) : x + y + 2z − 1 = 0.
Bài 13.104 : Cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : 2kx + y − z + 1 = 0 và (α
′
) : x −ky + z − 1 = 0.
Với giá trị nào của k thì đườ ng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Oyz).
Bài 13.105 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng d :
x − 12
4
=
y − 9
3
=
z −1
1
và mặt phẳng (α) : 3x + 5y −z −2 = 0.
Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm đượ c 2 p hương trìn h chứa a, b, c.
• Xét hai trường hợp
– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
– Nếu a  0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
Chú ý : Với hai đường thẳng ∆, ∆
′
và mặt phẳng (P), ta có :
1. Nếu ∆ cắt ∆
′
thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
2. Nếu ∆ song song với ∆
′
thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm M ∈ ∆
′
đến ∆.
3. Nếu ∆ và ∆
′
chéo nhau thì khoảng h cách giữa chúng tính theo công thức
h =
[
−→
u ,
−→
u
′
].
−−−−−→
M
0

=
y + 1
−2
=
z + 2
1
, mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và điểm
A(1; 0; 2).
1. Tính các khoảng cách từ A và O đến các đường thẳng ∆ và ∆
′
.
2. Tìm điểm M tr ên Ox sao cho kh oảng cách từ M đến ∆ bằng 2
√
2.
3. Tìm điểm M tr ên Oy sao cho M cách đều ∆ và A.
4. Tìm điểm M tr ên Oz sao cho M cách đều ∆ và (P).
5. Tìm điểm M tr ên Ox sao cho M cách đều ∆ và ∆
′
.
6. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho khoảng cách từ M đến ∆
′
bằng 10.
7. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho M cách đều ∆
′
và (P).
Bài 13.108 : Cho đường thẳng d :
x = 3 + 2t
y = −2 + t
z = −1 −t
và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.

=
y − 2
2
=
z
3
và mặt phẳng (P) : 2x + y + mz − 1 = 0.
1. Tìm điểm M nằm trên giao tuyến của (P) với (Oxy) và có khoảng cách đến d b ằ ng
√
26
2
.
2. Tìm m sao cho d ∥ (P). Khi đó hãy tính khoảng cách từ d đến (P).
Bài 13.111 : Cho đường thẳng d :
x − 1
1
=
y + 3
2
=
z + 2
−1
.
1. Tìm điểm M tr ên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến d là
5
√
2
2
.
2. Tìm điểm N tr ên mặt phẳng (Oyz) sao cho d(N, Oy) = d(N, Oz) =

2
4
= R
2
− d
2
(I, (P)).
Bài 13.113 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 2)
2
+ (y − 1)
2
+ (z + 5)
2
= 109 và đường thẳng d :
x = −5 + 3t
y = −1 + 5t
z = 9 −4t.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu. Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm trên.
Bài 13.114 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : 5x −4y + 3z + 20 = 0 và (α
′
) : 3x −4y + z −8 = 0.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; −1) và cắt d tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
Bài 13.115 : Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đ ường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 13.117 : Viết phương trình mặt cầu (S ) trong mỗi trường hợp sau :
1. có tâm I(1; 4; −7) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 6x + 6y −7z + 42 = 0.
2. có tâm H(6; −8; 3) và tiếp xúc với trục Oz.
Bài 13.118 : Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z + 1 = 0 và
x − y + z −1 = 0 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : x + 2y + 2z + 7 = 0.
Bài 13.119 : Cho đường thẳng d :
x
2
=
y − 1
1
=
z + 1
2
và hai mặt phẳng
(α) : x + y −2z + 5 = 0 và (β) : 2x −y + z + 2 = 0.
1. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d với hai mặt phẳng (α) và (β). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (β).
Bài 13.120 : Cho điểm I(2; 3; −1) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x −4y + 3z + 20 = 0 và 3x − 4y + z −8 = 0.
1. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm I trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB = 10.
Bài 13.121 : Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 4x + 6y + 6z + 17 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y = 0 và
3y − 2z −1 = 0.


Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u, đường thẳng ∆
′
đi qua M
′
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u
′
và mặt phẳng (P) :
Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến là
−→
n = (A; B;C) thì góc ϕ
1
giữa hai đường thẳng ∆ và ∆
′
; góc ϕ
2
giữa ∆ và (P) tính theo
công thức.
cos ϕ
1
=
cos(
−→

−→
u |.|
−→
n|
.
Chú ý : Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết góc ta thường làm như sau :
• Giả sử
−→
u = (a;b; c) 
−→
0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.
• Xét hai trường hợp
– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
– Nếu a  0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
Bài 13.125 : Tìm góc tạo bởi đường thẳng d :
x + 1
2
=
y − 1
1
=
z −2
1
với trục Ox.
Bài 13.126 : Tìm góc tạo bởi giữa đường thẳng d :
x + 3
2
=
y + 1

2
=
z
2
.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3;−1; 1), nằm trong mặt phẳng (α) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 45
◦
.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 266
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x + 4
2
=
y − 3
1
=
z + 1
−1
. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi ∆
với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Chứng minh rằng cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.
Chú ý :

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d
1
và tạo với đường thẳng d
2
một góc bằng 60
◦
.
Bài 13.134 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
∆ :
x = −t
y = −1 + 2t
z = 2 + t
và (α) : 2x −y −2z −2 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (α) một góc nhỏ nhất.
Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳ ng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng
khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác

Dựa vào các quan hệ song song, vuôn g góc, nằm trong để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng như trong vấn đề 1.
Chú ý :
• Nếu ∆ ∥ ∆
′
thì
−→
u
′
∆
cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.
• Nếu ∆⊥(P) thì
−→
n

−1
=
y + 1
1
=
z + 6
−2
và ∆
2
:
x = t
y = 1 −2t
z = 0.
4. Đi qua điểm M(1; 4; −2) và song song với các mặt phẳng
(α) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : 3x −5y − 2z − 1 = 0.
5. Đi qua điểm A(1;1; −2), song son g với (P) : x − y −z −1 = 0 và vuông góc với d :
x + 1
2
=
y − 1
1
=
z − 2
3
Bài 13.136 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P) : x + 2y − z + 1 = 0 và vuông góc
với đường thẳng d :
x + 2
1
=
y

theo tham số t hoặc t
′
.
2. Giả sử ∆ cắt ∆
′
tại A. Do A ∈ ∆
′
nên A có tọa độ theo tham số t hoặc t
′
.
3. Từ các d ữ kiện bài toán ta thiết lập được phương trình để tìm đư ợc các tham số t và t
′
. Từ đó viết được đường thẳng ∆.
Chú ý :
1.
−→
n
1
⊥
−→
n
2
khi và chỉ khi
−→
n
1
.
−→
n
2

x = 8 + t
y = 5 + 2t
z = 8 −t
và ∆
2
:
x = 3 −7t
′
y = 1 + 2t
′
z = 1 + 3t
′
.
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung c ủa hai đường thẳng đó.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 268
http://mathblog.org
CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.142 : Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1;5; 5; ) và D(1; 1; 1).
1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa AC và BD.
Bài 13.143 : Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình :
d
1
:
x = −2 + 3t

x − 7
1
=
y − 3
2
=
z −9
−1
; d
3
:
x + 1
3
=
y + 3
−2
=
z − 2
−1
.
Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đồng thời d
1
và d
2
đồng thời song song với d
3
.
Bài 13.145 : Cho hai đường thẳng
d
1

Bài 13.147 : Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) : x + 2y − z + 1 = 0 và cắt các đường thẳng
∆
1
:
x −1
2
=
y + 1
1
=
z −2
−1
và ∆
2
:
x −2
1
=
y
−1
=
z + 1
2
.
Bài 13.148 : Cho mặt phẳ ng (α) : x + 2y − z − 2 = 0 và đường thẳng d :
x + 1
2
=
y − 2
−1

x = 3 − t
′
y = 1 + 2t
′
z = t
′
.
Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Bài 13.151 : Cho hai đường thẳng d
1
:
x −1
1
=
y − 1
2
=
z − 1
2
và d
2
:
x
−1
=
y + 1

−→
u
∆
= 0. Tìm được t, từ đó suy ra H.
2. Hình chiếu H của A xuống (P). Có một số cách sau :
(a) Gọi ∆ là mặt phẳng chứa A và vuông góc với (P). Khi đó H là giao điểm của (P) và ∆.
(b) Giả sử H ∈ ∆, nên H có tọa độ thỏa mã n (P). Do AH⊥(P) nên [
−−→
AH,
−→
n
(P)
] =
−→
0 . Tìm được H.
3. Hình chiếu vuông góc ∆
′
của ∆ xuống (P).
(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q)⊥(P).
(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆
′
là giao tuyến của (P) và (Q).
4. Hình chiếu ∆
′
theo phương đường thẳng d của ∆ xuống (P).
(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q) cùng phương với d ((Q) song song hoặc (Q) chứa d).
(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆
′
là giao tuyến của (P) và (Q).
5. Tìm điểm đối xứng A

trên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 13.153 : Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của đường thẳng d :
x = 2 − t
y = 2t
z = −1 + 2t
trên (α) : x + y + z − 3 = 0.
Bài 13.154 : Tìm điểm đối xứng của điểm M(1; −3; 7) đối với mặt phẳng (α) : 2x + 5y −2z −6 = 0.
Bài 13.155 : Tính khoản g cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng d :
x + 2
1
=
y − 1
2
=
z + 1
−2
.
Bài 13.156 : Tính khoản g các giữa các cặp đường thẳng
d
1
:
x − 1
2
=
y + 3
1
=
z −4
−2
và d

3
=
y + 2
2
=
z
−1
và điểm M(4; −3; 2). Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
Bài 13.161 : Cho đường thẳng ∆ :
x = 1 + 2t
y = 2 −t
z = 3t
và điểm M(2; −1; 3).
Tìm điểm M
′
đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆.
Bài 13.162 : Cho hai đường thẳng
∆
1
:
x −3
−7
=
y −1
2
=
z −1
3
và ∆
2

của d trên (P).
Bài 13.164 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
(α) : 5x −4y −2z −5 = 0 và (α
′
) : x + 2z −2 = 0
và mặt phẳng (P) : 2x −y + z −1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc d
′
của d trên mặt phẳng (P).
Vấn đề 11 : Bài toán cực trị

1. Mối quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
2. Bất đẳng thức tam giác và các bất đẳng thức kinh điển.
3. Hoặc đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến.
4. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ song song với mặt phẳng (P) cố định th ì ∆ nằ m trên mặt phẳng (Q) qua M và song song với (P).
5. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ vuông góc với ∆
′
cố định thì ∆ nằm trên mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với ∆
′
.
Bài 13.165 : Cho điểm A(−1;2; 3), đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình
d :
x −1
2
=
y
1
=
z + 2
−2
và (P) : x − y + 5z − 6 = 0.

2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆
′
sao cho AB đạt giá trị nh ỏ nhất.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, (P) song song với cả hai đường thẳng ∆ và ∆
′
.
Bài 13.168 : Cho ha i đường thẳng
∆ :
x − 1
1
=
y + 2
2
=
z + 1
−2
và ∆
′
:
x = 2t
y = 1 −t
z = 2 −2t.
1. Chứng minh rằng ∆ và ∆
′
chéo nhau.
2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆
′
sao cho AB đạt giá trị nh ỏ nhất.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và (P) song song với ∆
′

MA −
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
4. |2
−−→
MA +
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.171 : Cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z −3 = 0 và hai điểm A(0; 1; 2), B(−1; 2; 3). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
1. MA
2
+ MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
2. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
3. |2
−−→
MA −
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
4. |2
−−→
MA +
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.172 : Cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 5 = 0 và mặt cầu (S) : (x − 1)
2
+ y
2
+ (z − 2)

(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
8. (P) chứa ∆ và tạo với trục Ox một góc
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
Bài 13.174 : Cho A(1; 0; 2), B(0; 0; 1), mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và đường thẳng ∆ :
x = 1
y = 1 + t
z = t.
Viết phương trình đường thẳng d, biết
1. d đi qua A, cắt ∆ và cách B một khoảng
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
2. d qua A, d ∥ (P) và d cách B một khoảng
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
3. d qua A, d⊥∆ và d cách B một khoảng
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
4. d nằm trong (P), d ∥ ∆ và B cách d mộ t khoảng nhỏ nhất.
5. d nằm trong (P), d⊥(Q) và B cách d một khoảng nhỏ nhất, với (Q) : 4x + y −z −3 = 0.
13.4 Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH
Bài 13.175 (CĐ08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d có phương trình
x
1
=
y
−1
=
z − 1
2
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm toạn độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
Bài 13.176 (CĐ08) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,