TÀI LIỆU LỚP 12
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ KG.
1. Vectơ trong không gian:
a. Các tính chất:
Cho các vectơ
1 1 1 1 2 2 2 2
( ; ; ), u ( ; ; )u x y z x y z
= =
ur uur
và số k tuỳ ý, ta có:
1)
1 2 1 2 1 2 1 2
, ,u u x x y y z z= ⇔ = = =
ur uur
2)
1 2 1 2 1 2 1 2
( ; ; )u u x x y y z z
± = ± ± ±
ur uur
3)
1 1 1 1
( ; ; )ku kx ky kz=
ur
4)
1 2 1 2 1 2 1 2
.u u x x y y z z
= + +
ur uur
5)
2

Cho hai điểm
( )
A
x ; ;
A A
A y z
và
( )
; ;
B B B
B x y z
, ta có:
1)
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
2)
( ) ( ) ( )
2 2 2
AB
B A B A B A
x x y y z z
= − + − + −
c. Tích có hướng của hai vectơ:
ĐN: Cho hai vectơ
( ; ; ), v ( '; '; ')u a b c a b c= =
r r


TÀI LIỆU LỚP 12
a. Phương trình mặt cầu:
- Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình:

2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
.
- Phương trình
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
là phương trình mặt cầu
khi và chỉ khi
2 2 2
0a b c d+ + − >
.
Khi đó tâm
( ; ; )I a b c− − −
, bán kính
2 2 2
R a b c d
= + + −
.
b. Phương trình mặt phẳng:
- Mặt phẳng đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z
nhận
( ; ; ) 0n A B C= ≠
r r

( ) : ' ' ' 0A x B y C z D
β
+ + + =
1)
( )
α
cắt
( ) : : ': ': 'A B C A B C
β
⇔ ≠
.
2)
( ) / /( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
3)
( ) ( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
c. Phương trình đường thẳng:
- Đường thẳng đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z

2
TÀI LIỆU LỚP 12
- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d đi qua M có vectơ chỉ phương
u
r
và
d’ đi qua M’ có vectơ chỉ phương
'u
ur
:
1)
[ , '] 0
'
[ , '] 0
u u
d d
u MM

=

≡ ⇔

=


r ur
r uuuuur
2)
[ , '] 0
/ / '

, ' và 'u u MM⇔
r ur uuuuur
không đồng phẳng

[ , ']. ' 0u u MM⇔ ≠
r ur uuuuur
.
3. Các công thức tính diện tích, thể tích và khoảng cách:
a. Các công thức tính diện tích:
- Diện tích hình bình hành
ABCD
:

[ , ]S AB AD=
uuur uuur
.
- Diện tích tam giác ABC:

1
[ , ]
2
S AB AC=
uuur uuur
.
b. Các công thức tính thể tích:
- Thể tích của hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành:

[ , ]. 'V AB AD AA=
uuur uuur uuur
.


1
[ , ].
6
V AB AC AD=
uuur uuur uuur
.
Suy ra đường cao của lăng trụ là:

[ , ]. [ , ].
; ;
[ , ] [ , ]
D A
AB AC AD AB AC AD
h h
AB AC BC BD
= =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

[ , ]. [ , ].
;
[ , ] [ , ]
B C
AB AC AD AB AC AD
h h
AC AD AB AD
= =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

0
,
[ , ]
| |
M a
u MM
d
u
=
r uuuuur
r
.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ lần lượt có vectơ chỉ
phương
và 'u u
r ur
:

( )
, '
[ , ']. '
[ , ']
d d
u u MM
d
u u
=
r ur uuuuur
r ur
.

( )
Oyz
.
b. Có bán kính bằng 2 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)và có tâm nằm trên tia Ox
c. Có tâm
( )
1;2;3I
và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a. Đi qua ba điểm
(2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)M N P− −
.
b. Đi qua ha điểm
(1;1; 1), (5;2;1)A B−
và song với trục Oz.
c. Đi qua điểm
(3;2; 1)A −
và song song với mặt phẳng
( ) : 5 0x y z
α
− + =
.
d. Đi qua hai điểm
( )
0;1;1 ,A
( 1;0;2)B −
và vuông góc với
( ) : 1 0x y z
α
− + + =

c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau.
d. Hai mặt phẳng đó vuông góc.
Bài 6: Tìm điểm M trên trục Oz trong các trường hợp sau:
a. M cách đều
( )
2;3;4A
và mặt phẳng
2 3 17 0x y z+ + − =
.
b. M cách đều hai mặt phẳng
1 0x y z+ − + =
và
5 0x y z+ − + =
.
Bài 7: Cho bốn điểm
( ) ( ) ( )
1;6;2 , 4;0;6), 5;0;4 , 5;1;3A B C D
.
a. Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
d. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Trang
5
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm
)1;5;5(C ),5;2;4(B ),3;5;1(A −−
,
( )
1;2;4D

α β γ
+ + =
Bài 11: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mỗi mặt
phẳng tọa độ biết
1 2 3
:
2 3 1
x y z
d
− + −
= =
.
Bài 12: cho đường thẳng
: 8 4
3 2
x t
d y t
z t
=


= +


= +

và mặt phẳng
( ) : 7 0P x y z+ + − =
.
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).



= +

Trang
6
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 14: Viết phương trình đường thẳng d song song với d
1
và cắt cả hai đường
thẳng d
2
và d
3
, biết phương trình của d
1
, d
2
, d
3
là:

1
1
: 2 4
1
x
d y t
z t
=


.
Bài 15: Cho hai đường thẳng:

1
8
: 5 2
8
x t
d y t
z t
= +


= +


= −

và
2
3 1 1
:
7 2 3
x y z
d
− − −
= =
.
a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

α
.
b. Tìm tọa độ giao điểm của d và
( )
α
.
c. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên
( )
α
.
Bài 17: Cho đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
có phương trình:

1 2 3
:
1 2 2
x y z
d
− − −
= =
;
( ) : 2 5 0x z
α
+ − =
.
a. Xác định tọa độ giao điểm A của d và
( )
α

có vectơ chi
phương
( 4;2; 1)u = − −
r
.
Bài 19: Tính khoảng cách giữa hai đưởng thẳng sau:
Trang
7
TÀI LIỆU LỚP 12
a.
1
: 1
1
x t
d y t
z
= +


= − −


=

và
2 3
': 2 3
3
x t
d y t

d
− +
= =
− −
.
Bài 20: Cho hai điểm
(1; 1; 2), (3;1;1)A B− −
và mặt phẳng
( )
: 2 3 5 0P x y z− + − =
.
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
b. Tìm góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P).
d. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Viết phương
trình đường thẳng d nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.
Bài 21: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình:

2
3
11
:
3
x t
d y t
z t

= +





= +


=

và
2
5 2
:
3 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và d
1
.
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và d
2
.
c. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả d
1
và d
2
.
d. Tính khoảng cách từ A đến d

Bài 24: Cho mp
( )
α
:
2x 3y 6z 6 0
+ + − =

a. Tìm giao điểm A, B, C của Ox, Oy, Oz với mặt phẳng
( )
α
. Tính diện tích tam
giác ABC.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(ABC).
c. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
Bài 25: Cho đường thẳng d:
x 12 4t
y 3 3t
z 1 t
= +


= +


= +

và mp
( )
α
:

Trang
9
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 27: Cho mp
( ): x y 0
α − =
và đường thẳng
x 2
( ) : y t
z t 1
=


∆ =


= − +

.
a. Tìm giao điểm A của đường thẳng
( )
∆
và mp
( )
α
.
b. Viết phương trình của đường thẳng
1
( )
∆

và cắt đường thẳng (d
2
):
x 3 t
y 1 t
z t
= +


= −


=

.
Bài 30: Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng:
y 2x 0
+ =
và cắt hai
đường thẳng (d):
x 1 y 1 z 2
2 3 1
+ − −
= =
và (d
’
):
x 2 y 2 z
1 5 2
− +


b. M(1, -1, 1) và cắt hai dường thẳng:
Trang
10
TÀI LIỆU LỚP 12
(d
1
):
x 1 y z 3
2 1 1
− −
= =
−
và (d
2
) là giao tuyến của
mp( ) : x y z 1 0
mp( ) : y 2z 3 0
α + + − =


β + − =


c. M(0, 1, 2) và cắt hai dường thẳng:
(d
1
):
x 1 y 3 z 2
3 2 1

Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của (P) và (d), vuông góc với
(d) và nằm trong (P).
Bài 34: Cho hai đường thẳng :
1
x 1 y 2 z 5
(d ) :
2 3 4
− + −
= =
−
và
2
x 3t 7
(d ): y 2t 2
z 2t 1
= +


= +


= − +


Chứng tỏ hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cùng nằm trong một mặt phẳng. Viết
phương trình mặt phẳng đó.

1
và d
2
.
Bài 36: Cho mp(P):
3x y z 1 0
+ − + =
và đường thẳng
x 1 y 3 z 9
(d) :
6 4 5
+ − −
= =
− −

a. Tìm giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
b. Tìm góc ( nhọn) của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
c. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) , vuông góc với mặt
phẳng (P).
d. Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Bài 37: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0, 1, 1) biết (d)
⊥
(d
1
), (d) cắt
(d
2
) với (d
1
), (d

= −


= − +

. Viết phương trình đường thẳng (D)
qua A, cắt và vuông góc với (d).
Bài 39: Cho (d
1
):
x 23 y 10 z
8 4 1
+ +
= =
và (d
2
):
x 3 y 2 z
2 2 1
− +
= =
−

a. Viết phương trình mp(P) và mp(Q) song song với nhau và lần lượt đi qua (d
1
)
và (d
2
).
b. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với Oz và cắt (d

(d ) :
1 2 1
− − +
= =
−

a. Tìm tọa độ A
’
đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d
1
).
b. Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua A, vuông góc với (d
1
) và cắt (d
2
).
Bài 42: Cho A(1, 2, -1); B(7, -2, 3) và đường thẳng
x 1 y 2 z 2
( ) :
3 2 2
+ − −
∆ = =
−

a. Chứng minh đường thẳng AB và đường thẳng
( )
∆

a. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A và
( )⊥ ∆
.
b. Tìm H là giao điểm của (
∆
) và mp(
α
) và tính d(A,
∆
).
c. Tìm M thuôc
∆
sao cho MA+ MB nhỏ nhất.
Bài 44: Cho hai đường thẳng:

7 3
1 2 5
: 2 2 và ':
2 3 4
1 2
x t
x y z
d y t d
z t
= +

− + −


.
a. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q)
đi qua d’ và vuông góc với d.
c. Viết phương trình chính tắc của đương vuông góc chung của d và d’.
Bài 46: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:

( ) : 2 2 0 ( ): 2 1 0P x y z Q x y z− + + = + + − =
.
a. Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.
b. Viết phương trình đường thẳng d qua
(1;2; 3)A −
, song song với cả (P) và (Q).
c.Viết phương trình mp(R) đi qua
( 1;3;4)B −
và vuông góc với cả (P) và (Q).
Bài 47: cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 4 6 0S x y z x y z+ + − − − =
.
a.Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.
b.Tùy theo giá trị của k, hãy xét vị trí tương đố của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
biết
( ) : 0P x y z k+ − + =
.
c. Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác với gốc tọa độ O. Viết
phương trình mặt phẳng (ABC).
d.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.
e.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt
phẳng

.
e.Viết phương trình đường thẳng song song với Oz cắt cả d và d’.
Bài 50: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
(1; 1;2), (2;0;1)A B−
.
a.Tìm quỹ tích các điểm M sao cho
2 2
2MA MB− =
b.Tìm quỹ tích các điểm N sao cho
2 2
3NA NB+ =
c.Tìm quỹ tích các điểm cách đều
( )OAB
và
( )Oxy
.
Bài 51: Trong không gian toạ độ Oxyz cho
1
: 1
5
x at
d y bt
z ct
= +


= +


= +

).
b. Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Bài 53: Cho A( 0, 0, 1) , B(2, 1, -1) và C(-1, -2, 0)
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của
ABC∆
và
mp(ABC)⊥
c. Tìm hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC.
Bài 54: Cho hai đường thẳng:
1
x 1 t
(d ): y 0
z 5 t
= −


=


= − +

và
'
2
'

−
và (d
2
):
x 8 y 6 z 10
2 1 1
+ − −
= =
−

a. Viết phương trình đường thẳng (d)// Ox và cắt (d
1
), (d
2
).
Trang
15
TÀI LIỆU LỚP 12
b. Tìm A thuộc (d
1
) và B thuộc (d
2
) sao cho AB là đường vuông góc chung của
(d
1
), (d
2
).
Bài 56: Cho hai đường thẳng:
1

) tại A(3, 1, 3) và có tâm I thuộc (d
2
).
Bài 57: Cho
mp( ) : x y z 1 0α − − − =
và đường thẳng
x 1 y 1 z 2
( ) :
2 1 3
+ − −
∆ = =
.
a. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1, 1, -2) sao cho (d)// mp(
α
) và d
( )⊥ ∆

b. Tính khoảng cách giữa (d) và (
∆
).
Bài 58: Cho hai đường thẳng:
1
x 1 2t
(d ): y 1 t
z 2 3t
= +


= −


1
x 1 y 2 z 5
(d ):
2 3 4
− + −
= =
−
và
1
x 7 2t
(d ): y 2 3t
z 1 4t
= −


= +


= −


cùng nằm trong một mặt phẳng. Lập phương trình mặt phẳng đó.
Bài 60: Cho đường thẳng
x y 1 z 1
(d) :
2 1 2
− +
= =
và hai mặt phẳng
1

Bài 62: Cho
1
1
x 0
(d ): y 1
z 1 t
=


=


= −

và
2
2
x 2 2t
(d ) : y 1
z 0
= − +


=


=

x 1 t
(d) : y t

x 1 2t
(d) : y 2 t
z 3t
= +


= −


=


a. Tìm A
∈
(d) sao cho
d(A,( )) 1α =

b. Tìm M
’
đối xứng của M(2, -1, 3) qua đường thẳng (d).
Bài 64: Cho A(3, 1, 1), B(7, 3, 9) và
mp( ) : x y z 3 0α + + + =
.
a. Tìm M
∈
mp
( )
α
sao cho MA+ MB nhỏ nhất.
b. Tìm N



a. Chứng minh
'
( ),( )∆ ∆
chéo nhau.
b. Lấy A, B trên
( )
∆
sao cho AB=4. Lấy C, D trên (
'
∆
) sao cho CD=3. Tính
V
ABCD
Bài 66: Cho A(2, 1, -1); b(3, 0, 1): C(2, -1, 3). Tìm D trên Oy sao cho V
ABCD
=5.
Bài 67: Cho
1
1 1
1
x 2 t
( ) : y 1 t
z 2t
= +


∆ = −


− +
= =
và
mp( ) : 2x y 2z 2 0α + − + =
. Viết mặt cầu
(C) có tâm nằm trên (d), tiếp xúc với mp(
α
) và bán kính bằng 1.
Bài 68: Cho mặt cầu
2 2 2
(S) : x y z 10x 2y 26z 113 0+ + − + + − =
và đường thẳng:
x 5 2t
(d) : y 1 3t
z 13 2t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình mp(
α
) tiếp xúc với (S) và vuông góc với(d).
Bài 69: Cho A(0, 0, -3), B(2, 0, -1) và
mp( ) :3x 8y 7z 1 0α − + − =
. Tìm điểm C
nằm trên mp(



= +


a. Xét vị trí tương đối của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm tọa độ các điểm M thuộc (d
1
) và N thuộc (d
2
) sao cho đường thẳng MN
song song với mp(P):
x y z 0− + =
và độ dài đoạn MN=
2
.
Bài 72: Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
x y z 10x 2y 26z 113 0
+ + − + + − =
Và song song với hai đường thẳng :
x 5 y 1 z 13
2 3 2
+ − +
= =
−

phẳng 2x – 2y – z + 9 = 0. Xác định tọa độ tâm và bán kính của C.
Bài 76. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
( )
2 2 2
C : x y z 10x 2y 26z 113 0
+ + − + + − =
và song song với 2 đường thẳng d
1
:
x 5 y 1 z 13
2 3 2
+ − +
= =
−
; d
2
:
x 7 3t
y 1 2t
z 8
= − +


= − −


=


Bài 77: Cho A(0, 1, 6); B(2, 0, -1); C(4, 1, 0); D(6, -2, 3)

2 2 2
x y z 2x 4y 6z 67 0
+ + − − − − =

a. Viết phương trình các mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc mặt cầu (C)
b. Viết phương trình giao tuyến của mặt phẳng
α
với mặt cầu. Tìm tâm và bán kính
của đường tròn giao tuyến đó.
Bài 79. Cho (C):
2 2 2
x y z 1
+ + =
và mặt phẳng
α
: x + y + 2z – 1 = 0
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của (C) với mặt phẳng
α

b. Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của (C) với mặt phẳng
α
và có tâm của mặt cầu đó nằm trên mặt phẳng x + y + z +4 =0.
Bài 80. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2, 3, -1) và cắt (d):
5x 4y 3z 20 0
3x 4y z 8 0
− + + =


− + − =


x y z 2x 4y 6z 0+ + − − − =

a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
b. Xét vị trí tương đối của mp(P):
x y z k 0+ + + =
tùy theo giá trị của k.
c. Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua M(1, 1, 1) và N(2, -1, 5).
d. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại O.
e. Tìm bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng Oxy.
Bài 85: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
(x 1) (y 1) z 11− + + + =
và hai đường thẳng :

1
x y 1 z 1
(d ) :
1 1 2
+ −
= =
và
2
x 1 y z
(d ) :
1 2 1
+
= =

a. Viết phương trình mặt phẳng song song với (d
1

f. Tìm N
∈
Oy sao cho
NAD∆
vuông tại N.
g. Tìm P
∈
Oxy sao cho P cách đều 3 điểm A, B, C.
Bài 89: Cho A(-2, 2, 1), B(-3, -2, -4), C(5, 1, 2) và D
∈
Oxy. Tìm tọa độ D biết DA=
DB và V
ABCD=
37
6
.
Bài 90: Cho điểm A(0, 0, 1). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA và
tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
biết cos
α
=
1
6
.
Bài 91: Cho điểm A(1, 3, -2) và B(2, 5, 3). Tìm tọa điểm M trên mặt phẳng tọa độ
Oyz sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 92: Cho điểm A(3, 1, 1) và B(7, 3, 9). Tìm tọa điểm M trên mp(P):
x y z 3 0+ + + =
sao cho

và có bán kính nhỏ nhất.
C.ĐỀ ĐẠI HỌC CÁC NĂM:
Bài 1.
Cho
( ) ( )
3;1;2 , 1;2;3M N
. Lập phương trình mặt phẳng:
a. Qua M, N và gốc O.
b. Qua M, N và song song với trục Oz.
c. Nhận N là hình chiếu của M trên nó.
Bài 2. (AN) Cho
( )
: 2 3 1 0;P x y z− + + =

( )
: 5 0Q x y z+ − + =
.
a. Tính khoảng cách từ
( )
1;0;5M
đến (P). Tìm tọa độ hình chiếu N của M trên
mặt phẳng (P).
b. Tìm mặt phẳng đi qua giao tuyến d của (P) với (Q) mà vuông góc với (R):
3 1 0x y− + =
.
Bài 3. (GT) Cho
1 1 1
;0;0 , 0; ;0 , 1;1;
2 2 3
H K I

( )
: 2 3 1 0x y z
β
− + + =
và đường thẳng
2
2
: 1 2
3 3
x mt
d y t
z t
= +


− +


= −

a. Tìm m để d
1
và d
2
cắt nhau. Khi đó tìm mặt phẳng chứa d
1
, d
2
.
b. (ĐH2002A) Tìm mặt phẳng (P) chứa d

biết d
1
là giao tuyến của (α) với (β), d
2
là giao tuyến của (P) với (Q).
b. Chứng minh d
1
, d
2
chéo nhau.
c. Tìm góc và khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
d. Tìm đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Bài 8. (KTrúc) Cho điểm
( )
3;2;1A
và đường thẳng
3
:
2 4 1
x y z
d
+

x y z
d
+ + −
= =
− −
và
2:
2
1 3
1 5
x t
d y t
z t
= +


= − +


= −

a. Lập phương trình mặt phẳng qua M chứa d
1
.
b. Tìm đường thẳng qua M cắt cả d
1
và d
2
.
Bài 11. Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng:

NA NB−
lớn nhất.
Bài 13. Cho
(2;3; 1)I −
. Tìm mặt cầu tâm I:
a. Nhận
( )
: 6 8 6 0R x z+ + =
là tiếp diện.
b. Chắn giao tuyến của
( )
:3 4 8 0P x y z− + − =
và
( )
:5 4 3 20 0Q x y z− + − =

một đoạn có độ dài bằng 16.
Bài 14. Tìm mặt cầu có bán kính
3R =
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
: 2 3 6 0P x y z+ + − =
tại điểm
( )
1;1;1M
.
Bài 15. (2004D)Tìm mặt cầu đi qua
( ) ( ) ( )
2;0;1 , 1;0;0 , 1;1;1A B C
và có tâm

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α

biết
1
cos
6
α
=
.
Trang
24
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 18. (2007A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:

1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 2
: 1
3

1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
b. Viết phương trinh mặt phẳng
( )
α
chứa d sao cho khoảng cách từ
( )
α
đến A là
lớn nhất.
Bài 20. (2010A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
∆
và
mp(P):

1 2
:
2 1 1
x y z− +
∆ = =
−

( ) : 2 0P x y z− + =

0; 1; 2A
và
hai đường thẳng:
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−

2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


= +

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d