TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
F 7 G

GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
ĐỖ NGUYÊN SƠN

2000
Đại Số Đại Cương
- 2 -
MỤC LỤC
mục lục 2
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 7
1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ 7
1.1 Tập hợp 7
1.2 Ánh xạ 8
A, B ⊂ X
⇒

1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được 9
1.4 Quan hệ hai ngôi. 9
1.5 Quan hệ tương đương. 10
1.6 Mệnh đề 11
1.7 Quan hệ thứ tự 12
2. Cấu trúc đại số 13
2.1 Phép tóan đại số 13
2.2 Các tính chất của phép toán đại số 14
2.3 Các phần tử đặc biệt 15
2.4 Cấu trúc đại số 15
2.5 Các cấu trúc đại số cơ bản 16
BÀI TẬP 18
CHƯƠNG 2: SỐ HỌC TRÊN 9 21
1. Số tự nhiên 21
1.1 Xây dựng số tự nhiên 21
1.2 Phép cộng trên ∠ 21
1.3 Đònh lí 22
1.4 Phép nhân trên ∠ 23
1.5 Đònh lí 23
1.6 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên 23
1.7 Đònh lí: 23
2. Vành số nguyên 24
2.1 Xây dựng tập số nguyên 24
2.2 Phép cộng 25
2.3 Phép nhân 25
2.4 Đònh lí 26
2.5 Quan hệ thứ tự trên 9 27
3. Sự chia hết trên tập số nguyên 27
3.1 Đònh nghóa 27
3.2 Tính chất ( a, b, c, d là các số nguyên) 27

6.11 Cách tìm ƯCLN và BCNN 36
7 Đồng dư 37
7.1 Đònh nghóa 37
7.2 Lớp đồng dư 37
7.3 Tính chất 38
BÀI TẬP 39
CHƯƠNG 3: NHÓM 42
1 Nửa nhóm - Vò nhóm 42
1.1 Đònh nghóa 42
1.2 Tích của n phần tử trong nửa nhóm 42
1.3 Đònh lí 42
1.4 Đònh lí 43
2 Nhóm 44
2.1 Đònh nghóa 44
2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm 45
3. Nhóm con 47
3.1 Đònh nghóa 47
3.2 Đònh lí (tiêu chuẩn để nhận biết một nhóm con) 47
3.3 Nhóm con sinh bởi một tập con của nhóm 48
4. Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương 49
4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác đònh bởi một nhóm con 49
4.2 Mệnh đề 50
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 4 -
4.3 Đònh lí (Lagrange) 51
4.4 Nhóm con chuẩn tắc 51
4.5 Nhóm thương 52
5. Đồng cấu nhóm 54
5.1 Đònh nghóa 54

2.2 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một vành con) 73
2.3 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một trường con) 73
3. Ideal - Vành thương 74
3.1 Đònh nghóa 74
3. 2 Ideal chính 75
3. 3 Vành thương 75
4. Đồng cấu vành 76
4.1 Đònh nghóa 76
4.2 Các tính chất của đồng cấu vành 77
4.3 Đònh lí ( cơ bản của đồng cấu vành) 78
4.4 Hệ quả 78
4.5 Đặc số của vành 78
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 5 -
5. Các đònh lí nhúng đẳng cấu 78
5.1 Đònh lí (nhúng đẳng cấu một vò nhóm) 78
5.2 Đònh lí ( nhúng đẳng cấu một vành nguyên) 80
6. Số học trên vành nguyên - Vành chính - Vành Euclide - Vành Gauss 82
6.1 Các đònh nghóa 82
6.2 Các tính chất 83
6.3 Vành chính 84
6.4 Đònh líù 84
6.5 Đònh lí 85
6.6 Vành Euclide 86
6.7 Đònh lí 86
6.8 Thuật tóan tìm ƯCLN 86
6.9 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa) 87
6.10 Đònh lí 88
6.11 Đònh lí 89

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 6 -
1.1 Lát cắt hữu tỉ 112
1.2 Các quan hệ trên 3

112
1.3 Phép cộng 113
1.4 Phép nhân 113
2. Trường số phức 113
2.1 Xây dựng số phức 113
2.2 Đònh lí (d' Alermbert) 115
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 7 -
CHƯƠNG 1:
ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ.
1.1 Tập hợp.

• Tập hợp là một khái niệm ban đầu. Tập hợp được mô tả như một tòan thể nào
đó bao gồm những đối tượng nào đó có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất
đònh. Các đối tượng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Ta thường kí hiệu các tập hợp
bằng các chữ cái A, B, X, Y còn các phần tử của chúng bằng các chữ cái nhỏ a,
b, x, y… Có hai cách để xác đònh một tập hợp, một là liệt kê ra tất cả các phần tử
của nó, A = {a
1
,a
2
,…a

3}.

• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp B thì ta nói A nằm
trong B, hay B chứa A, hay A là tập con của B , và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B
A.
⊃

trong các tập hợp A
và được kí hiệu là B = A
VÍ DỤ:
∪
[0, 1 –

• Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất
một trong các tập hợp đã cho. Hợp của hai tập hợp được kí hiệu là A
∪ B. Hợp của
họ các tập hợp {A
} là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một
α
α
∪
α

α
∞
•
=
1n
n


] = {0}
1
B A A

• Hợp và giao các tập hợp có các tính chất

1) A
= B∪
∩
B = B
∩
A (Giao hóa∪ n)
2) A
(B C) = (A B) C A∪ ∪ ∪ ∪
∩
(B
∩
C) = (A
∩
B)
∩
C (Kết hợp)
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 8 -
3) A A ) = (A A ) A∩ (
α α α
∪
α
∪ ∩

mọi cặp (x,y) ở đây x
∈
A và y
∈
B, và được kí hiệu là A
×
B.
Tích D sca tes của ï các tập hợp {A
} là một tập hợp gồm các họ
e r ho

α
I.∈α

(a
α
)
I.∈α
,

với a
α
∈
A
α

với mọi
α
∈
I, và được kí hiệu là

tương ứng một phần tử x
∈
X với duy nhất một phần tử y
∈
Y . X được gọi là tập
nguồn hay miền xác đònh còn Y là tập đích hay miền giá trò. Phần tử y được gọi là
ïo
ø Y. Tập hợp f
: x
ủa tập hợp U qua ánh xạ f
–
X (
ảnh của x, còn x được gọi là ta ảnh của y qua ánh xạ f, khi đó ta viết y = f(x). Để
chỉ một ánh xa từ X vào Y thường dùng kí hiệu

f : X
→
Y, x
a
y = f(x)
Cho ánh xạ f : X
Y và U, V lần lượt là các tập con của X va
•
(U
→
) = {f(x)
∈
U} được gọi là ảnh c , còn tập hợp f
1
(V) = {x

⎨
⎧
∩⊂∩
∪=∪
)B(f)A(f)BA(f
)B(f)A(f)BA(f

A, B
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 9 -
U, V ⊂ Y
⇒

fUV fU fV
fUV fU f
−−−
−−−
∪= ∪
⎧
⎨
⎩
111
1 1
()()()
()( V
∩= ∩
1
)()


và f
2
: X
2

→
Y
2
được gọi là bằng nhau nếu X
1
= X
2
và
f
1
(x) = f
2
(x) với mọi x
∈
X
1
, khi đó ta viết f = f .

• Cho hai ánh xạ f : X
→
Y và g : Y
→
Z . Hợp của f với g, ký hiệu là gof, là ánh
xạ từ X vào Z, được xác đònh bởi (gof)(x) = g(f(x)). Nếu h : Z
→

–1
= id
Y
. Ta cũng có thể dễ kiểm
. Hiển nhiên rằng f
–1
o f = id
X
và f
tra rằng, nếu f : X
→
Y, g : Y
→
Z là các song ánh thì f
–1
: Y
→
X, (g o f) : X
→
Z cũng là các song ánh và (g o f)
–1
= f
–1
o g
–1
.
1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được
Nếu có một song ánh f : X
→
Y từ tập hợp X vào tập hợp Y thì ta nói X và Y có

nếu n <
0.
1.4 Quan hệ hai ngôi.
• Quan hệ (hai ngôi) trên tập l ø moX a ät tập con R của X
×
X. Nếu cặp phần tử (x,
à viết x R y.
co a
y)
∈
R thì ta nói x có quan hệ R vơi y, v

M hệ R trên tập X được gọi là ù tính ch át• ột quan

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 10 -
1) phản xạ nếu x R x, x
∀
∈
X
ùng nếu x R y
y R x.
x R y và y R z x R z.
ûn xạ, không đối xứng,
phả
1.5 Quan hệ tương đương.
2) đối xư
⇒
3) phản xứng nếu x R y và y R x

của X được gọi là một lớp tương đương của x (modulo R)
và được kí hiệu là [x]
, h ặc [x , h
R
x
hoặc
∧
x
. Mỗi phần tử của [x] được gọi
là một đại diện của [x
,
R
]
R
.

• Tập hợp
R
X
:= { [x] : x
∈
X } được gọi là tập thương của X đối với quan hệ
tương đương R . Ánh xạ
π
: X →
R
X
,
π
(x x], là một ) = [ tòan ánh và được gọi

∈

modulo n của x , và thường được í h ệu
9 }.
a lớp (hay phân hoạch)
của
1) X

} cacù tập con của X gọi là một ph ân
• Một họ P = {X
I∈α
α
X nếu
α
≠
∅
,
∀

α

∈
I.

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 11 -
2) X =
I∈α
∪ X

∈
X× X : tồn
tại X
α
∈
P để x, y
∈
X
α
} là một quan hệ tương đương trên X, và P =
)P(R
X
.

Chứng minh:
a) Giả sử R là một quan hệ tư n đương ong Xơ g tr .
Vì nếu x thuộc X thì x thuộc [x] nên [x] ≠ ∅ và X =
Xx
∈
∪
[x]. •
• Nếu [x]
∩ [y] ≠ ∅, tức là tồn tại z
∈
[x]
∩
[y]. Khi đó zRx và zRy. Vì vậy xRy (do
tính đối xứng và bắc cầu của R). Từ đó, [x]= [y].

b) Giả sử P = {X

.
Như vậy, X
α
∩ X
β
≠ ∅ và do P là phân lớp của X nên X
α
= X
β
. Từ đó, x, z
thuộc X
α
= X
β
, tức là x R(P) z. Điều này suy ra tính bắc cầu của R(P).

• Ta có nhận xét rằng, nếu x
∈
X
α
thì [x]
)P(R
= X
α
. Thật vậy, nếu lấy bất kì y
ì y R(P) x nê àn i X
thuộc [x]
)P(R
th n to tạ
β


• NH
a) thì với mọi x, y thuộc X ta có
ẬN XÉT :
Nếu R là một quan hệ tương đương trong X,

x R y ⇔ [x] = [y] ⇔ x
∈
[y] ⇔ y
∈
[x]

b) Mệnh đề 1.6 cho thấy một sự tương ứng 1 – 1 giữa tập các quan hệ tương đương
trên X và tập các phân hoạch của X.
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 12 -
1.7 Quan hệ thứ tự
• Quan hệ 2 ngôi R trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự không chặt nếu nó có
ác tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu, và được gọi là quan hệ thứ tự
ó chỉ cóù các tính phản xứng và .
quan hệ thứ tự trên X. Hai phần tử a, b
c
chặt nếu n bắc cầu

• Cho R là
∈
X được gọi là so sánh được
ái a
sánh

'' b lớn hơn a ''.
• Tập hợp X được gọi là được sắp thứ tự ( hay được sắp) (chặt, không chặt, bộ
p

≤
, và viết (X,
≤
phận, tòan phần)
).

• Giả sử (X,
≤
) là một tập được sắp. Phần tử a
∈
X gọi là phần tử cực tiểu
(tương ứng: cực đại ) của X khi và chỉ khi nếu có quan hệ
≤
a (tương ứng: x
x
a ) thì kéo theo x = a . Phần tử a
∈
X gọi là phần tử bé nhất ( tương ứng: phần
≥
≤
tử lớn nhất ) của X khi và chỉ khi a
x ( a
≥
x) với mọi x
∈
X.

cực tiểu hoặc có một, hoặc có nhiều. Chẳng hạn: Trong (3

,
≤
) bộ phận ∠ không
0
có phần tử cực đại, đoạn [0, 1] có một phần tử cực đại và chỉ một, đó là 1 đó cũng
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 13 -
là phần tử lớn nhất của [0,1]; trong (∠ – {1}, ξ ) có vô số phần tử cực tiểu, đó là
các số nguyên tố.

d) Nếu (X,
≤
) được sắp thứ tự toàn phần thì X có nhiều nhất một phần tử cực đại,
đó cũng là phần tử lớn nhất của X. Thật vậy, nếu a là phần tử cực đại của X. Lấy
bất kì x thuộc X , vì
là quan hệ thứ tự toàn phần nên ta có x a hoặc a x.
, vì a là cực đại nên suy ra a = x. Vậy, ta luôn có x a với
mọi x

Ta nói một tập hợp X là sắp thứ tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và mọi bộ phận khác
≤ ≤ ≤
Trong trường hợp a
≤
x
≤
∈
X, tức là a là phần tử lớn nhất.


với tập toán tử ∠.
•
tự nhất đò
F(x,y) = x + y, F(x,y) = x.y, F(x,y) = x
*
y, F(x,y) = x ⊥ y, …. Phép toán trong
bằng dấu + được gọi là phép cộng, cái hợp thành x + y lúc này được gọi là tổng
của x và y. Phép toán trong kí hiệu bằng dấu • được gọi là phép nhân, cái hợp
thành x • y (đôi khi cũng được

• VÍ DỤ:
a) Trên 9 các ánh xạ (x
a a
th
a
toán trong trên 9. Tuy nhiên ánh xạ (x,y)
a
x
y
không phải là phép toán trên
nói chung x
y
khôn

b) Trên P(X) = {A : A ⊂ X }, các ánh xạ (A, B)
a
A ∪ B, (A, B)
a
A B

i

*
x
j
.
::::::
::::::
x x x
ột phép toán
*
trên một tập hữu hạn X = {x
1
, x
c
bên trên và bên trái của bảng, dấu
*
của phép toán được đặt ở góc trái phía tr
T

nj1*
n*1j*11*11
xx xx xxx

n*ij*i1*ii
xx xx xxx

n*nj*n1*nn
xx xx xxx


c,

• Tính phân phối : Giả sử ⊥ là một phép toán khác trên X. Khi đó phép
toán
*
được gọi là

a
∀
a, b, c X
∈
b) phân phối phải đối với ⊥ nếu (b ⊥ c)
*
a = b
*
a ⊥ c
*
a,
∀
a, b, c
∈
X
c) phân phối đối với phép toán ⊥ nếu nó phân phối trái lẫn phân phối phải.

• T
được gọi là thỏa mãn
) luật giản ước trái nếu với mọi a, b, c
hỏa luật giản ước : Phép tóan
*


2
), không kết hợp ( (2
1
)
2
≠ 2
)1(
2
).

2) Trong tập hợp các ánh xạ từ X vào X, phép toa
okhông giao hoán ( nếu X c ù nhiều hơn m ät phần tử
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 15 -
2.3 Các phần tử đặc biệt
ối với phép toán
*
nếu e
*
a = a
*
e = a, với mọi a X.
ïc gọi
X nếu a'
*
a = e
đảo phải của x
X nếu a
*

*
e = a, với mọi a
∈
X.
– phần tử đơn vò đ
∈

• Giả sử e là phần tử đơn vò đối với phép toán
*
trên X. Phần tử a'
∈
X đươ
là

– nghòch đảo trái của x
∈
– nghòch
– nghòch
∈
đảo của x
∈
X nếu a'
*
a = a
*
a' = e

CHÚ Ý: •
1) Nếu đối với phép toán
*

2
, ⊥
2
, , Y
m
, ⊥
m
) bao gồm tập hợp X khác
, các phép tóan trong T
i
trên X ( 1
ột bộ (X, T
1
, T
2
, ,T
n
; Y
1
, ⊥
1
, Y
≤
i
≤
n), các phép tóan ngòai ⊥
j
trên X với
∅
tập tóan tử Y

các tập toán tử. Khi đó ánh xạ f : X
X' được gọi là một đồng cấu giữa hai cấu
úc đại số này nếu :
'
i
f(b), với mọi a, b
và (X ', T'
1
, T'
2
, ,T'
n
; Y
1
, ⊥'
1
, Y
2
, ⊥'
2
, , Y
m
, ⊥'
m
) là hai
cùng số lượng các phép toán trong, có cùng số lượng các phép toán ngòai với cùng
→
tr

a) f(a T

*
có tính kết hợp, có phần tử đơn vò, và mọi phần tử của X
ò nhóm (X, • ) cũng được gọi là phần tử đơn vò
thì vành (X, +. • ) được gọi là vành
o .
) là một vành, nó có thể xảy ra trường hợp rằng, tồn tại các phần tử a,
hoán, không có
miền nguyên.
ần tử khác 0 dều có nghòch đảo đối với phép toán • .

Cấu trúc đại số (X,
), trong đó là phép toán trong trên X, được gọi là
•

a) nửa nhóm nếu phép toán
*
có tính chất kết hợp.
b) vò nhóm nếu phép toán
có tính kết hợp, có phần tử đơn vò
) nhóm nếu phép toán c
đều có nghòch đảo.

Nếu phép toán
*
có tính giao hoán thì (X,
*
) được gọi là nhóm ( vò nhóm, nửa
nhóm) giao hoán.

• Cấu trúc đại số (X, +, • ), trong đó + và • là hai phép toán trong trên X, được gọi

đ
được gọi là một modul

a) (M, +) là một nhóm giao hoán.
b) Phép toán ngòai • thỏα α α
α

∈
A, với mọi x,y
∈
M.

)x = x) với mọi
ii) (
α
+β)x =
α
x + βx
(
α
β
α
(β
α
,
β
∈

2. Cho X, Y là hai tập con của Z, hãy chứng tỏ

1) Z – X ⊂ Z – Y ⇔ Y ⊂ X
2) (Z –Y) ∪ Y = X ⇔ Y ⊂ X

n
3. Chứng minh rằng : (
1
k
=
∪
A
k
) –
1
n n
1
k
=
∪
k
=
∪
B
k
) ⊂ (( (A
k
– B
k
).

tập hợp còn lại.

6. Cho n
0
là một số tự nhiên. Xét tính đơn ánh, tòan ánh, song ánh của ánh xạ

→

⎩
+ nn
0
khi
0
nn ≥
⎨
⎧
khi

0
<

. Cho f : X
Y, g : Y Z là các ánh xạ và h = go f là hợp của f
h
) Nếu h đơn ánh và f tòan ánh thì g đơn ánh.
òan ù ø tòan ánh.
n án ánh thì f tòan ánh.
2
: A X, hãy chứng minh
) Nếu f đơn ánh và f o g

1
, g
2
mà từ fo g
1
= fo g
2
kéo theo g
1
= g
2
, thì f là đơn ánh.
Y và g
1
, g
2
: Y A, hãy chứng minh
ø g
1
o f = g
2
o f thì g = g‘.
) Nếu với mọi g
1
, g
2
mà g
1
o f = g
2

E, từ xRy và yRz kéo theo zRx. Chứng tỏ R là một quan hệ tương
đương.

14. Cho E là một tập hợp, R là một quan hệ phản xạ và bắc cầu trong E.
S là một quan hệ trong E xác đònh bởi x S y ⇔ (xRy và yRx). Chứng tỏ R là một
quan hệ tương đương.

14. Cho ánh xạ f : 3
3

, f(x) = x
2
– x. Trên 3

xác đònh một quan hệ S như sau x
Sy ⇔ f(x) = f(y). Chứng tỏ R là một quan hệ tương đương, và xác đònh lớp tương
đương chứa phần tử x: [x]
S
.

15. Cho một đơn ánh f : X
∠. Trên X xác đònh một quan hệ R như
sau xRy ⇔ f(x)
f(y). Chứng tỏ R là quan hệ thứ tự toàn phần.

16. Xét tính kết hợp, giao hoán, tồn tại phần tử đơn vò trái - phải của
phép toán
*
trên tập hợp X.
1) a

ba

khi
khi

0b
0b
<
≥
22
ba + , X = (0, +
∞
).

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 20 -
4) a
*
b = a + b – ab, X = 3

5) a
*
b = e
x + y
, X = 3 7. Cho X là một tập hợp mà trên đó có hai phép toán trong
*Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 21 -
CHƯƠNG 2:
SỐ HỌC TRÊN 9
1. Số tự nhiên
1.1 Xây dựng số tự nhiên

•
a
Ta xây dựng tập số tự nhiên bằng phương pháp tiên đề, đó là tập hợp ∠ cùng với
ùnh xạ
σ : ∠
→
∠ thỏa mãn các tiên đề (gọi là tiên đề Peano) sau đây :

1) Có một phần tử kí hiệu là 1
∈
∠ .
)
σ : ∠
→
+
:= {n
∈
∠ : n ≠ 1} là một song


σ σ
σ
(3) = 4,
σ
N
(4) = 5, …

• NHA
u
ÄN XÉT:
a) Nếu ta kí hiệ
σ
(n) bằng n và hình dung n như là '' phần tử đứng liền sau
hì tiên đề 2) nói rằng:
c 1 đều đứng liền
q ột số tự nhiên.
nạp.
ếu muốn chứng minh một tính chất E nào đó đúng với mọi số tự nhiên, thì trước
n ó đúng cho số tự nhiên 1, sau đó chứng minh nó đúng
ho số n
+
( số đứng liền sau số n ), với '' giả thiết qui nạp'' rằng tính chất E đúng
= n
+ +
phần tử n '' t
- σ(n) ≠ 1, n, tức là, số 1 không đứng liền sau bất kì số tự nhiên nào.
+
-
∀

ới mọi n m
b) n + m
= (n + m) v ,
∈
∠ .
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 22 -

• Để đònh nghóa phép cộng được đúng đắn, cần phải chỉ ra rằng tổng của hai số tự
hiên tồn tại và được xác đònh duy nhất.

Sự t
n
ồn tại. Đặt S = {n
∈
∠ :
∀
m
∈
∠, ∃ ánh xạ (n,m) n + m thỏa a) và b)}
Với n = 1, đặt 1 + m = m
+
thì rõ ràng rằng 1
a
-
∈
S.
n
+

nếu ta đặt

n
+
+ 1 = (n + 1)
+
= (n
+
)
+
và n
+
+ m
+
= (n

+ m
+
)
+

- Từ đó, n
+

∈
S, và theo tiên đề 3) thì S = ∠ .

Sự duy nhất. Giả sử còn có phe )
a
n

+
, suy ra m
+

∈
S. Từ đó, theo tiên đề 3) ta có S = ∠.

• NHẬN XÉT Trong chứng minh sự tồn tại của phép toán +, người ta đã đònh
nghóa 1 + m := m
+
.

1.3 Đònh lí
(∠, +) là nửa nhóm giao hoán, thỏa luật giản ước.

Chứng minh:
• Tính kết hợp: Đặt S = {k
∈
∠ : m + (n + k) = (m + n) + k
∀
n, m
∈
∠
, vì m + (n + 1) = m + n
+
= (m + n)
+
= (m + n) + 1.
iả sử k
S,

∠ : m + n = n + m,
∀
n
∈
∠}
iả sử m
S,
Suy
+
ó S = ∠ .

m
+
, từ đó n = m.
iả sử k
S và n + k
+
= m + k
+
Ta có 1
∈
S, vì 1 + n = n
+
= n + 1
G
∈
khi đó n + m
+
= (n + m)
+

n + k = m + k n = m

⇒

⇒
Suy ra k
+

∈
S. Từ đó S = ∠ .

1.4 Phép nhân trên ∠

• Phép nhân trên ∠ là ánh xạ (n, m)
a
n • m thỏa mãn các tính chất sau :

a) n • 1 = n với mọi n
∈
∠
b) n • m
+
= n • m + m với mọi n, m
∈
∠

• Để đònh nghóa phép nhân được đúng đắn, cần phải chỉ ra rằng tích của hai số tự
át. Điều này được làm bằng cách tương tự
hư đã làm đối với phép cộng.
nhiên tồn tại và được xác đònh duy nha

x < a
*
y với mọi a X.
và X được gọi là nhóm (vò nhóm, nhóm) sắp thứ tự mạnh nếu thêm tính chất

< a
*
y kéo theo x < y, với mọi a X.
rằng m lớn hơn n và viết > n, khi đó ta cũng nói
. Nếu m lớn hơn hoặc bằng n thì viết m
≥
n
m
viết n
≤
m

• Các quan hệ
≤
, < là các quan h thứ tự trên tập

Ta nói một nửa nhóm (vò nhóm, nhóm) (X, •
thứ tự (bộ phận, tòan phần, tốt, chặt, không chặt) nếu trên tập X đã xác đònh một
quan hệ thứ tự (bộ phận, tòan phần, tốt, chặt, không chặt), < , sao cho

∈

từ x
*
a < y

≤
Tr
∈
S, thật vậy, nếu m =1 thì điều đó là rõ ràng, nếu m ≠ 1 thì m =
k
+
= k +1 với k
∈
∠ nào đó, tức là 1 < m, từ đó 1
∈
S.
Giả
ả năng xảy ra :
Nếu n = m thì n
+
= m + 1, từ đó m
sử n
∈
S. Có ba kh
≤
n
+
, tức là n
+

∈
-
S.
- Nếu n < m thì m = n + k với k
∈

+
, tức là n S.
+
∈
tư
Tóm lại, trong mọi trường hợp đều có n
+
∈
S. Vậy theo tiên đề 3) thì S = ∠.

• Sắp thứ tự tốt: Với mọi A ⊂ ∠, đặt S = {a
∈
∠ : a
≤
x với mọi x
∈
A }
Trước hết ta có 1
∈
S và S ≠ ∠ ( vì nếu x
∈
A thì do x
+
> x nên x
+
S).
∉
Ta luôn tìm được một số b
∈
S sao cho b

∉
S. Như vậy, ta đã chỉ ra rằng,
àn t
x với mọi x
ại số b
A sao cho b
∈
≤
∈
A, nghóa là b là phần tử bé nhất của A.
to

Sắp thứ tự mạnh: Ta sẽ chứng minh các khẳng đònh sau •

a
≤
b ⇔ a + c
≤
b + c , với mọi c

∈
∠
a
b ⇔ ac bc , với mọi c

≤ ≤
∈
∠
Giả sử a
b. Nếu a = b thì rõ ràng a + c = b + c, ac = bc. Nếu a < b thì ta có b = a

•
đưa vào một quan hệ tương đương như sau:

(m, n) ~ (p, q) ⇔ m + q = n + p.
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 25 -

là tập thương của ∠ x∠ đối
ới quan hệ ~ . 9 được gọi là là tập các số nguyên, mỗi phần tử cuả nó gọi là một
• Ta kí hiệu [m, n] là lớp tương đương của (m,n) và 9
v
số nguyên.

2.2 Phép cộng

• Phép cộng giữa hai số nguyên [m, n] và [p, q] được xác đònh bởi

[m, n ] + [p, q] = [m + p, n + q]

• Để đònh nghóa được hợp lí, cần phải chỉ ra rằng đònh nghóa trên không phụ thuộc
vào việc chọn đại diện của [m, n]và [p, q], tức là phải chứng minh rằng, nếu (m, n)
~ (m', n') và (p, q) ~ (p', q') thì (m + p, n + q) ~ (m' + p', n' + q'). Thật vậy, theo đònh
hân
nghóa: m + n' = n + m' và p + q' = q + p',
từ đó, (m + p) + (n' + q') = (n + q) + (m' + p'). Lại từ đònh nghóa suy ra điều phải
chứng minh.

2.3 Phép n
v