TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC
CANH - CẠNH - CẠNH (C - C - C )
Bài 1 :
Tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằmảtong tam giác sao cho MB = MC; N
là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh :
a . AM là tia phân giác của góc BAC;
b . Ba điểm A, M, N thẳng hàng .
c . MN là đường trung trực của đoạn BC .
Bài 2 : Cho tam giác ABC = A’B’C’. Gọi M là trung điểm của BC, M’ là trung điểm của
B’C’. Biết AM = A’M’. Chứng minh :
a . Tam giác AMB = A’M’B’
b . Góc AMC = A’M’C’.
Bài 3 : Cho tam gíc ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính bằng AB, cung tròn tâm B bán kính
bằng AC. Hai cung tròn trên cắt nhau ở D (A và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ
BC).Chứng minh CD//AB và BD//AC.
Bài 4 : Cho góc nhọn xOy. Trên Ox, Oy lấy tương ứng hai điểm B và C sao cho OA = OB.
Vẽ đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm M, N
nằm trong góc xOy. Chứng minh:
a . Tam giác OMA = OMB và ONA = ONB;
b . Ba điểm O, M, N thẳng hàng
c . Tam giác AMN = BMN;
d . MN là tia phân giác của góc AMB.
Bài 5: Cho tam giác ABC CÓ AB = AC. Gọi H là trung điểm của cạnh BC.
a . Chứng minh AH là tia phân giác của góc BAC và AH vuông góc với BC.
b . Trên tia đối của tia HA lấy điểm K sao cho HK = HA. Chứng minh rằng CK//AB.
Bài 6 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D và E là hai điểm trên cạnh BC sao cho BD=
DE = EC. Biết AD = AE.
a . Chứng minh góc EAB = DAC
b . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE;
c . Giả sử góc DAE = 60độ. Có nhận xét gì về các góc của tam giác AED?

Chứng minh:
a . OC = OD, OE = OF;
b . Ba điểm C, O, D thẳng hàng, ba điểm E, O, F thẳng hàng;
c . ED = CF.
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A và B nhưng không trùng với
trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB kẻ hai tia Ax, By
cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy hai điểm M, M’, trên tia By lấy hai điểm N, N’ sao
cho AM = BC, BN = AC, AM’ = AC, BN’= BC
a . Chứng minh MC = NC, AN = BM’, AN’ =BM.
b . Chứng minh AN//BM’ và AN’//BM;
c . Chứng minh rằng MN’ và M’N cắt nhau tại trung điểm O của đoạn thẳng AB.
Bài 8: Cho tam giác ABC có Â<90độ. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ
tia Ax, trên đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm
B, vẽ tia Ay, trên đó lấy điểm E sao cho AE = AC.
a . Chứng minh BE = CD;
b . Chứng minh BE vuông góc với CD;
c . Các đường thẳng AC và ED có thể vuông góc với nhau được không? Các kết quả trên
còn đúng hay không nếu Â>90độ?
Bài 9: Cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc với BC(H
∈
BC).Gọi M là trung điểm của
cạnh BC. Biết AH, AM chia góc ở đỉnh A của tam giác thành ba góc bằng nhau. Tính các
góc của tam giác ABC.
Bài 10: Cho tam giác ABC có Â = 90độ . Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D.
Trên cạnh BC lấy điiểm H sao cho BH = BA.
a . Chứng minh DH vuông góc với BC;
b . Biết góc ADH =110độ , tính góc ABD.
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC
GÓC-CẠNH-GÓC (G-C-G)
Bài 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AB, Đường thẳng kẻ qua D và song

a. Chứng minh rằng DE = BD + CE;
b. Kết quả ở câu a thay đổi thế nào nếu B, C nằm khác phía đối với xy?
Bài 5: cho tam giác ABC có Â = 90 độ và AB=AC. Trên các cạnh AB,AC tương ứng 2 điểm
D và E sao cho AD=AE. Từ A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC tại M và N. Tia ND
cắt tia CA ở I. Chứng minh:
a. A là trung điểm của CI;
b. CM=MN.
Bài 6: Cho tam giác ABC có Â = 90 độ, M là trung điểm cua cạnh BC . Trên AM lấy điểm
N sao cho M là trung điểm của AN. Chứng minh:
a. CN = AB và CN // AB
b. AM =
1
2
BC.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C và AF
⊥
AB và
AF = AB , trên nửa mặt phẳng bờ AC không chúa điểm B vẽ AH
⊥
AC và AH = AC. Gọi
D là trung điểm của cạnh BC, I là một điểm trên tia đối của tia DA sao cho DI = DA. Chứng
minh:
a. AI = FH;
b. DA vuông góc với FH
Bài 8: Cho tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC. Vẽ điểm F
sao cho E là trung điểm của DF, Chứng minh rằng:
a. BD = CF;
b. DE // BC và DE =
1
2

thuộc cạnh AC sao cho AM = AN C Chưng minh rằng MN // BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cua AC , N là trung điểm của AB.
Chứng minh rằng BM = CN.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao
cho AH = AK. Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng tam giác OBC là tam
giác cân.
Bài 5: Vẽ lại hình 59 vào vở rồi đặt bài toán vẽ tam giác để có hình 59
Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia dối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BA lấy
E sao cho BE = BC. Chưng minh rằng BD // EC.
Bài 8: Tính số đo góc của tam giác ACD trên hình 60.
Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo
góc BCD.
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy
BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ
tự F và E. Tính tổng DE + DF.
Bài 11: Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC,
CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DÈ là tam giác đều.
Bài tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đưòng thẳng
song song vơíư BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D E.
Chứng minh rằng DE = BD + CE.
Bài 12: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn,
tính số đo góc AMB.
Bài 13: Đặt đề toán theo hình 61. Sau đó vẽ lại hình theo đề toán rồi đo góc DAE.
Bài 14: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy kẻ ô vuông ( h.62) là tam giác nhọn.
ĐỊNH LÝ PY-TA-GO
Bài 1: Tính cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13cm, cạnh góc
vuông kia bằng 12cm.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính chu vi tam giác ABC biết

Tính các cạnh của tam giác vuông đó.
Bìa 15: Cho tam giác ABC. Biết BC = 52cm, AB = 20cm, AC = 48cm.
a. A là trung điểm của DE;
b. Góc DHE = 90độ
Bài 15: Cho tam giác ABC có Â = 90độ, AB = 8cm, BC = 17cm. Trên nửa mặt phẳng bờ
AC không chứa điểm B, vẽ tia CD
⊥
AC và CD = 36cm. Tính tổng độ dài các đoạn thẳng
AB + BC + CD + DA.
Bài 16 : Từ điểm O tuỳ ý trong tam giác ABC, kẻ OA1, OB1, OC1 lần lượt vuông góc với
các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho bd = CE. Kẻ BH
⊥
AD ( H
∈
AD ), kẻ CK
⊥
AE ( K
∈
AE). Chứng
minh rằng :
a. BH = CK
b. Tam giác AHB = AKC
c. BC song song với HK.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân ở A , Â = 90độ. Kẻ BD
⊥
AC ( D
∈

AC ( H
∈
AC), CK
⊥
AB ( K
∈

AB) .
a. Chứng minh rằng : AH = AK
b. Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Bài 8 : Tìm các tam giác bằng nhau trên hình 148:
CHƯƠNG III
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
QUAN HỆ GIỮA CÁC GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
BT1: Chứng minh định lý : “ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn
hơn”
BT2 : Cho tam giác ABC có AB<AC,phân giác AD. Chứng minh rằng :
a.
ABC
∠
>
ADC
∠
b. BD < DC
BT3 : Trong một tam giác đối diện với cạnh nhỏ nhất là loại góc nào ( trong các góc nhọn,
vuông, tù )? Tại sao?
BT4 : Cho tam giác ABC, có
B∠
> 90

BT10: Cho tam giác ABC có 90
0
<
B∠
< 135
0
,
C
∠
< 45
0
. Kẻ AD vuông góc với BC.
Chứng minh rằng : BD < AD < CD.
BT11: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điẻm E, trên tia đối của tia CA
lấy điểm D sao cho BE = CD. Từ C kẻ Cx // DE, từ E kẻ Ey // CD. Hai tia Cx và Ey cắt nhau
tại F. So sánh BC và CF.
BT12: Cho tam giác vuông ABC, Â = 90
0
. Chứng minh rằng
C
∠
= 30
0
khi và chỉ khi AB =
1
2
BC.
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN,
ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
BT1: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E

. Vẽ cung tròn tam A bán kính 14cm. Chứng tỏ rằng cung tròn này cắt đường
thẳng BC tại hai điểm mà một điểm nằm giữa B và C, điểm còn lại nằm ngoài đoạn thẳng
BC,
BT8: Cho tam giác vuông ABC,
C
∠
= 90
0
, kẻ CH
⊥
AB. Trên các cạnh AB và AC lấy
tương ứng hai điểm M và N SAO CHO BM = BC và CN = CH.
Chứng minh rằng:
a. MN
⊥
AC
b. AC + BC < AB + CH.
QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
BT1: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: AM + BM < BC + AC.
BT2: Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng :
2
AB BC CA+ +
< OA + OB + OC < AB +BC + CA.
BT3: Tính chu vi của tam giác cân ABC, biết :
a. AB = 8cm, AC = 13cm
b. AB = 5cm, AC = 12cm
BT4: Cho tam giác ABC, biết AB = 3cm, AC = 7cm. Tính độ dài cạnh BC, biết độ dài này là
một số nguyên ( cm ) và là một số nguyên tố. Tam giác ABC là tam giác gì?
BT5: Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng:
2

4
chu
vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác đó.
BT4: Cho tam giác ABC vuông tai A, trung tuyến AM. Chứng minh rằng : AM =
1
2
BC.
BT5: Tam giác ABC có trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng tam giác
ABC vuông tai A.
BT6: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau tại O. Trên tia x’x lấy ba điểm A, B, C sao
cho OA = AB = BC, tren y’y lấy ba điểm E, M, N sao cho OE = OM =MN. Chứng minh
rằng ba đường thẳng AE, BN, và CM cùng đi qua một điểm.
BT7: Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nahu tại O. Chứng minh
rằng 6 tam giác OAE, OEC, OCD, ODB, OBF,OFA có diện tích bằng nhau.
BT8: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 5cm, BC = 13cm. Ba đường trung tuyến AM,
BN, CE cắt nhau tại O.
a. Tính AM, BN, CE
b. Tính diện tích tam giác BOC
BT9: Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ E kẻ đường thẳng song
song với AD cắt tia ED tại I.
a. Chứng minh IC // BE
b. Chứng minh rằng néu AD
⊥
BE thì tam giác ICF là tam giác vuông.
c. So sánh các cạnh của tam giác ICF với các trung tuyến của tam giác ABC.
TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
BT1. Cho ABC. Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và C và
tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.
BT2. Chứng minh rằng : tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác thì tam

b. Gọi N’ là giao điểm của AN với BN. Chứng minh BN’ <AN’
BT2. Cho điểm M nằm trong góc XOY. Vẽ các điểm A và B sao xcho Ox là đường
trung trực của MA, Oy là đường trung trực của MB. Chứng minh O là trung điểm
của đoạn AB và tam giác AMB là tam giác vuônng
BT3.Cho ABC cân tại A, có A=40. Đường trung trực của AB cắt BC ở D
a. Tính góc CAD
b. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM=CD. Chưng minh BMD là tam
giác cân
BT4. Chứng minh rắng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm
của cạnh huyền.
BT5. Cho ABC có góc A=120. Đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I cắt
cạnh BC lần lượt ở D và E
a. Các tam giác ABD và ACE là tam giác gì?
b. Tính góc BIC
BT6. Cho ABC cân tại A. Trên tia đói của BC lấy điểm D sao cho BD=BA, trên tia
đói của CB lây điểm E sao cho CE=CA. Kẻ trung tuyến BM của tam giác ABD,
trung tuyên CN của ACE. BM cà CN cắt nhau ở O. Chứng minh AO vuông góc
DE.
BT7. Cho ABC. Hãy tìm trên cạnh AB một điểm B,tren cạnh BC một điểm E sao
cho BD=DE=EC.
BT8. Cho góc xOy cố định( xOy # 180). Trên Ox lấy điểm M, trên Oy lấy điểm N
sao cho OM+ON=m không đổi. Chưng minh răng đường trung trực của MN luôn
luôn đi qua một điểm cố định khi M,N thay đỏi trên Ox ,Oy.
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
BT1: Cho tam giác ABC, vuông ở A,đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BH , E là
trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng CF
⊥
AD, BF
⊥
AE.

2
BC. Chứng minh :
a. IN = IP
b. MN = AP
c. MN
⊥
AP
BT7: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I và J lần lượt là
giao điểm các phân giác của tam giác ABH, ACH, E là giao điểm của đuờng thẳng BI với
AJ. Chứng minh rằng :
a. Tam giác ABE là tam giác vuông;
b. IJ
⊥
AD
BT8: Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều ABE và ACF. Gọi
I là trung điểm của BC, Hlà trực tâm của tam giác ABE. Trên tia đối của tia IH llấy điểm K
sao cho HI = IK. Chứng minh rằng :
a. Tam giác AHF = CKF
b. Tam giác KHF là tam giác đều
ÔN TẬP CHƯƠNG III
BT1: Cho tam giác ABC, AB > AC. Trên tia phân giác của góc A lấy điểm D tuỳ ý. Chứng
minh: AB – AC > BD – CD
BT2: Cho tam giác đều ABC . Trên tia đối của các tia CB , AC, BA lấy tương ứng các điểm
M, N, P sao cho CM = AN = BF = AB. Chứng minh:
a. Tam giác MNP là tam giác đều
b. Hai tam giác MNP và ABC có chung trọng tâm
BT2: Cho đường thẳng xy và hai điểm A và B nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng xy. Hãy tìm trên đường thẳng xy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC là
nhỏ nhất
BT3: Cho tam giác ABC, Â = 30

BE.
BT7: Cho tam giác ABC. VẼ hai điểm E và F sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của DE,
CF. Gọi giao điểm của EF với AB, AC theo thứ tự là K và I. Chứng minh rằng : Ba đường
thẳng AD, BI, CK đồng quy tai một điểm.
BT8:Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Biết ID = IE. Chứng
minh rằng hoặc tam giác ABC cân ở A hoặc
0
60BAC∠ =
BT9:
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = BA và CE
= CA.
a. Chứng minh rằng giao điểm I các phân giác của tam giác ABC là giao điểm các
đường trung trực của tam giác DEF
b. Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác ABC. Tính DE theo m
c. Tính
∠
DIE
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
BT1:Cho tam giác cân ABC, Â = 110
0
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao biết
0
105ADC∠ =
. Từ
C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở E. So sánh các cạnh của tam giác ACE, tam
giác BEC
BT2: Cho tam giác ABC có A <
∠
B <
∠

0
60B∠ ≤
Với điều kiện nào của tam giác ABC thì
0
60B∠ =
BT6: Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE
và ACF vuông ở B và C. Trên tia đối của AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh :
a. Tam giác ABI = BEC
b. BI = CE và BI vuông góc với CE
c. Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm
BT7: Cho tam giác ABC vuông ở A, có
B
α
∠ =
. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
1
3
EBA
α
∠ =
. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. Chứng minh tam giác
CED là tam giác cân.
BT8: Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng :
2
( )
3
HA HB HC AB AC BC+ + < + +
BT9: Một tam giác có cạnh nhỏ nhất bằng 1cm, góc nhỏ nhất bằng 45
0
. Tính diện tích của