ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
NGUYỄN THỊ HOA
PHƯƠNG TRÌNH GAUSS-CODAZZI
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Bộ môn : Hình học vi phân
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Cán bộ hướng dẫn
PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG
Huế, tháng 05 năm 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường Đại học, được sự
dìu dắt dạy dỗ của các Thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức cơ
bản hữu ích và quan trọng. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quả
quan trọng của quá trình học tập và rèn luyện đó.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo khoa Toán - Trường Đại học
Sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có những kiến thức khoa học cũng như
tạo điều kiện cho tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình. Khóa
luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TS
Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn
sâu sắc nhất.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã
quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian qua.
Xin chân thành cảm ơn!
Huế, tháng 05 năm 2011
NGUYỄN THỊ HOA
ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i

mặt đều liên quan đến hai dạng toàn phương này, trong đó có độ cong Gauss.
Trong thực hành, chúng ta thường tính độ cong Gauss thông qua các hệ số của
dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai.
Liệu có cách nào khác để tính độ cong Gauss và cách tính đó như thế nào. Để
tìm hiểu vấn đề này và được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng tôi
chọn đề tài "Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng".
Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
làm hai chương:
Trong chương I, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị cho
chương II như ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai
Chương II chúng tôi tập trung khảo sát các phương trình Gauss-Codazzi
của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định sự tồn tại của mặt dựa vào các
dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai, tính độ cong Gauss thông qua hệ số dạng cơ
bản thứ nhất của mặt và các đạo hàm của chúng.
Dù đã rất cố gắng song khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận được
hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán đã
tạo điều kiện cho sinh viên thực hiện khóa luận và đặc biệt cảm ơn PGS.TS
Trần Đạo Dõng đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận
này.
1
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan đến việc
nghiên cứu chương II như mặt chính qui, ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng
cơ bản thứ nhất, thứ hai, Các kiến thức được tham khảo từ tài liệu [3], [4].
1.1 Mặt trong không gian R
3
Cho U là một tập mở trong R

, v
0
) được gọi là điểm kì dị.
S được gọi là mặt chính qui nếu mọi điểm đều là điểm chính qui, tức là
{X
u
(u, v), X
v
(u, v)} độc lập tuyến tính với mọi (u, v) ∈ U.
Giả sử mặt S chính qui tại (u
0
, v
0
), khi đó mặt phẳng qua X(u
0
, v
0
) nhận
{X
u
(u
0
, v
0
), X
v
(u
0
, v
0

= (
∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
).
Tương tự, đường tọa độ u = u
0
là v → (x(u
0
, v), y(u
0
, v), z(u
0
, v)) đi qua
p = X(u
0
, v
0
) có vector tiếp xúc là
∂X
∂v
= (
∂x
∂v
,

, p → n(p).
Khi đó ánh xạ n xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên
X(U).
a) Mặt định hướng: Một mặt chính quy S gọi là định hướng được nếu có
một trường pháp vector đơn vị liên tục n xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó
trường vector n được gọi là một định hướng của S. Một mặt chính qui định
hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định n.
Tại mỗi điểm của mặt chính qui, mỗi lân cận của mặt đều định hướng được
bởi trường pháp vector đơn vị n =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
.
b) ánh xạ Gauss: Cho (S, n) là mặt chính qui định hướng trong R
3
.
Do |n(p)| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem n là ánh xạ khả vi từ mặt chính qui S
vào mặt cầu đơn vị S
2
.
ánh xạ n : S → S
2
được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S.
c) Đạo hàm của ánh xạ Gauss: Đạo hàm của ánh xạ Gauss tại p là

định như sau:
Lấy p ∈ S và ω ∈ T
p
S, ta có ω là vector tiếp xúc của một đường tham số khả
vi α : (−ε, ε) → S, tức là ω = α

(0), p = α(0). Xét đường cong β = n ◦ α, ta
có β

(0) ∈ T
p
S. Khi đó Dn
p
(ω) := β

(0).
3
1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình
a) Định thức của tự đồng cấu Dn
p
được gọi là độ cong Gauss K tại p của
S.
b) −
1
2
tr(Dn
p
) được gọi là độ cong trung bình H của S tại p.
Ta có ma trận của Dn
p

1
+ k
2
), K = k
1
k
2
.
Đường chính qui C trên S sao cho tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúc
tại của C là một phương chính của S tại p được gọi là một đường chính.
Điểm p được gọi là điểm eliptic nếu K(p) > 0;
Điểm p được gọi là điểm hypebolic nếu K(p) < 0;
Điểm p được gọi là điểm parabolic nếu K(p) = 0;
Điểm p được gọi là điểm phẳng nếu Dn
p
= 0;
Điểm p được gọi là điểm rốn nếu k
1
= k
2
.
1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai
1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất
Với mỗi không gian tiếp xúc T
p
S, dạng toàn phương I
p
: T
p
S → R.

bản thứ nhất I
p
.
1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai
Xét đạo hàm của ánh xạ Gauss Dn
p
: T
p
S → T
p
S. Khi đó, dạng toàn
phương II
p
(α) = − < Dn
p
(α), α > được gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tại
p.
Ta có biểu thức tọa độ II
p
(α) = L(du)
2
+ 2Mdudv + N(dv)
2
,
4
với L =< n, X
uu
>, M =< n, X
uv
>, N =< n, X

Ta có pháp vector đơn vị n =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
Từ < n, n >= 1, suy ra < n, n
u
>= 0 và < n, n
v
>= 0.
Như vậy n
u
, n
v
∈ T
p
S. Do đó:
n
u
= aX
u
+ bX
v
, n
v


.
Từ −L =< n
u
, X
u
>=< aX
u
+ bX
v
, X
u
>= aE + bF ,
−M =< n
u
, X
v
>=< aX
u
+ bX
v
, X
v
>= aF + bG,
−M =< n
v
, X
u
>=< cX
u

Do đó

a b
c d

= −

L M
M N

E F
F G

−1
. 
Nhận xét: Chú ý rằng

E F
F G

−1
=
1
EG − F
2

G −F
−F E

.

F =< X
u
, X
v
>= 0,
M = − < Dn
p
(X
u
), X
v
>= − < k
1
X
u
, X
v
>= −k
1
< X
u
, X
v
>= 0,
L = − < Dn
p
(X
u
), X
u

2
= −
N
G
.
Ngược lại, giả sử F = M = 0. Với F = 0, ta có < X
u
, X
v
>= 0,
Ngoài ra Dn
p
(X
u
) = aX
u
+ bX
v
và M = 0
Nên 0 =< Dn
p
(X
u
), X
v
>=< aX
u
+ bX
v
, X

Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm, còn ω(u), u ∈ I là các vector trong
R
3
. Mặt tham số
X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và ω. Các đường thẳng đi qua α(u) với vector
chỉ phương ω(u) là các đường sinh và đường cong α(u) là đường chuẩn.
1.5.2 Mặt dẹt
Mặt tham số chính qui X : U → R
3
được gọi là mặt dẹt nếu độ cong
Gauss tại mọi điểm bằng 0.
6
1.6 Các mặt đẳng cự
Chúng ta nói mặt tham số chính qui S đẳng cự địa phương với mặt
tham số chính qui S
∗
nếu với mỗi p ∈ S, tồn tại một tham số hóa chính qui
X : U → S với X(u
0
, v
0
) = p và một tham số hóa chính qui X
∗
: U → S
∗
(U là tập mở trong R
2
) thỏa mãn I
p

Tương tự như các công thức Frénet đối với đường cong, do các vector X
u
, X
v
, n
lập thành một cơ sở trong không gian R
3
nên mọi vector khác đều có thể biểu
diễn qua X
u
, X
v
, n. Đặc biệt ta có:
X
uu
= Γ
u
uu
X
u
+Γ
v
uu
X
v
+λ
1
n (1)
X
uv

••
được gọi là các kí hiệu Christoffel.
Dựa vào các phương trình (1), (2), (3) ta có kết quả quan trọng sau đây:
Mệnh đề 2.1.1 ([4 Section 3, Chapter 2]): Cho S là một mặt chính
8
qui với X : U → S là một tham số hóa địa phương và X
u
, X
v
, n lần lượt là các
vector tiếp xúc và vector pháp đơn vị của S tại điểm X(u, v). Khi đó ta có:
 Các phương trình Gauss:
EK = (Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v

u
uv
− Γ
v
uu
Γ
u
vv
;
F K = (Γ
v
uv
)
v
− (Γ
v
vv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ
v
uv
− Γ
u
vv
Γ
v

− (Γ
u
uv
)
2
.
 Các phương trình Codazzi:
L
v
− M
u
= LΓ
u
uv
+ M(Γ
v
uv
− Γ
u
uu
) − NΓ
v
uu
;
M
v
− N
u
= LΓ
u

X
v
.n + λ
1
Suy ra λ
1
= L.
Tương tự, nhân hai vế của đẳng thức (2) và (3) với n ta được λ
2
= M ,
λ
3
= N.
Nhân các đẳng thức (1), (2), (3) với X
u
và X
v
ta có:
X
uu
.X
u
= Γ
u
uu
X
u
X
u
+ Γ

= Γ
u
uv
E + Γ
v
uv
F,
X
uv
.X
v
= Γ
u
uv
F + Γ
v
uv
G,
X
vv
.X
u
= Γ
u
vv
E + Γ
v
vv
F,
X

X
uv
.X
u
=
1
2
(X
u
.X
u
)
v
=
1
2
E
v
,
X
uv
.X
v
=
1
2
(X
v
.X
v

X
vv
.X
u
= (X
u
.X
v
)
v
− X
uv
.X
v
= F
v
−
1
2
G
u
,
X
vv
.X
v
=
1
2
(X

F
u
−
1
2
E
v

⇒

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=

E F
F G

−1

1
2
E
u
F
u

Γ
u
uv
Γ
v
uv

=

E F
F G

−1

1
2
E
v
1
2
G
u


E F
F G

Γ
u
vv

F G

−1

F
v
−
1
2
G
u
1
2
G
v

.
Theo Hệ quả 1.4.2.1, đối với cơ sở {X
u
, X
v
} ma trận chuyển vị của
ma trận của Dn
p
là

a b
c d

= −

u
= aX
u
+ bX
v
, n
v
= cX
u
+ dX
v
.
Từ các phương trình (1), (2), (3) và lấy vi phân của các phương trình này
lần nữa, ta có:
X
uuv
= (Γ
u
uu
X
u
+ Γ
v
uu
X
v
+ Ln)
v
=(Γ
u

v
X
u
+ Γ
u
uu
(Γ
u
uv
X
u
+ Γ
v
uv
X
v
+ Mn) + (Γ
v
uu
)
v
X
v
+ Γ
v
uu
(Γ
u
vv
X

+ Lc)X
u
+ ((Γ
v
uu
)
v
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
+ Ld)X
v
+ (MΓ
u
uu
+ NΓ
v
uu
+ L
v
)n.

Γ
v
uu
+ Γ
v
uv
Γ
v
uv
+ Mb)X
v
+ (Γ
u
uv
L + Γ
v
uv
M + M
u
)n.
Do X
uuv
= X
uvu
nên suy ra:
(X
u
) : (Γ
u
uu

uv
+ Ma,
(X
v
) : (Γ
v
uu
)
v
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
+ Ld = (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ

vvu
, ta thu được:
(X
u
) : (Γ
u
uv
)
v
+ Γ
u
uv
Γ
u
uv
+ Γ
v
uv
Γ
u
vv
+ Mc = (Γ
u
vv
)
u
+ Γ
u
vv
Γ

Γ
v
uu
+ Nb,
(n) : M
v
+ MΓ
u
uv
+ NΓ
v
uv
= N
u
+ LΓ
u
vv
+ MΓ
v
vv
.
Từ việc đồng nhất các thành phần chứa pháp vector n ở trên, ta có
các phương trình Codazzi:
L
v
− M
u
= LΓ
u
uv

EG − F
2
ta thu
được các phương trình Gauss:
EK = (Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
− Γ
u
uv
Γ

;
F K = (Γ
v
uv
)
v
− (Γ
v
vv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ
v
uv
− Γ
u
vv
Γ
v
uu
;
GK = (Γ
u
vv
)
u
− (Γ

Từ việc đồng nhất các thành phần có chứa X
v
của đẳng thức X
uuv
= X
uvu
, ta
có:
(Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv

)
= E.
LN − M
2
EG − F
2
= EK. 
Ví dụ 2.1.1. Cho mặt cầu đơn vị với tham số hóa
X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu).
Tính các kí hiệu Christoffel của nó.
11
Giải:
Ta có thể tính các kí hiệu Christoffel của mặt cầu đã cho theo hai cách như
sau.
Cách 1:
Ta có:
X
u
= (cosucosv, cosusinv, −sinu)
X
v
= (−sinusinv, sinucosv, 0)
X
uu
= (−sinucosv, −sinusinv, −cosu) = −X(u, v)
X
uv
= (−cosusinv, cosucosv, 0)
X
vv

vv
= −sinu.cosu, và Γ
v
vv
= 0.
Cách 2:
Ta có E = 1, F = 0, G = sin
2
u
Do đó:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=
1
sin
2
u

sin
2
u 0
0 1

0


0
cotanu


Γ
u
vv
Γ
v
vv

=
1
sin
2
u

sin
2
u 0
0 1

−sinu.cosu
0

=

−sinu.cosu
0

X
uv
= (−sinv, cosv, 0),
X
vv
= (−ucosv, −usinv, 0).
Suy ra E = 1, F = 0, G = u
2
, L = 0, M = 0, N = 0.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
u
−

2
G
u

=
1
u
2

u
2
0
0 1

0
u

=


0
1
u



Γ
u
vv
Γ

−u
0

=

−u
0

.
Suy ra : 0 = L
v
− M
u
= 0.Γ
u
uv
+ 0.(Γ
v
uv
− Γ
u
uu
) − 0.Γ
v
uu
= 0
0 = M
v
− N
u

v
uu
Γ
v
vv
− Γ
u
uv
Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 − (
1
u
)
u
+ 0 + 0 − 0 −
1
u
2
=
1
u
2
−

2
+ 1, L = 0, M = −
1
√
1 + u
2
, N = 0.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
u
−
1
2

u

=
1
u
2
+ 1

u
2
+ 1 0
0 1

0
u

=


0
u
u
2
+ 1



Γ
u
vv

0 1

−u
0

=

−u
0

.
Suy ra: L
v
− M
u
= −
u
√
1 + u
2
3
LΓ
u
vv
+ M(Γ
v
uv
− Γ
u
uu

uv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
= 0 −
1
√
u
2
+ 1
(0 − 0) − 0 = 0 = M
v
− N
u
= 0
EK =
−1
u
2
+ 1
u
2
+ 1
= −

Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 − (
u
u
2
+ 1
)
u
+ 0 + 0 − 0 −
u
2
(u
2
+ 1)
2
=
u
2
− 1
(u
2
+ 1)
2

X
uu
= (0, 0, 0),
X
uv
= (−sinv, cosv, 0),
X
vv
= (−ucosv, −usinv, 0).
Suy ra E = 1 + c
2
, F = 0, G = u
2
, L = 0, M = 0, N =
cu
√
c
2
+ 1
.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=

1
EG

G 0
0 E

1
2
E
v
1
2
G
u

=
1
u
2
(1 + c
2
)

u
2
0
0 1 + c
2

0

1
2
G
v

=
1
u
2
(1 + c
2
)

u
2
0
0 1 + c
2

−u
0

=


−
u
1 + c
2
0

c
√
c
2
+ 1
LΓ
u
vv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
15
= −
cu
√
c
2
+ 1
.
1
u
= −
c
√

u
uv
Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 +
1
u
2
+ 0 + 0 −
1
u
2
= 0 = EK.
Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương
trình Gauss được nghiệm đúng.
d) Ta có X(u, v) = (f(u)cosv, f(u)sinv, g(u)) với f

(u)
2
+ g

(u)
2
= 1,

= (−f

(u)sinv, f

(u)cosv, 0),
X
vv
= (−f(u)cosv, −f(u)sinv, 0).
Suy ra E = 1, F = 0, G = f
2
(u), L = f

(u)g

(u) − f

(u)g

(u), M = 0,
N = f(u)g

(u).
Ta có K =
LN − M
2
EG − F
2
= (f

(u)g

(u)g

(u)g

(u) − f

(u)g

(u)
2
= −(f

(u)
2
+ g

(u)
2
)f

(u).
Suy ra K = −
f

(u)
f(u)
.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ

u
uv
Γ
v
uv

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
v
1
2
G
u

16
=
1
f
2
(u)

f

1
EG

G 0
0 E

−
1
2
G
u
1
2
G
v

=
1
f
2
(u)

f
2
(u) 0
0 1

−f(u)f

(u)

= −f

(u)g

(u) − f(u)g

(u)
LΓ
u
vv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
= [f

(u)g

(u) − f

(u)g

(u)][−f(u)f

(u)] − f(u)g


(u)g

(u)g

(u) − f

(u)g

(u)
= −f(u)g

(u)(f

(u)
2
+ g

(u)
2
) − f

(u)g

(u)
= −f

(u)g

(u) − f(u)g

Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 − (
f

(u)
f(u)
)
u
+ 0 + 0 − 0 −
f

(u)
2
f(u)
2
=
f

(u)
2
− f(u)f

(u)

1
2
√
EG


E
v
√
EG

v
+

G
u
√
EG

u

.
Chứng minh:
Do F = 0 nên:
Γ
u
uu
=
1
2

; Γ
u
vv
= −
1
2
G
u
E
; Γ
v
vv
=
1
2
G
v
G
.
Từ phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss ta có:
EK = −
1
2
(
E
v
G
)
v
−

v
G
+
1
2
E
v
E
.
1
2
E
v
G
−
1
4
(
G
u
G
)
2
= −
1
2
E
vv
G
+

+
1
4
E
2
v
EG
.
Suy ra:
K = −
1
2
√
EG
(
E
vv
√
EG
−
1
2
E
v
G
v
G
√
EG
+

√
EG
)
= −
1
2
√
EG
(
2E
vv
EG − E
v
E
v
G − E
v
G
v
E
2EG
√
EG
+
2G
uu
EG − G
u
E
u

√
EG − G
u
E
u
G + EG
u
2
√
EG
EG
)
18
= −
1
2
√
EG
(
E
vv
√
EG − E
v
(
√
EG)
v
EG
+

). 
áp dụng hệ quả trên, ta có ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.1.
a) Mặt cầu với tham số hóa:
X(u, v) = (Rcosucosv, Rcosusinv, Rsinu)
X
u
= (−Rsinucosv, −Rsinusinv, Rcosu)
X
v
= (−Rcosusinv, Rcosucosv, 0)
Suy ra E = R
2
, F = 0, G = R
2
cos
2
u
Do đó
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)

1
R
2
.
b) Mặt paraboloid tròn xoay với tham số hóa:
X(u, v) = (ucosv, usinv, u
2
)
X
u
= (cosv, sinv, 2u)
X
v
= (−usinv, ucosv, 0)
Suy ra E = 1 + 4u
2
, F = 0, G = u
2
Do đó
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)

2
)
2
.
c) Mặt ellipsoid tròn xoay với tham số hóa:
X(u, v) = (acosucosv, acosusinv, csinu) a, c > 0
X
u
= (−asinucosv, −asinusinv, ccosu)
X
v
= (−acosusinv, acosucosv, 0)
Suy ra E = a
2
sin
2
u + c
2
cos
2
u, F = 0, G = a
2
cos
2
u
Do đó
K = −
1
2
√

2
cos
2
u)
(
−2a
2
cosu.sinu

a
2
cos
2
u(a
2
sin
2
u + c
2
cos
2
u)
)
u
=
c
2
(a
2
sin

2
u
Do đó
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)
v
+(
G
u
√
EG
)
u
) = −
1
2
√
1 − sin
2
u
(

Chứng minh:
Do F = 0, áp dụng Hệ quả 2.2.2 ta có:
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)
v
+ (
G
u
√
EG
)
u
)
= −
1
2λ
((
λ
v
λ
)

2λ
((
1
λ
)
v
.λ
v
+
1
λ
λ
vv
+ (
1
λ
)
u
.λ
u
+
1
λ
λ
uu
)
= −
1
2λ
((

2
+ v
2
+ C)
2
và F = 0.
20
Khi đó độ cong Gauss là hằng.
Chứng minh:
áp dụng Hệ quả 2.2.3 với λ =
1
(u
2
+ v
2
+ C)
2
ta có:
∂ ln λ
∂u
= (u
2
+ v
2
+ C)
2
.
−2(u
2
+ v

2
+ C)
2
=
4u
2
− 4v
2
− 4C
(u
2
+ v
2
+ C)
2
)
Tương tự, ta tính được
∂
2
ln λ
∂v
2
=
−4u
2
+ 4v
2
− 4C
(u
2

Chứng minh:
Do tại các điểm tương ứng của hai mặt đẳng cự, dạng cơ bản thứ nhất là giống
nhau.
Tuy nhiên, điều ngược lại của hệ quả này không đúng. Để thấy rõ điều
đó, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.3. Xét hai mặt chính qui lần lượt được tham số hóa bởi
X(u, v) = (ucosv, usinv, v).
Y (u, v) = (ucosv, usinv, lnu).
Với mỗi (u, v), ta có:
X
u
= (cosv, sinv, 0),
X
v
= (−usinv, ucosv, 1).
Suy ra E
(X)
= 1, F
(X)
= 0, G
(X)
= u
2
+ 1.
Do đó
K
(X)
= −
1
2

u
= −
1
(u
2
+ 1)
2
.
Y
u
= (cosv, sinv,
1
u
),
Y
v
= (−usinv, ucosv, 0).
21
Suy ra E
(Y )
= 1 +
1
u
2
, F
(Y )
= 0, G
(X)
= u
2

(
2u
√
u
2
+ 1
)
u
= −
1
(u
2
+ 1)
2
.
Vậy K
(X)
= K
(Y )
.
Tuy nhiên, dạng cơ bản thứ nhất của X và của Y là khác nhau nên chúng
không đẳng cự với nhau. 
Hệ quả 2.2.5. ([4, Lemma 3.3]) Giả sử X là tham số hóa của một mặt có
các đường tọa độ v = v
0
và u = u
0
là các đường chính với các độ cong chính
lần lượt là k
1

L = −k
1
E; N = −k
2
G và F = M = 0
Từ phương trình Codazzi ta có:
 (−k
1
)
v
E + (−k
1
)E
v
= L
v
= −k
1
EΓ
u
uv
+ k
2
GΓ
v
uu
Mà Γ
u
uv
=

= −k
1
E
v
2
− k
2
E
v
2
= −
E
v
2
(k
1
+ k
2
)
Suy ra (k
1
)
v
=
1
2
E
v
E
(k

u
vv
− k
2
GΓ
v
uv
Mà Γ
u
vv
= −
1
2
G
u
E
; Γ
v
uv
=
1
2
G
u
G
Do đó N
u
= −
1
2

G
u
2
(k
1
+ k
2
)
22