1

A mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nh chúng ta đã biết Vật lý hạt cơ bản là một chuyên ngành hẹp của
môn Vật lý trong đó đi sâu vào nghiên cứu các tính chất, các quy luật tơng
tác của hạt cơ bản và các phản hạt của chúng. Đồng thời nghiên cứu các quá
trình biến đổi giữa các hạt cơ bản cũng nh mối liên hệ của chúng với các
trờng lực xung quanh. Khi đi sâu vào thế giới các hạt cơ bản tức là ta đã nói
đến thế giới các hạt vi mô. Vì vậy lý thuyết cổ điển sẽ bị thay đổi bằng lý
thuyết lợng tử lý thuyết trờng lợng tử và đợc dùng nh một công cụ
khá tốt để nghiên cứu hạt cơ bản.
Nghiên cứu hạt cơ bản tức là một cách gián tiếp ta đã nghiên cứu vũ trụ,
vì các hạt cơ bản này cấu thành toàn bộ vật chất, trái đất cũng nh tất cả các
sự vật, các thiên hà và các lớp bụi giữa các vì sao, chúng đều đợc tạo thành từ
các hạt cơ bản. ớc muốn của con ngời là luôn muốn làm chủ đợc thiên
nhiên, vũ trụ. Vì vậy việc nghiên cứu hạt cơ bản là một vấn đề luôn luôn đặt ra
không chỉ cho các nhà vật lý mà cho tất cả những ai yêu thích môn hạt cơ bản.
Có thể nói vật lý hạt cơ bản chính là vật lý năng lợng cao, nó cho phép ta đi
sâu và thế giới bên trong hạt nhân.
Theo giả thiết của Borh về lợng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lợng
của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián
đoạn là một bội nguyên của hằng số Planck

.

- Thông qua quy tắc hay định lí cộng mômen cho một hệ gồm 2 hạt
không tơng tác ta có thể áp dụng cho hàm sóng một hạt với hai bậc tự do
khác nhau hoặc hệ nhiều hạt.
- Nâng cao tầm hiểu biết về vật lý học của thế giới vi mô. Mặt khác có
thể làm tài liện tham khảo cho các bạn đọc.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Tìm hiểu về mômen xung lợng, mômen spin, cộng mômen xung lợng
và cộng mômen spin của các hạt.
- Dùng cho hệ các hạt vi mô không tơng tác với nhau.
4. Phơng pháp nghiên cứu
Dùng phơng pháp toán cho vật lý: Toán tử, giải phơng trình hàm riêng,
trị riêng, các phơng trình đặc biệt cho vật lý.

3

B - Nội dung
Chơng 1: Cộng mômen xung lợng
1.1. Mômen xung lợng
1.1.1. Toán tử mômen xung lợng
Trong cơ học lợng tử, cũng tơng tự nh trong CHCĐ, mômen xung
lợng


=


x z y
x
y x
(2)
Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ mômen
xung lợng lên các trục x, y và z. Nếu chọn:


x x
=
;

y y
=
;

z z
=
;

P
x

=




)
L z
z y
L x
x z
L y
y x


=





=





=






x


y z
, i
;

[ ]
L L L
=

z x y
, i
(5)
4
0
L L L L L L
= = =
2 2 2
x y z
[ , ] [ , ] [ , ]
(6)
Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo đợc một cách chính xác




z
z
L L L
L L L
L L L
+
+ +

=
=
=



z
[ , ] 2
[ , ] -
[ , ]
(8)
Và

L L L L L
+
= + +

2 2
z z


=




x
y
z
i sin cotg cos
i cos cotg .sin
i
(10)
còn đối với
2

L
thì:

2
2 2
2 2
1 1

. sin . .
sin sin
L




2 2
1 1
. .
,
sin

thì ta có thể viết:

L

=

2
.
,
(11b)
1.1.2. Trị riêng của mômen xung lợng
Ta hãy xét bài toán trị riêng của toán tử
z

L
. Để thuận tiện ta dùng toạ độ
cầu. Phơng trình trị riêng có dạng:

u
i L u


=



nhân với hàm số mũ nói trên, hằng số
này nói chung có thể phụ thuộc vào các toạ độ khác
(
r
và
)

:

z
L
u r c r e


=

i
. .
( , , ) ( , ).
(13)
Chú ý rằng khi

thay đổi
2

thì ta lại trở về điểm cũ. Muốn cho
u
là
một hàm đơn giá (theo vị trí trong không gian) thì khi


z
.
trong đó m là một số nguyên (dơng hoặc âm)

L m
=

z
(14)
với:
m
=
0;
1

;
2


6Trị riêng

=

z z
(16)
Ta lại biết theo (6) rằng
2

L
và

L
z
giao hoán, hai toán tử này có chung
những hàm riêng. Do đó hàm riêng
( , , )
m
u r

của

L
z
đã viết ở trên (theo
phơng trình (15)) cũng là hàm riêng của toán tử
2

L
.
Cho các toán tử ở hai vế của phơng trình (16) tác dụng lên
m


Từ đó ta có thể kết luận rằng:

m
L u

là hàm riêng của toán tử

L
z
ứng với
trị riêng
m

1.
Viết lại cho rõ ta có:
1
m m
L u constu
+ +
=1

m m
L u constu

=


+

thì
l
không phải giá trị lớn nhất của
m
.
7

Bây giờ cho toán tử
2

L
tác dụng lên
l
u
, theo (9) ta có:

2 2

l - + l l z l
L u L L u L u L u
= + +


cho của
l
thì m có thể có nhiều giá trị. Nh trên đã nói
l
là giá trị lớn nhất của
m
. Mặt khác hai hớng giữa trục z là tơng đơng về mặt vật lý, nên ứng với
mỗi giá trị của
m
lại có một giá trị khác trái dấu. Nh vậy
m
có thể có các
giá trị nguyên từ
l
+
đến -
l
.

m

=
l; l-1; l-2;; -l
(18)
tất cả là
(2l+1)
giá trị.
1.1.3. Hàm riêng của toán tử mômen xung lợng
Các toán tử mômen xung lợng
2


z
L
ứng với các trị riêng
lần lợt là
2
l(l + 1)

và
m

. Phần phụ thuộc các toạ độ

và

gọi là hàm cầu
và kí hiệu là:

m
l
Y (
, )


vậy
m
lm l
u (r,
, )= c(r).Y (, )


8
m m
z l l
(
, )= m (, )
L Y Y


(20)
Giải phơng trình (20) giống nh (12) ta có:

(
)
m m im
l l
(, ) =
Y K e



(21)
thay vào (19) ta có:

m 2
m m
l
l l


( )
2
2
2
1 ( 1) 0
1
m
m
l
l
d dK m
x l l K
dx dx x

+ =

Hay:
( )
2 2
2
2 2
1 2 . ( 1) 0
1
m m
m
l l

Y const P e


=
(23)
Hằng số đợc xác định bằng điều kiện chuẩn hoá.
Sau đây ta tính vài giá trị của hàm cầu
m
l
Y
. Muốn thế trớc hết cần tính
đa thức liên kết Lơgiăngđrơ theo công thức:

2
2
( )
( ) (1 ) .
m
m
m
l
l
m
d P x
P x x
dx
=
ta đợc:
0
( ) ( ) 1

1
( ) ( ) (3 1)
2
P x P x x
= = 2
2 2 2
2
3 1
( ) 1 . 3 1
2
d x
P x x x x
dx



= =

2 2
1 2 2
2
2
3 1
( ) 1 . 3 1
1
1
3
8
i
Y sin e




=
;
( )
0
2
5
3 1
16
2
Y cos


= ( )
1
2

L l l
= +


Hình chiếu của vectơ này lên trục z có độ lớn đại
số là:

z
L m
=


trong đó
m
có nhiều giá trị từ
l

đến
l
+
(tất cả
2 1
l
+
giá trị).
Nh vậy véctơ
L

không thể hớng tuỳ ý trong không gian, nó chỉ có thể


cách định hớng khác nhau (ở nửa bên phải trục z).
Nếu ta quay hình vẽ quanh trục z thì đợc các hớng có thể của
L

trong
không gian.
Cách trình bày trên đây chỉ là để hiểu một cách trực quan, không thể coi
là một cách biểu diễn chính xác mômen xung lợng.
Bây giờ ta xét một hệ gồm hai hạt có mômen xung lợng lần lợt là
1
L

và
2
L

. Nếu bỏ qua tơng tác của hai hạt làm thay đổi mômen xung lợng thì
mômen xung lợng
L

của hệ bằng tổng của các mômen
1
L

và
2
L

. Nếu biết
các lợng tử số

và
m
gọi là phép cộng mômen xung lợng trong cơ học lợng
tử.
Ngời ta có thể chứng minh đợc một cách chặt chẽ phép cộng mômen
xung lợng, sau đây ta dùng một phơng pháp đơn giản để hiểu phép cộng
mômen xung lợng.
Trớc hết ta có:
1 2
z z z
L L L
= +

tức là
1 2 1 2
m m m m m m
= + = +

(24)
Ta lại biết rằng giá trị cực đại của
1
m
là
1
l
, của
2
m
là
2

1 2
l l l
=
.
Còn có những trờng hợp khác thì
l
có giá trị nguyên ở khoảng giữa hai
giá trị trên.
Nói tóm lại với
1
l
và
2
l
đã cho thì
l
có giá trị sau đây:

1 2 1 2 1 2
, 1, ,
l l l l l l l
= + +
(25)
Tất cả có
2
2 1
l
+
giá trị (nếu
2 1

J L
=

,
1,2,3
i
=
.
Xuất phát từ các hệ thức giao hoán các vi tử

i
L1 2 3

,
L L iL

=

;
2 3 1

,
L L iL

=

;

giao hoán với tất cả các vi tử

i
L
:

2

, 0
i
L L

=1,2,3
i
=
(26)
ta đặt:
( )
1 2

L L iL
+
= +
;
( )
1 2


có thể biểu diễn
qua
( )

L
+
,
( )

L

nh sau:

( )
( ) ( )
1
1

2
L L L
+
= +
;
( )
( ) ( )
2
1

2
L L L


, 2
L L L
+

=

(31)
và:
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
3
1

. .
2
L L L L L L
+ +

= + +

(32)
Trong mỗi biểu diễn của nhóm quay mỗi toán tử ở trên có dạng một ma
trận. Biểu thức của các yếu tố ma trận phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ cơ sở
trong không gian thực hiện biểu diễn. Trong quá trình thiết lập biểu diễn
chúng ta sẽ lựa chọn hệ cơ sở một cách thích hợp.
Xét một biểu diễn tối giản thứ nguyên hữu hạn bất kỳ. Vì toán tử
2

L
giao

Ký hiệu các trị riêng là
à
và các vectơ riêng tơng ứng là
|
à
>
.

3

L
|
à
>
=
|
à à
>
(34)
Ta quy ớc rằng các vectơ riêng
à
đều thoả mãn điều kiện trực giao
chuẩn hoá.

'
'
àà
à à
=
(35)

(
)
(
)
(
)
(
)
3

1 1L L L
à à à
+ +
= + = +

Hệ thức này chứng tỏ
(
)

L
à
+
cũng là một vectơ riêng của toán tử
3

L
ứng
với trị riêng
(
)

à

là hằng số phụ thuộc vào
à
(vào cả

nữa)
Từ hệ thức (36) suy ra:

( )
(
)
( )
1,

1L L
à
à à
à à
+ +
+
= + =

Và nói chung, theo các công thức (35) và (36) các yếu tố ma trận của ma trận
ứng với toán tử
(
)

L
+

14(
)
(
)
(
)
(
)
3

1 1L L L
à à à

= =

Hệ thức này chứng tỏ
(
)

L
à

L

là hai toán tử liên hợp Hermitic với nhau.

( ) ( )
(
)

L L
+
+
=

Và do đó:
( )
(
)
( ) ( )
',

' '
L L L
à à
à à à à

= =' , ' 1 1 , ' 1
à à à à à à

' ' ' ' 2L L L L L
à
à à à à à à à à à à
+ +
=
( ) ( )
2 2
'

' ' 2
L L
à
à à à à à
+

=

Nghĩa là:
2 2
1
2
à à
à


đủ lớn để
(
)
1
C
à à
+ >

15

Vì
max
à
là trị riêng lớn nhất nên:

(
)
max

0
L
à
+
=


=
(42)
Ký hiệu
max
j
à
=
(43)
và sử dụng đẳng thức (41) trong công thức (40) ta tính đợc

(
)
1
C j j
= +

và do đó công thức (40) trở thành:

( ) ( )
2
1 1
j j
à
à à
= + +
(44)
Theo công thức (44) phơng trình
2
0


Vậy
min
j
à
=
(45)
Rõ ràng,
j
phải là một số không âm.
Tóm lại, các trị riêng
à
của
3

L
có thể nhận các giá trị thay đổi từ
j


đến
j
, hai giá trị liên tiếp khác nhau một đơn vị nghĩa là
à
có thể nhận các
giá trị sau đây:

, 1, 2, , 2, 1,
j j j j j j
à

j
là số bán nguyên
1
2
j n
= +

Bây giờ hãy tính yếu tố ma trận của toán tử
2

L
giữa hai vectơ ứng với
cùng một trị riêng bất kì
à
của
3

L
và tìm hằng số

. Sử dụng công thức (32)
và (44) ta có:

2

L
à à
=

( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 1 1 1
2
j j j j
à à à à à
= + + + + +

(
)
1
j j
= +
. (46)
Các yếu tố ma trận của các toán tử
(
)

L
+
và
(
)

L

(
)

1 1 .
L j j
à à à à

= + +

Xét thí dụ đơn giản khi
1
2
j
=
. Hình chiếu
à
có thể có hai giá trị là
1
2
à
= +
và
1
2
à
=
. Từ công thức (47) ta suy ra
1
2
0

;
( )
0 0

1 0
L


=
Sử dụng các đẳng thức (28) ta tính đợc:

1
0 1
1

1 0
2
L


=;
2
0
1

,
2

2
L
và 2
3

L
chính là các ma trận Pauli.
Từ những kết quả thu đợc ở trên ta đi đến quy tắc lợng tử hoá mômen
xung lợng sau đây: Toán tử bình phơng mômen xung lợng toàn phần
2

J
của hạt vi mô có trị riêng bằng
(
)
2
1
j j
+

, trong đó
j
là số không âm
nguyên hoặc bán nguyên. Ta thờng gọi
j
là mômen xung lợng toàn phần
của hạt (khi nói nh vậy ta ngầm hiểu rằng ta đã lấy


.
Tập hợp
2 1
j
+
hàm sóng ứng với
2 1
j
+
trị riêng khác nhau nói trên của
toán tử
3

J
và với cùng một trị riêng:
(
)
2
1
j j
+

của toán tử
2

J
đợc gọi là một
đa tuyến. Trờng hợp riêng
0

xác định, là các số nguyên hoặc bán nguyên không âm. Toán
18

tử
2

S
có trị riêng bằng:
(
)
2
1
s s
+

còn toán tử hình chiếu
3

S
trên trục oz có tất
cả
2 1
s
+

Bây giờ hãy xét trờng hợp đặc biệt là trờng hợp toán tử mômen xung
lợng quỹ đạo

L
. Trong chơng trớc ta
đã biết rằng các thành phần của toán tử

L
là những toán tử vi phân chứa các toạ độ
, ,
x y z
và các đạo hàm riêng
x


,
y


,
z


.
Do đó có thể tìm đợc các trị riêng và biểu
thức cho các hàm riêng của toán tử
3

L
và

.
và có các biểu thức sau đây của các toán tử
3

L
và
2

L
:
3

L
=

z
L
=
i





(48)
2

L
2 2
2

(49)
19

Vì trong công thức (49) chỉ có sự phụ thuộc vào

và

nên ta kí hiệu
hàm riêng của
2

L
là Y(

,

)

2

L

Y Y
Y





+ + =



(51)
Ta hãy tìm lời giải của phơng trình (51) dới dạng phân li biến số:
Y(

,

) =

( ) ( )

(52)
Thay thế biểu thức (52) vào phơng trình (51) và chia cả hai vế cho
2
sin


( ) ( )

ta đợc:

(53)
Vế trái của đẳng thức (53) chỉ phụ thuộc vào

, còn vế phải lại phụ thuộc
vào

nên hai vế chỉ có thể bằng nhau nếu mỗi vế đều bằng một hằng số, đặt
là
2
m
. Khi đó ta có:

(
)
( )
2
2
2
0
m




+ =


(54)
Và:
(

im
m
Ce


= =Vì:
(
)
(
)
2
m m

= +

nên
m
phải là các số nguyên
Từ điều kiện chuẩn hoá:
20



=

,
0; 1; 2;
m
=
(56)
Để tiện giải phơng trình (55) ta làm phép đổi biến số:
cos
à
=
.
và có:
1
à

,
2
1sin
à
= 2
1
à
à
à à




(57)
Để tránh hai điểm đặc biệt
1
à
=
trong phơng trình (57) ta tìm
(
)
à


dới dạng:

( )
( )
( )
2
2
1
s
u
à à à
=

(58)
Và tìm cách xác định
s
và

u s u s s u
à à à à à
à



+ + =



(59)
trong đó:
( )
(
)
'
u
u
à
à
à




Và
( )
(
)
2

=
vì nếu không thì khi
1
à

, hàm
(
)
à

xác định theo biểu thức (58) sẽ phân kì. Nh vậy thay cho biểu thức
(58) và phơng trình (59) bây giờ ta có:

( )
( )
( )
2
2
1
m
u
à à à
=

(60)
Và:
(
)
( )
(

(
)
( )( )
2
1
1 2
k k
k m k m
a a
k k

+
+ + +
=
+ +
(63)
Từ công thức (62) ta thấy rằng khi
à
lớn chỉ có các số hạng với
k
lớn là
cho đóng góp chủ yếu. Từ phơng trình móc xích (63) ta có:
2
1
k
k
a
a
+


0
k
a
+
=
và từ phơng trình (63) ta suy ra:

(
)
(
)
1K m K m

+ + + =

hay
(
)
1
l l

= +
(64)
với
l K m
= +

Ta đi đến một kết luận là trị riêng của toán tử bình phơng mômen xung
lợng quỹ đạo
2

à
trở thành:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 1 0
u m u l l m m u
à à à à à + + + + =

(65)
Để giải phơng trình này ta xét hàm
(
)
à
định nghĩa nh sau:

(66)
Trong đó :
( )
( )
(
)n
n
n
à



.
Khai triển đồng nhất thức (66) và đặt:

( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 1 1
1 2 1 1 0
u m u l m l m u
à à à à à

+ + + + =
(67)
Vì:
(
)
(
)
(
)

l m
u C
à à
à
+
+


=
(68)
Với
lm
C
là các hệ số tỉ lệ. Thay thế công thức (68) vào hệ thức (60) ta nhận
đợc:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1 1
l m
m
l m
l
lm lm
C
à à à à

m
l
lm
l l
m
C
l
à
à
à
à
=
( )
( )
2

l
l l
P
à
à
à




=

Và:
( )
( )
( )
2
2
1
m
m
lm l
m
P P
à à à
à


2 !
lm
l l m
C
l m
+
=
+
(70)
Từ các công thức (70), (69), (56) và (52), ta xác định đợc biểu thức
tờng minh của các hàm riêng của toán tử
2

L
.
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
2 1 !
, , 1
4 !
m
lm
l l m
Y Y cos


(71)
Đó là các hàm cầu, chúng thoả mãn điều kiện trực giao chuẩn hoá:



à à à


=

2 1
*
1
( , ) ( , )
lm l m ll mm
d d Y Y
(72)
24

Một vài hàm cầu đơn giản nhất là:

cos


= +
20
5
1 3 (2 )
16
Y
;
sin sin = =
2 2
2 1 2 2
15 15
(2 ) ;
32 32
i i
Y e Y e
,
Các hàm cầu cũng là các hàm riêng của toán tử
3

L
với các giá trị riêng

2

L
và
3

L
là các hàm cầu. Mômen xung lợng quỹ
chỉ đạo có thể nhận các giá trị gián đoạn
l

với
l
là các số nguyên không âm
còn hình chiếu của mômen xung lợng quỹ đạo chỉ có thể nhận các giá trị
gián đoạn bằng
m

với
m
là các số nguyên thoả mãn điều kiện
m l

,hoàn
toàn phù hợpvới quy tắc lợng tử hoá Bohr. Các trạng thái có
l
bằng 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9 theo thứ tự đợc kí hiệu là
s, p,d, f,g,h,i,k,l,m


i
J
thoả
mãn:


=

,
i j ijk k
J J i J

Thì các
i
J
gọi là các biểu diễn đại số (74)
Nghiên cứu biểu diễn của các đại số Lie
25

* Xét biểu diễn trong không gian 3 chiều
Chọn hệ cơ sở:








= = =
= = =
= = =
x y z z y
x x x
x z y z x
y y y
x y y x z
z z z
s s i s i
s i s s i
s i s i s
0; ;
; 0;
; ; 0

Ta muốn
i j ijk k
s s i s
,


=

(*)
Ta đi chứng minh


( )
1
0
các
x y z
s s s
, ,
mà
i i
s
1
2

=




=( )
0
1
với



= = =


là hàm riêng của
z
s
còn
x

,
y

không phải là hàm riêng của
z
s