Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-

201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n



P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh nhớ lại và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa
thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các
hạng tử
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng
một hạng tử.
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-

GV: -



Nêu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em
đã đợc học trên lớp ?
-

GV
:

Nhắc lại, bổ sung

III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(170 phút)
Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung

1. Lí thuyết:
a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức
có nhân tử chung. Cụ thể:
AB + AC + AD = A(B + C + D)
b) Các bớc tiến hành:
Bớc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu
ngoặc.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


2
+ x => A = x(2x + 1)
B = 17x
3
y - 34x
2
y
2
+ 51xy
3
B = 17xy( x
2
- 2xy + 3y
2
)
C = 16x
2
(x - y) -10y(y - x) C = (x - y)(16x
2
+ 10y)
D = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by) => D = 2x
2
(ax + 2by + ax - by)
= 2x

2
= (a - b)
2

+ =
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)

3) a
2
b
2
= (a + b).(a b)
4)
= +
a b ( a b).( a b) (a,b 0)

5) a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= (a + b)
3

+ + + = +
3 3 3

=(a + b)(a
n-1
- a
n-2
b + - ab
n-2
+ b
n-1
) với n lẻ (n
3

, nguyên)
8)
= + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )

= = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab

Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-

201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n B
BB

Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố
1

1 1

2

1

1

3

3

1


2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
- 4 = x
2
- 2
2
= (x - 2)(x + 2).
b) x
2
+ 2xy + y
2
- 25 = (x + y)
2
- 5
2
= (x + y + 5)(x + y - 5).
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P =(a
2
+ 4)
2
- 16a
2
=(a
2
+ 4)
2
- (4a)

- 36x
2
y + 54xy
2
- 27y
3
.
c) 4a
2
b
2
- (a
2
+ b
2
- c
2
)
2
.
Bài 4: Phân tích M, N, P thành nhân tử :
M =

2
a 2

N =

9a 1 (a 0)


chung ho
ặ
c h
ằ
ng
đẳ
ng th
ứ
c
ở

t
ừ
ng nh
ó
m
.
Bớc 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân
tử chung.
Bớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
2. Bài tập
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1)
b) x
2
+ y
2
- z
2
+ 2xy + 2z - 1 = (x

z - 2.
d) (a
2
+ b
2
)xy + (x
2
+ y
2
)ab.
Bài 3: Phân tích D, E thành nhân tử :
D =
+
a 2 a 1 b (a 0;b 0)

E =
+
a b a 2 ab b b a (a 0,b 0)Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử;
hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
1. Lí thuyết
*) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những
hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:
*) Các trờng hợp:
a, Trờng hợp đa thức dạng ax
2
+ bx + c ( a, b, c


( k

Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q.
+)

= b
2
- 4ac

k
2
đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R.
b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:
- Nhẩm nghiệm của đa thức:
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0

đa thức có nghiệm bằng 1.

+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ

đa thức có nghiệm bằng - 1.
- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải
là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng
p
q
thì p là ớc
của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất".
- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc



B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G dùng sơ đồ Hooc


ne để hạ bậc của đa thức.

2. Bài tập
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x
2
+ 6xy + y
2
.
Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có:
5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
) = 5x(x + y) + y(x + y)
= (5x + y)(x + y).
Cách 2: Thêm 4x
2
vào 5x

2
- 4
Cách 1: x
3
+ 3x
2
- 4
= x
3
+ 4x
2
- x
2
- 4x + 4x - 4
= x
2
(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x + 2)
2

Cách 2: x
3
+ 3x
2
- 4
= x
3
- x
2
+ 4x

3

A = 3x
3
+ 2x
2
+ 2x 1 = 3x
3
- x
2
+ 3x
2
+ 3x - x - 1
= x
2
( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1)
= x
2
(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1)
= (3x - 1) ( x
2
+ x + 1)
b) B = x
4
+ 4 = x
4
+ 4 + 4x
2
- 4x
2

2
= x
2
- 3xy - 4xy + 12y
2

P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y)
Q = x
3
- 3x + 2 = x
3
- 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x
2
+ x + 1) - 3(x - 1)
= (x - 1)(x
2
+ x - 2)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Q = x
4
+ 64
= x
4
+ 16x
2
+ 64 - 16x
2= ( x

4
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 - 36x
2

= (4x
4
+ 36x
2
+ 81) - (6x)
2

= (2x
2
+ 9)
2
- (6x)
2

= (2x
2
+ 9 - 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
b) x
7
+ x

= (x
2
+ x + 1)[x(x - 1)(x
3
+ 1) + 1]
= (x
2
+ x + 1)(x
5
- x
4
+ x
2
x + 1)
*) Chú ý: Các đa thức dạng: x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 đều chứa thừa số x
2
+ x + 1 với
mọi số tự nhiên m, n.
Chứng minh:
Ta có x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 = x
3m+1
- x + x

+ x + 1Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
4 3
x 5x 10x 4
+ +
b)
3 3 3
x y z 3xyz
+ +

c)
8
x x 1
+ +
d)
5 4
x x 1
+ +
e)
10 5
x x 1
+ +

Hớng dẫn:
a) Thêm bớt 2x
2
, đáp số:

(x x 1)(x x 1)
+ + +

e) Thêm bớt
2
x x
+
Ta có:

(
)
(
)
(
)
10 5 10 5 2 2
3
3 2 3 2
3 6 3 2 3 2
2 6 3 2
2 8 7 5 4 3
x x 1 (x x) (x x ) (x x 1)
x x 1 x x 1 (x x 1)
x(x 1)(x x 1) x x 1 (x x 1)
(x x 1) x(x 1)(x x 1) x (x 1) 1
(x x 1)(x x x x x x 1)
+ + = + + + +

= + + + +


oo
o

á
áá
án
nn
n B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g


số
ốố
ố Bài 8: Cho x
Z

, chứng minh rằng:
200 100 4 2
x x 1 x x 1
+ + + +


Hớng dẫn:
Thêm bớt
4 2
x x
+

(

= + + + + +
(
)
4 2 2 4 4 2
4 2
(x 1)(x 1)(x x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1)
A x x 1

= + + + + + + +=> + +

Bài 9: Phân tích Q, K thành nhân tử :
Q =
+
a 3 a 2 (a 0)

K =
+
x 7 x 12 (x 0)

IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)

36
y
2
c) x
4
y
4
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các
hạng tử
a) 5a
2
5ax 9a + 9x
b) ma mb + na nb pa + pb
c) ax
2
+ 5y bx
2
+ ay + 5x
2
by
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
a) P = ab(a - b) + bc(b - c) + ac(a - c).
b) Q = x

1

phân tích đa thức thành nhân tử
Buổi
2

các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Phơng pháp dùng phép chia đa thức; phơng pháp đặt ẩn
phụ.
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Phơng pháp hệ số bất định; Phơng pháp vận dụng định lí
về nghiệm của tam thức bậc hai; thấy đợc sự quan trọng của việc phân
phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải một số bài toán thờng gặp
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:

Giải bài tập 2
b

đã cho tiết

trớc

- HS3:

Giải bài tập 4a đã cho tiết trớc
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(160 phút)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-

201
2

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ

(q(x) là thơng của phép chia)
*) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a <=> f(a) = 0
2. Bài tập:
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4.
Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4.
Ư(4) =
{
}
1; 2; 4


Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4= (x + 1)(x
3
- 3x
2
+ 4x - 4).
Mà g(x) = x
3

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x -12 = (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x)
2
- 12
Đặt (x
2
+ x)
2
= X.
Ta có: A = X
2
+ 4X - 12 = X
2
+ 4X + 4 - 16
= (X+ 2)
2
- 4
2

= (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) - 9
Đặt : x
2
+ 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Suy ra f(t) = t
2

-
16

-

9 = t
2

-

25 = (t

-

+ x + 1)( x
2
+ x + 2)
b) Q = x
2
- 2xy + y
2
+ 3x - 3y 10 = (x - y)
2
+ 3(x - y) - 10
Đặt x - y = t ta có:
Q = t
2
+ 3t - 10
= t
2
- 2t + 5t - 10
= t(t - 2) + 5(t - 2)
=(t - 2)(t + 5)
Thay x - y = t ta có: Q = (x - y - 2)(x - y + 5)
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
b) B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1
Hớng dẫn:

2
+ 9x
2
- 6x + 1
B = x
4
+ (6x
3
- 2x
2
) + (9x
2
- 6x + 1) = x
4
+ 2x
2
(3x - 1)+ (3x - 1)
2
Đặt y = 3x 1 => B = (x
2
)
2
+ 2x
2
y + y
2
= (x
2
+ y)
2

.
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 24.
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:
A =
2 2 2
(x 3x 1) 12(x 3x 1) 27
+

Kết quả: A =
(x 1)(x 4)(x 2)(x 5)
+ +

Bài 9:
a) Chứng minh rằng:
3 3 3 3
(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x)
+ + = + + +

b) Phân tích đa thức thành nhân tử
A =
3 3 3 3
(a b c) (a b c) (b c a) (c a b)
+ + + + +

Trờng THCS Hồng Hng

Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Hớng dẫn:[ ]
3
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2
a)(x y z) x y z (x y) z x y z
(x y) z 3z(x y)(x y z) x y z
x y 3xy(x y) z 3z(x y)(x y z) x y z
3(x y)(xy xz yz z ) 3(x y)(y z)(z x)
+ + = + +
= + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + = + + +

b) Đặt x = b + c a;
y c a b;z b a c x y z a b c
= + = + => + + = + +

Do đó A =
3 3 3 3
(x y z) x y z 3( x y)(y z)(z x)
+ + = + + +
= 24abc
Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2
(x 3)(x 1)(x x 3)
+ +

c) Đặt c =
2
x x 4
+ +
=> C =
2 2
(x 2) (x 6x 4)
+ + +

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử
A =
2 2 2 2 2 2
2(x 6x 1) 5(x 6x 1)(x 1) 2(x 1)
+ + + + + +

Hớng dẫn:
Đặt a =
2
x 6x 1
+
và b =
2
x 1
+
=> A =
2 2

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử .
B = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 (1)
Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B có dạng
B = (ax + b )(cx
2
+ dx + m)
B = acx
3
+ (ad + bc)x
2
+ (am + bd)x + bm (2)
Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

2
5
8
3
Lấy 3
=

+ =

c
b
a

Vậy B = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 = (2x - 1)(x
2
- 2x + 3)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số
bất định
a) P = 3x
2
- 22xy - 4x + 8y + 7y
2
+ 1.
b) Q = 12x
2
+ 5x - 12y
2
+ 12y - 10xy - 3.
Giải:
a) P = 3x
2
- 22xy - 4x + 8y + 7y
2
+ 1. (1)
Nếu đa thức P phân tích đợc thì:


=


P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1)
b, Q = 12x
2
+ 5x - 12y
2
+ 12y - 10xy - 3 (3)
Nếu đa thức Q phân tích đợc thì:
Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1)
Q = cax
2
+ ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy
2
- 3 (4)
Đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta có:









=
=
=

b
a
Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất
định x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
Thử: x = 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có
nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích
đợc thành thừa số thì phải có dạng:
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d) = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd

= x
4
-6x
3

oo
o

á
áá
án
nn
n B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g


số
ốố
ố V
ậ
y:

a

=

-

2
; b = 3; c =
-

4; d = 1


+ + + + = + + + + + + +

Đồng nhất hệ số ta đợc a = - 1 ; b = - 2
Vậy A = (x
2
- x + 1)(x
2
- 2x + 3)
Chú ý: Nếu trờng hợp hai hệ số tự do là 1 và 3 không thỏa mãn thì ta xét
trờng hợp còn lại và làm tơng tự nh trên

Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng định lí về
nghiệm của tam thức bậc hai

1. Lí thuyết:
- áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax
2
+ bx + c có nghiệm x
1
, x
2
thì :
P = a(x - x
1
)(x - x
2
)
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .
P = 2a

2
1
21

P = 2(a - a
1
)(a - a
2
) = 2
)2)(12()2(
2
1
+=+






+
bababa
b
a

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử .
P = x
2
+ y
2
- 2xy + 2x - 2y - 3

-

Giải đề thi
Giải đề thiGiải đề thi
Giải đề thi

Bài 1:
Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010
Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010 Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010
Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010 -

-

2011
20112011
2011 Cho biểu thức : P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x
2
- 24x + 3y
2
+ 18y + 36.
Chứng minh P luôn dơng với mọi x; y thuộc R .
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


6 12 3 3 0
y y y
+ + = + + >
;
( )
2
2
2 3 1 2 0
x x x
+ = + >

Vậy P > 0 với mọi x; y thuộc R
Bài 2:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc
khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộckhảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc
khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc

năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

-

201
201201
2010

chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007
chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007

-

-

20
2020
2008
0808
08

Chứng minh rằng với mọi số a, b, c thỏa mãn điều kiện a > b > c thì
biểu thức căn bậc hai sau luôn có nghĩa:
2 2 2
a (b c) b (c a) c (a b)
+ +

Hớng dẫn:
2 2 2 2 2 2 2 2
a (b c) b (c a) c (a b) a b a c b c b a c (a b)
+ + = + +

2 2 2 2 2
(a b b a) (a c b c) c (a b) (a b)( b c)(a c)
= + = =

Mà a > b > c =>
(a b)(b c)(a c)

3
- 5x
2
+ 3x + 9 , kết quả: (x + 1)(x - 3 )
2

b) 4x
3
- 13x
2
+ 9x - 18 , kết quả: (x - 3)(4x
2
x + 6)
Bài 3: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng
3 3 3
x y z 3xyz
+ + =

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-


d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



b) B =
3 3 3
(a b 2c) (b c 2a) (c a 2b)
+ + + + +

Hớng dẫn: áp dụng kết quả bài tập 3 để phân tích
Kết quả: a) A =
3(a b)(b c)(c a)

; b) B =
3(a b 2c)( b c 2a)(c a 2b)
+ + +
Chủ đề 1
11
1

phân tích đa thức thành nhân tử
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Buổi 3
các bài toán áp dụng
phân tích đa thức thành nhân tử

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- HS thành thạo các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và
thấy đợc sự quan trọng của việc phân phân tích đa thức thành nhân tử
trong việc giải một số bài toán thờng gặp

-

sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ

-

HS1:

Giải bài tập
1
a

đã cho tiết trớc

- HS2:

Giải bài tập 3 đã cho tiết trớc
- HS3:

Giải bài tập 4a đã cho tiết trớc
III.

2
.
- Nên phơng trình: x
3
+ 3x
2
4 = 0 (x - 1)(x + 2)
2
= 0
<=> x = 1 hoặc x = - 2
- Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
= 1 và x
2

= - 2
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-

201
2

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ

ơ
ng tr
ì
nh:
(x
2

+ x)
2

+ 4x
2

+ 4x 12 = 0
- Đặt: x
2
+ x = t ta có phơng trình: t
2
+ 4t 12 = 0.
- Phân tích đa thức t
2
+ 4t - 12 thành nhân tử ta đợc:
t
2
+ 4t 12 = (t + 6)(t - 2) , ta có phơng trình : (x
2
+ x + 6)( x
2
+ x - 2) = 0.
- Tiếp tục phân tích đa thức x

<=>
2 0 2
3 0 3
2
3
2 0 2
3 0 3

+ > >
+ > >
>
<=> <=>


<
+ < <

+ < <

= x
2
(x
2
- 5x + 6) + (x
2
- 5x + 6)
= (x
2
- 5x + 6)(x
2
+ 1).
Phân tích đa thức x
2
- 5x + 6 thành nhân tử ta đợc :
(x
2
- 5x + 6) = (x - 2)(x - 3)

Do đó bất phơng trình đã cho tơng đơng với bất phơng trình sau:
(x - 2)(x - 3)(x
2
+ 1) < 0 ( x - 2)(x - 3) < 0 (vì x
2
+ 1 > 0, x)
<=>
2 0 2
3 0 3
2 3
2 3

x x

Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm là : 2 < x < 3.
3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
) = 3(a + b)(b + c)(a + c).
Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích thành nhân tử :
(a + b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
) = (a + b)
3
+ c
3
+ 3(a + b)c (a + b + c)- a
3
- b
3

+

c)(a

+

c).

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

V
ậ
y: (a

+

b

+

c)
3

-

(a

3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Giải
Do a + b + c = 0 => c = - (a + b) nên a
3
+ b
3
+ c
3
= a
3
+ b
3
- (a + b)
3

Ta phân tích đa thức a
3
+ b
3
- (a + b)
3
thành nhân tử .
Ta có a
3
+ b

2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
luôn âm.
Chứng minh :
Ta phân tích đa thức A thành nhân tử
Ta có: A = (b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
= (b
2
+ c
2
- a
2

2
]
= [(b - c)
2
- a
2
][(b + c)
2
- a
2
]
2

= (b c - a)(b c + a)(b + c - a)(b + c + a).
Vậy A = ( b c - a)(b c + a)(b + c - a) (b + c + a).
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
b - c - a < 0
b c + a > 0
b + c - a > 0 A < 0 (ĐPCM).
b + c + a > 0
Bài 4: Chứng minh rằng:
P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 luôn không âm, x R
Giải :
Ta có : P = (x - 1)(x - 6)(x - 4)(x - 3) + 9 .
= (x
2
- 7x + 6) (x
2
- 7x + 12) + 9
Đặt: x

2
9 + 9
= (x
2
- 7x + 9)
2

Do x Z nên (x
2
- 7x + 9) Z => (x
2
- 7x + 9)
2
là bình phơng của một
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-

201
2

G

ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ

M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4

= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)(x
2
+ 5xy + 6y
2
) + y
4

= [(x
2
+ 5xy + 5y
2
) - y
2
][(x
2
+ 5xy + 5y
2
) + y
2
] + y
4

= (x

Bài 1: Chứng minh A = n
3
- n chia hết cho 3 , n Z .
Giải:
Ta có n
3
- n = n(n
2
- 1) = n(n -1)(n + 1) do n Z nên A là tích của 3 số
nguyên liên tiếp do đó A chia hết cho 3 .
Bài 2: Chứng minh M = m
3
(m
2
- 7)
2
- 36m chia hết cho 5040 với

m là số
nguyên
Giải :
Ta có M = m
3
(m
2
- 7)
2
- 36m = m {[m(m
2
-7)]

Do m Z nên M là tích của 7 số nguyên liên tiếp do đó M chia hết cho:
1.2.3.4.5.6.7 = 5040.
Vậy M chia hết cho 5040.
Bài 3: Chứng minh rằng

x

Z ta có:
[
]
825)34(
2

+= xP

Giải: P = ( 4x

+ 3)
2
- 25 = ( 4x

+ 3)
2
5
2
= ( 4x + 3 - 5)( 4x + 3 + 5)

= ( 4x - 2)(4x + 8) = 8( 2x - 1)(x + 2)
Vì x


A
x y
+
=

với
x yHớng dẫn:

2 2 2 2
2 2 2 2
x 3x y 3y (x y ) (3x 3y) (x y)(x y) 3(x y)
A
(x y)(x y)
x y x y
(x y)(x y 3) x y 3

(x y)(x y) x y
+ + + +
= = =
+

+ + + +
= =
+ +

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức
P =

Hớng dẫn: Ta phân tích các mẫu thành nhân tử:
a
2
+ ac - b
2
bc = (a
2
- b
2
) + (ac - bc) = (a - b)(a + b) + c(a -b) = (a - b)(a+b+c)
Tơng tự: b
2
+ ab - c
2
ac = (b - c)(a + b + c)
c
2
+ bc - a
2
- ab = (c - a)(a + b + c).
Do đó mẫu chung là : MC = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
( )( )( )( )
( )( )( )( )
(c a) (a b) (b c)
A
a b b c c a a b c
0
0
a b b c c a a b c
+ +

= (x
2
+ 5x + 4) (x
2
+ 5x + 6) + 2003.
Đặt x
2
+ 5x + 5 = t. Ta có N = (t - 1)(t + 1) + 2003 = t
2
- 1 + 2003 = t
2
+2002
Vậy do t
2
0 với t N 2002.
Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 <=> t = 0
<=> x
2
+ 5x + 5 = 0 <=>
5 5 5 5
x hoặc x =
2 2
+
=

8. Giải phơng trình nghiệm nguyên
Trờng THCS Hồng Hng

Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Bài 1
:
Tìm cặp số nguyên (x , y) thoả mãn : x + y = xy

Giải :
Ta có xy = x + y xy x y + 1 = 1 x(y - 1) - (y - 1) = 1
(x - 1)(y - 1) = 1.
Do x,y nguyên nên ta có :
x 1 = 1 hoặc x 1 = - 1
y 1 = 1 y 1 = - 1
Suy ra (x = 2 ; y = 2) hoặc (x = 0 ; y = 0).
Vậy cặp số nguyên (x , y) cần tìm là (2 ; 2) và (0 ; 0).

9. Tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên
1. Lí thuyết:
Cách làm: Ta tách phần nguyên và phần phân thức của biểu thức f(x) đã
cho. Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn thì kết quả chỉ còn phân thức tiếp
theo ta tìm giá trị cuả biến để phân thức ấy có giá trị nguyên. Muốn vậy tử
thức phải chia hết cho mẫu thức hay mẫu thức phải là ớc của tử thức. Từ đó
tìm ra các giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, cụ thể:
f(x) =
A(x)
b
a
B(x) C(x)
= +
với a, b
Z

=
xxx
x
P

Vậy P nguyên <=> x + 7 là ớc của 5
Hay x + 7

{ -1; 1; - 5; 5}
Có






=+
=+
=+
=+
17
17
57
57
x
x
x
x



2
- 54a + 32.
a) Phân tích đa thức A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng A luôn là một số chẵn (a Z)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu H
ớ
ng d
ẫ
n:

a) A = a
4
- 6a
3
+ 27a
2
- 54a + 32
= a
4
- a
3
- 5a
3

2
- 3a + 16)
Xét a
2
- 3a + 16 có = 9 - 4.6= - 15 < 0 do đó a
2
- 3a + 16 không phân tích
đợc trên R. Vậy A = (a - 1)(a - 2)(a
2
- 3a + 16).
b) Do a Z nên (a - 1)(a - 2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết
cho 2. Suy ra A chia hết cho 2 A = 2k (k Z) Vậy A là số chẵn với a Z
Bài 2: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
N = 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
- a
4
- b
4
- c

- (a
2
+ b
2
)
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) - c
4

= (2ab)
2
- (a
2
+ b
2
- c
2
)
2
= (2ab- a
2
- b
2
+ c

- a
2
)x + c
2
= 0 có nghiệm kép thì ba điểm A, B, C thẳng hàng
Hớng dẫn :
Do A, B, C phân biệt suy ra AC 0 b
0

=> Hệ số b
2
0 .
Có = (b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
. Phơng trình có nghiệm kép <=>
0
=

Phân tích thành nhân tử ta đợc:
= (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(b c - a)


+

yz

+

xz).

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-

201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá


H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s


6 (x + y + z)

2 (x + y + z) là số chẵn không
thể x, y, z cùng lẻ ít nhất một trong ba số x, y, z là chẵn xyz là số chẵn
xyz

2 => 3xyz

6 (2)
Từ (1) và (2)=> Q = P - 3xyz chia hết cho 6
Bài 5: Chứng minh rằng : (n
5
- 5n
3
+ 4n) chia hết cho 120 , n Z
Hớng dẫn:
Ta có:
n
5
- 5n
3
+ 4n = n(n
4
- 5n
2
+ 4) = n[(n
4
- 4n
2

= 3(ac - bd)(b + d).
Hớng dẫn:
Từ giả thiết : a + b + c + d = 0 a + c = - (b + d) (a + c)
3
= - (b + d)
3

a
3
+ c
3
+ 3(a + c)ac = - b
3
- d
3
- 3(b + d)bd , thay a + c = - (b + d) ta đợc :
a
3
+ c
3
- 3(b + d)ac = - b
3
- d
3
- 3(b + d)bd.
Hay: a
3
+ b
3
+ c

3 2
(3x 1)(x 4x x 1)
+

Bài 2: Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số
nguyên: B =
4 3 2
x 6x 11x 6x 1
+ +

Hớng dẫn:
4 3 2 2 2
x 6x 11x 6x 1 (x ax 1)(x bx 1)
+ + = + + + +

Đồng nhất hệ số tìm đợc a = - 3 ; b = - 3.
Vậy B =
2 2
(x 3x 1)
+

Bài 3: Phân tích đa thức C thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số
nguyên và các hệ số cao nhất đều mang dấu dơng: C =
4 3 2
x x 2x 11x 5
+

Hớng dẫn:
4 3 2 2 2
x x 2x 11x 5 (x ax 1)(x bx 5)


=
=



+ =


=



Bài 5: Giải bất phơng trình sau: x
2
- 7x + 10 < 0.
Bài 6: Giả sử a, b, c, d Z ; Chứng minh rằng:
A = [(a- c)
2
+ (b - d)
2
](a
2
+ b
2
) - (ad - bc)
2
là số chính phơng.
Hớng dẫn:
2 2 2 2 2 2 2

+ b
4
a
3
b + ab
3
.
b) (ac - bd)
2
(a
2
- b
2
)(c
2
- d
2
).
Hớng dẫn:
a) Chuyển vế và biến đổi đợc:

2
2 2 2 2 2 2
b 3b
(a b) (a ab b ) 0 a ab b 0 (a ) 0
2 4
+ + <=> + + <=> + +

Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b
b) Biến đổi BĐT đợc

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-

201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n B

PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố
)
(
)
2 2 2 2 2 2 3
x y xy x y xy
= + + + + +

Bài 13: Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 -

-

2012
20122012
2012
Cho biểu thức : P = xy(x 2)(y + 6) + 12x
2
24x + 3y
2
+ 18y + 36.
Phân tích đa thức P thành nhân tử.Từ đó chứng minh P luôn dơng với mọi x;y
Hớng dẫn:
P = xy(x


2)(y + 6) + 12x
2




=
(
)
(
)
2 2
6 12 2 3
y y x x
+ + +

Mà
(
)
2
2
6 12 3 3 0
y y y
+ + = + + >
(
)
2
2
2 3 1 2 0
x x x
+ = + >

V
ậ
y P > 0 v