Hình học lớp 9

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
1

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI
VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Bài 1: (LHP 2001 – 2002)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H.
Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M
qua AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: (NK 2003 – 2004 CD)
Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai
đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA.
b) AE kéo dài cắt (O) tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Xác
định quĩ tích của H.
Bài 3: (NK 2005 – 2006 AB)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ
từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối
xứng của I qua BC.
a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho


PMB NMC


Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ nửa đường tròn
đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H, K lần lượt là
trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AMN.
a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng.
b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui.
Bài 6:
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung
lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau
tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh
rằng:
a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định.
Bài 7:
Cho tam giác ABC nhọn có

60
o
BAC

nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao
BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC.
a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.
b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?
Bài 8:(NK 2004 – 2005 AB)
Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.
Gọi P, Q là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ
khi P thuộc (O).
Bài 9:
Cho tam giác ABC nhọn có

.
c) Thử chứng minh điều sau đây
2 2 2 2
9
ABC A B C
S S AB BC AC R
  
     .
Bài 11:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ
hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm.
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp.
b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D ( khác B).
Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Tại E (Khác D) và tia BE cắt AC tại F.
Chứng minh rằng F là trung điểm AC.
c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA.
d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh HB là phân giác của góc EHD.
Bài 12:
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tyến MA, MB (A, B
là hai tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D. Gọi I là trung điểm của
CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO,
MD và OI.
a) Chứng minh
2
. .
R OE OM OI OK
 

b) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn.
c) Khi


Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
4

b) Đẳng thức (1) còn đúng không khi cát tuyến không đi qua O. Chứng minh điều đó.
Bài 16 (THTT 12/2007)
Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn
với A, B là hai tiếp điểm. Gọi M là giao điểm của OP và AB. Kẻ dây cung CD đi qua M
(CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q. Tính độ
lớn của góc OPQ.
Bài 17:
Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA,
PB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). PO cắt (O) tại I và K ( K nằm giữa P và O) và
cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và (O).
a) Chứng minh tức giác BHCP nội tiếp.
b) Chứng minh
AC CH

.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. AM cắt IB tại Q. Chứng minh
M là trung điểm AQ.
Bài 18:
Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB,
KD ( B, D là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C).
a) Chứng minh rằng hai tam giác KDA và KCD đồng dạng.
b) Chứng minh AB. CD = AD. BC
c) Kẻ dây CN song song với BD. Chứng minh AN đi qua trung điểm BD.
Bài 19:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi D,
E, F lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC và AB.

a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng.
b) Tìm vị trí của M để độ dài HK lớn nhất.

Bài 24:
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó. Điểm M thay đổi trên đổi d, kẻ
các tiếp tuyến MT, MH đến đường tròn (O) với T, H là các tiếp điểm. Gọi A là hình
chiếu vuông góc của O trên d và E, F là hình chiếu của A trên Mt, MH. Chứng minh
rằng:
a) Đường thẳng TH đi qua một điểm cố định.
b) Đường thẳng EF đi qua một điểm cố định.
Bài 25:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, AC.
Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi M, N, P thẳng hàng.
Bài 26: (LHP 2002 – 2003)
Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi P, Q lần lượt là
các điểm đối xứng của M qua AB, AC.
a) Chứng minh DE đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
b) Tìm vị trí của M để DE đạt giá trị lớn nhất.