Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
1

A. Kiến thức cần nhớ :
1. hằng ñẳng thức: Với A, B là các biểu thức
1.
( )
2
2 2
2
A B A AB B
+ = + +
.
2.
( )
2
2 2
2
A B A AB B
− = − +
.
3.
(
)
(
)
2 2

)
(
)
3 3? 2
A B A B A AB B
− = − + + .
2. Các hằng ñẳng thức liên quan:
1.
( ) ( )
2 2
4
A B A B AB
+ = − + .
2.
( ) ( )
2 2
4
A B A B AB
− = + − .
3.
( ) ( )
3
3 3
3
A B A B AB A B
+ = + − +
.
4.
( ) ( )
3

. . .
n n n n n n
A B A B A A B AB B
− − − −
− = − + + + + .
3.
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 3 1
. . . . . . 2 . . .
n n n n
A A A A A A A A A A A A
−
+ + = + + + + + + + .


 Chú ý :
+

( ) ( )
2 2
A B A B
− − = + .
+
( ) ( )
2 2
A B B A
− = − .
+

(
)
2
3 2
x y
−
.

3.

3
1
2
2
x −
 
 
 
.
4.

2 2
x x
y y
− +
  
  
  
.
5.

)
2 5 2 2 -3 3 -1
m m m m+ + .
2.

( )( ) ( )
2
2 4 8 -3 - 4 1
x x x
+ +
.
3.

( ) ( )( )
2
7 - 2 - 7 1 7 -1
y y y
+
.
4.

( ) ( )
3 2
2 - -3
a a a
+
.
5.
( ) ( )( )
2

( ) ( ) ( )( )
2 2
1 3 ? 1 3
x x x x
+ + − + −
.
10.
( ) ( ) ( )
(
)
2
2
1 2 2 2 4
x x x x x
− + − − + +
.
11.
(
)
(
)
(
)
2
2 2 3
x x x
− − − +
.
12.



( )( ) ( )
2
5 -3 5 3 - 5 - 4
y y y
+
.
17.

( ) ( )
3 3
3 1 - 1 2
x x
+
.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
3

Bài 3:
Viết thành hằng ñẳng thức
1.
2
4 4 1
x x
− +
. 2.
(
)

(
)
(
)
2
10 80
x x x− − +
khi
0,98
x
=
.
2.
(
)
(
)
2
2 9 4 31
x x x+ − +
khi
-16, 2
x
=
.
3.
2
4 28 49
x x
− +

)
(
)
2
2 2 3 3 9
x x x x x x
− + − − + +
khi
1
4
x
=
.
7.

(
)
(
)
3 2 2
126 5 25 10 5 , 3
y x y x y xy khi x y
+ − + + = − = −
.
8.
(
)
(
)
3 3 2 2

= + + .
3.
Cho
1
x y
− =
, tính giá trị
3 3
3
C x y xy
= − − .

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
4

4.
Cho
x y m
+ =
và
.
x y n
=
. Tính giá trị các biểu thức sau theo
,
m n
.
a.


và
n
.
6.
Cho
0
a b c
+ + =
và
2 2 2
2
a b c
+ + =
. Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4
a b c
+ +
.
7.
Cho
0
a b c
+ + =
và
2 2 2
1
a b c
+ + =
. Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4

C x x x x x x x
= − + − − + + −
. Với
25
x
=
.
HD: Thay
26 1 ;27 2; 47 2 -3; 77 3 2; 50 2
x x x x x
= + = + = = + =
. Dạng 3: Tính nhanh.
1. Phương pháp:

- Xem biểu thức ñã cho có dạng hằng ñẳng thức nào.
- Biến ñổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức ñã cho ñể xuất hiện dạng hằng ñẳng thức.
- Thực hiện hằng ñẳng thức và các phép tính ta có kết quả.
2.Bài tập:
Bài 1:
Tính
a.

(
)
(
)
4 4 2 2


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 4 8 16
3 -1 3 1 3 1 3 1 3 1
+ + + +
.
f.

2
2009 - 81
.
g.

2 2
26 52.24 24
+ +
. Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang

Bài 1:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y:
a.

(
)
(
)
(
)
xxxx 12325252
2
−−−+− .
b.
(
)
(
)
(
)
22632.212
23
−−−−− yyyyy .
c.
(
)
(
)
(
)

x xy y y
+ + − +
.
Bài 4: Chứng minh các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến.
a.
2
1
x x
− +
. b.
2
2
x x
+ +
.
c.
2
2 5 13
x x
− +
.
Bài 5: CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau:
a.
(
)
(
)
(
)
1 3 2

nếu có 1 trong các ñiều kiện sau:
a.
2 2 2
a b c ab bc ca
+ + = + +
. b.
( )
(
)
2
2 2 2
3
a b c a b c
+ + = + +
.
c.
( ) ( )
2
3
a b c ab bc ca
+ + = + + .
Bài 7: Cho
0
a b c
+ + =
. CMR:
3 3 3
3
a b c abc
+ + = .

3
3
2 5 30 2 5 8
x x x x
+ − + − .
e.
( ) ( ) ( )
2 2
3 1 12 3 5 2 6 3
x x x x
+ + − + + +
. f.
( ) ( )
(
)
3
2
4 1 4 3 16 3
x x x
− − − +
.
g.
( )
3
3 2
1 3 3 1
x x x x
− − + − −
. h.
(

)
(
)
6 6 2 2 2 2 2 2
3
a b a b a b a b
 
+ = + + −
 
.
d.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
a b c b c a c a b a c b a c b
− + − + − = − − − Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang

+ Dựa vào hằng ñẳng thức chứng minh:

(
)
f x M
≤
(M là hằng số),
(
)
0 0
:
x f x M
∃ =

2.Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a.
2
20 101
A x x= − + . b.
2
4 4 2
B x x
= + +
.
c.
2 2
4 5 10 22 28
C x xy y x y
= − + + − +

.
g.
2
4 5
x x
− +
.
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau.
a.
2
4 6
x x
− +
. b.
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 6
x x x x
− + + +
.
c.
( ) ( )
2 2
1 3

I. Phương pháp ñặt nhân tử chung .
1. Phương pháp:
- Tìm nhân tử chung là những ñơn thức, có mặt trong tất cả các hạng tử.
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
- viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào
trong dấu ngoặc.
2. Bài tập.
Bài 1: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2 2 2
3 5
xy x y x y
− + − . b.
(
)
(
)
2 5
x y z y z y
− + −
.
c.
(
)
(
)
2 2
10 5 2 2
x x y x y y
+ − +

.
k.
2 2 2 2
14 21 28
x y xy x y
− + . l.
2 2 2 2
x y z xyz xy z
− + .

II. Phương pháp dùng hằng ñẳng thức.
1. Phương pháp:
Sử dụng các hằng ñẳng thức ñể biến ñổi ña thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của
một ña thức ñơn giản. Chuyên ñề 2:
Phân tích ña thức thành

nhân tử

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
9

2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2 2 4
6 9

2 2
15 1
x y
− − +
. h.
( ) ( )
2 2
9 5 7
x x+ − − .
k.
( ) ( )
2 2
49 4 9 2
y y− − + . l.
( )
2
16 1 1
x
+ −
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
3 3
8 27
x y
+ . b.
( )
2
25 3
x

1 6 9
x x
+ + .
k.
3 3
27
y x
− +
. l.
4 2
49 81
x y
− + .

III. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
1. Phương pháp:
- Sử dụng tính chất giao hoán kết hợp ñể nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
- Áp dụng phương pháp phân tích ña thức khác ñể giải toán.
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2
3 3
x xy x y
− + −
. b.
2
7 7 4 4
x xy x y
− − +

3 2 3
3 3 1 8
x x x y
− + − − .
k.
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
x y z y z y z x y
− + − + − . l.
(
)
(
)
(
)
2
xy x y xz x z yz x y z
− − + − + −
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
x y z y z x z x y xyz

3 2
6 9 36
x xy y
− + −
. h.
2 2
4 9 4 6
x y x y
− + −
.
k.
2 2
5 2 5
x x xy y y
− + + − −
. l.
2 2
4 25 6 15
x y x y
− − + .

IV. Phương pháp Phối hợp nhiều phương pháp.
1. Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản ñã biết và thương tiến hành theo
trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng ñẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.

)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4x y a b abxy xy a b ab x y
   
+ + + − + + +
   
.
f.
2
3 12 12
xy xy x
− + .
g.
2
2 8 8
x x
− +
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
11

h.
3 2 2
5 10 5

2 2 2
2
x xy y z
+ + −
.
e.
2 2
5 2 5
x x xy y y
− + − +
. f.
(
)
2
2 2
36 9
x x− + .
g.
2 2
2
xz yz x xy y
− − + −
. h.
2 2 2 2
2 2
x xy y z t zt
+ + − − − .
k.
3 2 3
3 3 1

)
f x
có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ thì
(
)
f x
có một nhân tử là
1
x
+
.
+ Nếu a là nghiệm nguyên của
(
)
f x
và
(
)
1
f
;
(
)
1
f
−
khác 0 thì
(
)

Trang
12

Với
1 2
b b b
= +
và
1 2
. .
b b a c
= .
Cách 2 : Tách
2 2 2
ax bx c X B
+ + = −
.
2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2
6 8
x x
− +
. b.
2
7 10
x x
+ +
.

− +
.
k.
3 2
4
x x
− −
. l.
3 2
3 7 17 5
x x x
− + −
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
3 2
5 8 4
x x x
+ + +
. b.
4 3 2
2 2 2 1
x x x x
+ + + +
.
c.
2
5 14
x x
− −

3 6 4
x x x
+ + +
. l.
2
12
x x
− −
.

VI. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
1. Phương pháp:
Ta thêm bớt cùng một hạng tử vào ña thức ñã cho ñể làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta
có thể phân tích thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng
hằng ñảng thức
Chú ý : Thường thơm bớt sao cho
- Xuất hiện hằng ñẳng thức
(
)
(
)
2 2
A B A B A B
− = + −
.
- Xuất hiện thừa số chung.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
13

. f.
3 2
8 17 10
x x x
+ + +
.
g.
3 2
3 6 4
x x x
+ + +
. h.
3
2 4
x x
− −
.
k.
3 2
4
x x
+ +
. l.
3
12 7 2
x x x
− + −
.
Bài 2: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.

− + +
.
g.
5 4
1
x x
+ +
. h.
8 7
1
x x
+ +
.
k.
8
1
x x
+ +
. l.
4 2 2 4
x x y y
+ +
.

VII. Phương pháp ñổi biến.
1. Phương pháp:
Một số bài toán phân tích ña thức thành nhân tử mà trong ñó có một biểu thức xuất hiện
nhiều lần. Ta ñặt biểu thức ñó là một biến mới. Từ ñó viết ña thức ñã cho thành ña thức
mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.
Chú ý : Một số dạng ñặc biệt.

(
)
t x a x b
= + +
.
Dạng 3:
(
)
4 3 2
p x ax bx cx kbx a
= + + + +
với
1
k
=
hoặc
1
k
= −
ñặt
2
t x k
= +
.
Dạng 4:
(
)
4 3 2
p x x bx cx dx e
= + + + +

a.
4 2
6 11 3
x x
− +
. b.
(
)
(
)
2 2
3 1 3 3 5
x x x x
+ + + − −
.
c.
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 5 7 15
x x x x
+ + + + +
. d.
(
)

(
)
(
)
(
)
1 2 3 4 24
x x x x
+ + + + −
. h.
(
)
(
)
(
)
(
)
4 1 12 1 3 2 1 4
x x x x
+ − + + −
.
k.
(
)
(
)
(
)
(

= ∀ =
.
Ví dụ : Phân tích ña thức thành sau nhân tử
3
11 30
A x x
= + +
.
Giải : Vì A là ña thức bậc 3 hệ số cao nhất là 1 nên, nếu A phân tích ñược thì A có dạng

(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 3 2
3 3 2
11 30
A x a x bx c x a b x ab c x ac
x x x a b x ab c x ac
= + + + = + + + + +
⇔ + + = + + + + +

Đồng nhất hệ số ta ñược

11


2. Bài tập.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
3 2
4 5 2
x x x
+ + +
. b.
4 3 2
2 3 7 6 8
x x x x
− − + +
.
c.
4 3 2
5 9 2 4 8
x x x x
+ − − −
. d.
4 3 2
6 12 14 3
x x x x
− + − +
.
e.
4 3 2
2 3 7 6 8
x x x x
− − + +

1. Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong ña thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ : Phân tích ña thức thành sau nhân tử
( ) ( )
3
3 3 3
p x x y z x y z
= + + − − −
.
Giải : Khi ñó nếu
x y
= −
thì
(
)
(
)
(
)
0
p x p x x y
= ⇒ +
⋮
.
Vì vai trò x, y, z như nhau trong
(
)
p x
nên :

(

Mà
(
)
p x
là ña thức bậc 2 ñối với biến x, y, z nên
(
)
q x
là hằng số.
Với
0, 1
x y z
= = =
(chọn tùy ý) suy ra
(
)
3
q x
=
.
Vậy
(
)
(
)
(
)
(
)
3

(
)
2 2 2 2 2 2
x y x y y z y z z x z x
+ − + + − + + − .
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
16

d.
( ) ( ) ( )
3 3 3
x y z y z x z x y
− + − + − .
e.
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
x y x y y z y z x z z x
− + − + −
.
f.
(
)
(
)

.
k.
(
)
(
)
(
)
xy x y yz y z zx z x
− + − + −
.
l.
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
x y z x y z x y z x y z x y z y z x z x y
+ − + + − + + − + + − + − + −
.

X. Bài tập tổng hợp.
Bài 1 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
4 2
4 32 1
x x
− +
. b.
6
27
x
+

. h.
5 4
1
x x
+ +
.
k.
3 2
7 14 7
x x x
− +
.
l.
(
)
( ) ( )
2 2
2 2 2
x y z x y z xy yz zx
+ + + + + + +
.
Bài 2 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
2 3 3 4 3 3
5 25 10
x y x y x y
− + . b.
3 2 2
2 2
x xy x y y

x x x x x x
+ + + + + +
.
k.
37264345
122418 yxzyxzyx −+ . l.
(
)
(
)
(
)
yxzxyyyxx −+−−− 282114
.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
17

Bài 3 : Phân tích các ña thức sau thành nhân tử.
a.
(
)
(
)
aaaa −+− 31638
23
. b.
3223
6128 ymyymm +−+− .

XI. Bài tập áp dụng phân tích ña thức thành nhân tử.
Dang 1 : Rút gọn biểu thức.
1. Phương pháp:
+ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung.
+ Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ñại số. Chia cả mẫu thức và tử thức cho nhân
tử chung.
2. Bài tập.
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau.
a.
3 2
3 2
3 7 5 1
2 4 3
x x x
A
x x x
− + −
=
− − +
.
b.
2
3 2 1 3
1 1
1
x x x
B
x x
x
+ − −

3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
E
x y y z z x
− + +
=
+ + + + −
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
18

f.
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
F
x y y z z x
+ + −
=
− + − + −
.
g.
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
G
x x y y x y x x y y y x

L
x x
x
− − −
= − +
− +
−
.
Dang 2 : Giải phương trình bậc cao.
1. Phương pháp: Áp dụng phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử ñể biến ñổi về dạng
phương trình tích
0
. 0
0
A
A B
B
=

= ⇔

=

.
2. Bài tập.
Bài 1 : Giải các phương trình sau.
a.
3 2
7 15 25 0
x x x

e.
5 4 3 2
3 3 1 0
x x x x x
− + + − + =
. f.
3 2
2 3 6 5 0
x x x
+ + + =
.
g.
4 3 2
4 19 106 120 0
x x x x
− − + − =
. h.
(
)
(
)
2
2 2
6 9 15 6 10 1
x x x x
− + − − + =
.
k.
4 3 2
2 4 3 2 0

Ví dụ : Thực hiện phép chia
a.
(
)
3 2 2
10 : 4
x y z xy z
− . b.
(
)
(
)
8 3
2 2
1 : 1
x x x x
+ + + +
.
Giải :
a. Ta có :
( )
3 2
3 2 2 2
2
10 5
10 : 4 . . .
4 2
x y z
x y z xy z x
x y z

3 2 2
5 : 2
x y z xy z
− .
c.
( ) ( )
3
2 4 : 2 2
x y y x
− −
. d.
(
)
2 3 2
15 : 3
xy z xyz
− .
e.
( ) ( )
5 3
:
x y y x
− − . f.
( ) ( )
6 4
3 : 3
x y y x
− − .
g.
(

Ví dụ : Thực hiện phép chia
( )
3 2 2
1
4 3 5 :
3
x x y xy x
− + .
Giải :
( )
3 2 2
3 2 2 2 2
1 4 3 5
4 3 5 : 12 9 15
1 1 1
3
3 3 3
x x y xy
x x y xy x x xy y
x x x
− + = − + = − + .
2. Bài tập.
Bài 1 : Thực hiện phép chia.
a.
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2 2 :
y x y x y x y x
 
− − − − − −

− − −
   
   
.
e.
(
)
5 2 3 2
2 3 4 : 2
x x x x
− + −
.

f.
(
)
4 3 2 2
8 4 : 2
x x x x
− +
.

g.
(
)
(
)
3 5 2 2 3
18 12 6 : 6
x y x y xy xy

)
(
)
5 2 4 3 3 4 3 2
6 9 15 : 3
x y x y x y x y
− +
.

Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
21

III. Chia ña thức 1 biến ñã sắp xếp .
1. Phương pháp:
Muốn chia ña thức A cho ña thức B ta thực hiện như sau :
Bước 1:
Đặt phép chia.
Bước 2:
Chia hạng tử bậc cao nhất của ña thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của ña thức
chia, giả sử nhận ñược thương là
1
C
.
Bước 3:
Lấy
1

R
≠
, ta nói A không chia hết cho B hay phép chia có dư.
Ví dụ

:
Thực hiện phép chia
(
)
(
)
3 2
4 6 4 : 2
x x x x
+ + + +
.
Giải :
Vậy
(
)
(
)
3 2 2
4 6 4 : 2 2 2

x
+

2 4
x
+

3 2
2
x x
+

2
x
+

2
2 2
x x
+ +

3 2
4 6 4
x x x
+ + +

_
2
2 6 4
x x

x x x x
− − − −
.

e.
(
)
(
)
4 3 2 2
3 : 2 3
x x x x x x
− + + − +
.
f.
(
)
(
)
4 3 2
2 25 : 5
x x x x
+ + − +
.

g.
(
)
(
)

)
3 2
3 3 : 3
x x x x
− + − −
.

Bài 2 :
Thực hiện phép chia.
a.
(
)
(
)
4 2 3 2
2 5 3 3 : 3
x x x x x
− + − − −
.

b.
(
)
(
)
4 3 2
2 2 1 : 1
x x x x
− + − −
.

x x x x
− + − + − +
.
f.
(
)
(
)
4 3 2
5 9 2 4 8 : 1
x x x x x
+ − − − −
.
g.
(
)
(
)
2 4 3 2
17 6 5 23 7 : 7 3 2
x x x x x x
− + − + − −
.
h.
(
)
(
)
4 3 2 2
3 11 5 19 10 : 3 2


chia hết cho
2
x
−
.
b.

3 2
3 5
x x x a
− + +
chia hết cho
2
x
−
.
c.
(
)
2
1 4
x a x
− + +
chia hết cho
1
x
−
.
d.

x
+
.
Biên soạn: Lê Kỳ Hội
Trang
23

g.

5 4
5 9
ax x
+ −
chia hết cho
1
x
−
.
h.

3 2
x x a x
+ + −
chia hết cho
( )
2
1
x
+
.

x
+
dư 7 và chia cho
3
x
−
dư -5.
d.

3 2
2 3 2
x ax x b
− + +
chia hết cho
1
x
−
và
2
x
−
.
e.

3 2
5 8
x x x a
+ − +
chia hết cho
2

3 3 1
x x x
− − −
chia hết
2
1
x x
+ +
.
c.

3 2
4 5 1
x x x
− + −
chia hết cho
3
x
−
.
d.

3 2
4 11 5 5
x x x
+ + +
chia hết cho
2
x
+

x x
− +
cho

2
x
−
.
b.
3 2
9 6 10
x x x
− + +

cho
1
x
+
.
c.

3 2
3 4 5
x x x
− + −
cho
2
x
−
.