Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
Phần I : Đặt vấn đề
I - Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng
dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong
mọi bậc học, làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không
phải lúc nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng.
Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn
nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp
thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả.
Trong chơng trình đại số THCS, việc phân tích đa thức thành nhân tử là một
trong những nội dung kiến thức cơ bản. Phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở xây
dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng toán khác nhau trong chơng trình nh:
- Quy đồng, rút gọn phân thức.
- Giải phơng trình, bất phơng trình
- Chứng minh bất đẳng thức
- Tìm cực trị
Nhiều khi việc phân tích đa thức thành nhân tử gặp nhiều khó khăn đối với
học sinh, nhất là trong các trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức
tạp, do đó nếu phân tích đa thức thành nhân tử dùng các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử thông thờng thì không thể giải quyết đợc. Vì vậy việc giáo việc cung cấp
cho học sinh các phơng pháp phân tích cơ bản, hệ thống bài tập áp dụng từng phơng
pháp sẽ giúp cho học sinh định hớng tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử .
Từ đó học sinh tự tin và phân tích đa thức thành nhân tử thành kỹ năng thành thạo
trong việc việc phân tích đa thức thành nhân tử trong lớp 8,9 và nhiều vấn đề liên
quan sau này
II - Đối tợng nghiên cứu :
- Học sinh khá, giỏi lớp 8
- Học sinh tham gia bồi dơng thi học sinh giỏi huyện
III - Phạm vi nghiên cứu:
Vành đa thức một ẩn với phân tích đa thức thành nhân tử số nguyên.

n - 1
x
n - 1
+ .............. +a
1
x + a
0
Với a
i
Z
- Khi thay x = thì đợc một số kí hiệu f()
f() = a
n

n
+ a
n - 1

n - 1
+ .............. +a
1
+ a
0
+ f() đợc gọi là giá trị của f(x) tại x =
+ Nếu f() = 0 thì ta nói x = là một nghiệm của đa thức f().
4
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
- Đa thức bất khả quy : Đa thức f(x) khác o và khác ớc của 1 đợc gọi là bất
khả quy nếu từ đẳng thức f(x) = g(x) . h(x)

x
n - 2
+ .............. +b
1
x + b
0
là thơng và d của phép
chia đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ ..............+ a
1
x + a
0
cho nhị thức x - .
Khi đó r và các hệ số của g(x) đợc tính theo sơ đồ sau:
a
n
a
n-1
a
n-2
......... a
1
a

0
+a
0
)
5
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
x
x
Nghiệm (nếu có) của một đa thức:
đa thức f (x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. + a
1
x + a
0

-Nghiệm nguyên của f(x) phải là ớc của a
0
-Nghiệm hữu tỷ của f(x) có dạng
q
p
( trong đó p là ớc của a
0

+ p
2
không phải là ớc của a
0
thì f(x) bất khả quy trong Q
[
x
]
B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn:
Cung cấp cho học sinh những nội dung kiến thức trên
Các phong pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Các phơng pháp thông thờng
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử để :
+ Xuất hiện nhân tử chung của các nhóm
+ Xuất hiện hằng đẳng thức
6
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định

Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
Khi ta thực hiện ta lần lợt xét các phơng pháp có thể đợc
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = 2x
4
- 8x
3
y + 8x
2
y

- xz (x - y)
= (x - y) (x - y -xz)
Các phơng pháp đặc biệt
Khi đa thức có nghệm hữu tỷ :
1 ) Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Phơng pháp chung :
Thờng sử dụng so đồ hoocne tìm nghiệm (nếu có) của đa thức giả sử tìm đợc
nghiệm của đa thức x =
f(x) : x - ( hệ quả định lý Bơdu)
f(x) = ( x - ) . q(x) ( q(x) là thơng của phép chia f(x) cho (x - ))
Do đó khi phân tích đa thức f(x) thành nhân tử thì có chứa nhân tử x-
Ví dụ 3 : f(x) = x
3
+ 9x
2
+ 11x - 21
Ta thấy tổng các hệ số của các hạng tử 1 + 9 + 11 - 21 = 0
f(x) có nghiệm x = 1 có nhân tử là x - 1 Ta là xuất hiện nhân tử x - 1.
f(x) = x
3
- x
2
+ 10x
2
- 10x + 21x - 21
= x
2
(x -1) + 10x(x -1) + 21 (x -1)
= (x-1) ( x
2

+ 10x + 25 - 4
= (x + 5)
2
- 2
2
= (x+3)(x+7)
Vậy f(x) = (x - 1)(x + 3) (x+ 7)
( Với tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c khi phân tích thành nhân tử ta có thể
là đơn giản hơn nh sau:
Tìm tích ac
Phân tích ac ra tích của 2 thừa sô nguyên bằng mọi cách.
Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
+ x- 6
Giải
Lập tích ac = 1.(-6) = -6
Mà -6 = (-1) .6 = 2 .(-3) = (-2).3
Ta thấy - 2 + 3 = 1 = b
vậy x
2
+ x- 6 = x
2
- 2x + 3x - 6
= (x - 2) ( x + 3)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = 2x
3
- x

- 5x
2
- 3x
c) x
3
+ 5x
2
+ 3x - 9
d) x
4
+ 4x
2
- 5
e) x
3
- 7x + 6
8
Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định
Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử
f) 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5
g) 4x
4
- 4x
3
+ 15x
2

2
+ 2)
2
- (6x)
2
= (9x
2
- 6x +2)( 9x
2
+ 6x +2)
Dạng x
3m+1
+ x
3n + 2
Phơng pháp : Đa thức dạng trên luôn có chứa nhân tử x
2
+ x + 1. đặc biệt
hơn nếu 3m + 1 và 3n + 2 đều chẵn thì có chứa thêm nhân tử x
2
- x + 1
Ví dụ 6 : x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
- x + x
2
+ x +1
= x(x

+ x
2
+ 1= x
7
+ x
6
+ x
5
- x
6
- x
5
- x
4
+ x
4
+ x
3
+ x
2
- x
3
- x
2
-x + x
2
+ x+1
= x
5
( x

2
+ x+ 1)(x
6
- x
5

+ x
3
- x + 1)
=( x
2
+ x+ 1)(x
6
- x
5
+ x
4
- x
4
+ x
3
- x
2
+ x
2
- x+1)
=( x
2
+ x+ 1)[x
4

4
+ 1
d) 81x
4
+ 4
e) 4x
4
+ 1
f) 64x
4
+ y
4
g) x
4
+ 324
h) x
5
+ x
4
+ 1
i) x
8
+ x
7
+ 1
j) -x
5
- x
7
- 1

= (x
2
+ x - 5) (x
2
+ x + 3)
Ví dụ 9 : B = ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) - 4
Giải
B = [ ( 4x + 1) ( 3x + 2)] [ ( 12x - 1) ( x + 1)] - 4
= ( 12x
2
+ 11x + 2)( 12x
2
+ 11x - 1) - 4
Đặt 12x
2
+ 11x = y B = ( y + 2) ( y - 1) - 4
= y
2
+ y - 6
= y
2
- 2y + 3y - 6
= y( y - 2) + 3 ( y - 2)
= ( y - 2) ( y + 3)
Vậy B = (12x
2
+ 11x - 2) (12x
2
+ 11x + 3)
Ví dụ 10 : C = x