CHUYấN
CAC PHệễNG PHAP PHAN TCH ẹA THệC THAỉNH
NHAN Tệ
A.cơ sở lý thuyết:

a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d):
- Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) v g(x) 0 tồn tại duy nhất
hai đa thức q(x) v r(x)sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x).
q(x) đợc gọi l thơng, r(x) đợc gọi l d.
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) v ký hiệu f(x)
Mg(x)
Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d.
b/ Hệ quả: Ta có f(a) l d trong phép chia f(x) cho x- a.
c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn:
Phần tử aA đợc gọi l nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0.
d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:
Phần tử a l nghiệm của đa thức f(x) khi v chỉ khi f(x)
M x-a.
e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phân tích đa thức thnh nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử
chung.
- Phân tích đa thức thnh nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng
thức.
- Phân tích đa thức thnh nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng
tử.
- Phân tích đa thức thnh nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng
pháp.
- Phân tích đa thức thnh nhân tử bằng cách tách một hạng tử thnh
nhiều hạng tử.
- Phân tích đa thức thnh nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng

4 = (3x)
2
2
2
= ( 3x 2)(3x + 2)
8 27a
3
b
6
= 2
3
(3ab
2
)
3
= (2 3ab
2
)( 4 + 6ab
2
+ 9a
2
b
4
)
25x
4
10x
2
y + y
2

= ( x y 4)( x y + 4)
4. Phi hp nhiu phng phỏp
Vớ d 4. Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t
3xy
2
12xy + 12x = 3x(y
2
4y + 4) = 3x(y 2)
2

3x
3
y 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy =
= 3xy(x
2
2y y
2
2ay a
2
+ 1)
= 3xy[( x
2

2
x
3
+3ax
2
-6x-2a (a Q)
Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1)
+Đặt phép chia đa thức:
a
2
x
3
+3ax
2
-6x-2a x+1
-a
2
x
3
+a
2
x
2
ax
2
+(3a-a
2
)x+(a
2
-3a-6)

-2x-3 =(x-1)(5x
2
+5x+3)
Ví dụ 8:
Phân tích đa thức f(x)=3x
5
- 6x
4
-2x
3
+4x
2
-x+2 thành nhân tử.
Dễ thấy x=1 l một nghiệm. Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1
Thức hiện phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x
4
- 3x
3
-5x
2
-x-2)
Dễ thấy 3x
4
- 3x
3
-5x
2
-x-2 có nghiệm l x= -1
Thực hiện phép chia ta đợc: 3x
4

2
+1).
B.các phơng pháp nâng cao

I. PHNG PHP TCH MT HNG T THNH NHIU HNG T
1. i vi a thc bc hai (f(x) = ax
2
+ bx + c)
a) Cỏch 1 (tỏch hng t bc nht bx):
Bc 1: Tỡm tớch ac, ri phõn tớch ac ra tớch ca hai tha s nguyờn bng mi
cỏch.
a.c = M
Bc 2: Chn hai tha s a
i
c
i
sao cho M = a
i
.c
i
vi b = a
i
+ c
i

Bc 3: Tỏch bx = a
i
x + c
i
x. T ú nhúm hai s hng thớch hp phõn tớch tip.

2
+ 8x + 4) x
2
= (2x + 2)
2
x
2
= (2x + 2 x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
Tỏch thnh 4 s hng ri nhúm :
f(x) = 4x
2
x
2
+ 8x + 4 = (4x
2
+ 8x) ( x
2
4) = 4x(x + 2) (x 2)(x +
2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x
2
+ 8x) (9x
2
4) = = (x + 2)(3x + 2)
c) Cỏch 3 (tỏch hng t t do c)
Tỏch thnh 4 s hng ri nhúm thnh hai nhúm:
f(x) = 3x
2

(B
2
c)
2. i vi a thc bc t 3 tr lờn
Qua các ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng
khác thờng nhằm mục đích:
+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số
chung (cách 1).
+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)
Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số
tỷ lệ ngời ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức.
Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a đợc gọi là
nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0.
Nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a.
Giả sử đa thức: a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+ +a
nvới a
0
,a
1

,b
1
, ,b
n-1
,b
n

Z.
Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-ab
n-1
.
Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng a
n

ệ -ab
n-1
= a
n
tức l a l ớc của a
n
.
Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của hạng tử tự
do a
n
.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x
3
-x
2
-4.

-x
2
-4 =x
3
-8-x
2
+4 = (x
3
-8)-(x
2
-4)
=(x-2)(x
2
+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x
2
+2x+4-x-2)
=(x-2)(x
2
+x+2)

Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau:
*ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là
nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1.

Ví dụ; x
3
-5x
2
+8x-4 x-1
-x

+3x+9
Ta có 9-5=1+3
ệ -1 l nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x+1
x
3
-5x
2
+3x+9 x+1
-x
3
+ x
2
x
2
-6x+9
-6x
2
+3x+9
6 x
2
-6x
9x+9
-9x+9
0
VËy x
3
-5x
2
+3x+9 =(x+1)(x
2

nên các hệ số của q(x) cũng nguyên. Do đó, q(1) là số nguyên. Vậy
−
()
f
1
a1
là số
nguyên.
Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta có
−
+
()
f
1
a1
là số nguyên.
Ví dụ 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x
3
− 13x
2
+ 9x − 18 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x).
Dễ thấy
−
−−
18
31
,

ax a x a x ax a

(
−110
íi , , , ,
nn
vaa aa
là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x =
p
q
, trong đó p, q
∈

Z và (p , q)=1, thì p là ước a
0
, q là ước dương của a
n
.
Chứng minh
Ta thấy f(x) có nghiệm x =
p
q
nên nó có một nhân tử là (qx – p). Vì các hệ số
của f(x) đều nguyên nên f(x) có dạng: f(x) = (qx –
p)
−−
−−
++++
n1 n2
n1 n2 1 0

3

là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như
sau :
f(x) = (3x
3
– x
2
) – (6x
2
– 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x
2
– 2x + 5).
3. Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x
2
− 5xy + 2y
2
;
b) x
2
(y − z) + y
2
(z − x) + z
2
(x − y).
Hướng dẫn
a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax
2

= (y − z)(x
2
− y
2
) − (x − y)(y
2
− z
2
) = (y − z)(x − y)(x + y) − (x − y)(y − z)(y
+ z)
= (x − y)(y − z)(x − z)
Chú ý :
1) cõu b) ta cú th tỏch y

z =

(x

y)

(z

x) (hoc z

x=

(y

z)


gx x x x
ix x x x

Bi 2
: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

32 3
32 3
32 3 2
32 32
1/ 5 8 4 2/ 2 3
3/ 5 8 4 4/ 7 6
5/ 9 6 16 6/ 4 13 9 18
7 / 4 8 8 8/ 6 6 1
9/
+ +
+++ +
++ +
+ ++
xxx xx
xxx xx
xxx x xx
xxx xxx
32 3
332
32 32
33
6 486 81 10/ 7 6
11/ 3 2 12/ 5 3 9
13/ 8 17 10 14/ 3 6 4

4
+ x
2
+ 1 thnh nhõn t
Lời giải
Cách 1 : x
4
+ x
2
+ 1 = (x
4
+ 2x
2
+ 1) – x
2
= (x
2
+ 1)
2
– x
2
= (x
2
– x +
1)(x
2
+ x + 1).
Cách 2 : x
4
+ x

+ x
2
) – (x
3
– 1) = x
2
(x
2
+ x + 1) + (x –
1)(x
2
+ x + 1)
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
Ví dụ 13. Phân tích đa thức x
4
+ 16 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x
4
+ 4 = (x
4
+ 4x
2
+ 4) – 4x
2
= (x

+ 2x + 2)
2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 14. Phân tích đa thức x
5
+ x − 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1.
x
5
+ x − 1 = x
5
− x
4
+ x
3
+ x
4
− x
3
+ x
2
− x
2
+ x − 1
= x
3
(x
2
− x + 1) − x
2

= (x
2
− x + 1)[x
2
(x + 1) − 1] = (x
2
− x + 1)(x
3
− x
2
− 1).
Ví dụ 15. Phân tích đa thức x
7
+ x + 1 thành nhân tử
Lời giải
x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
– x + x
2
+ x + 1 = x(x
6
– 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3

4
+ x
5
+ 1
đều chứa nhân tử là x
2
+ x + 1.
*Phân tích đa thức thành nhân tử
dạng x
m
+ x
n
+ 1 (m, n
∈
n; m > n)
. NHỮNG ĐỀ TOÁN VÀ BÀI GIẢI:
Bài toán 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
42
1xx++
* Học sinh lớp 8 giải:
Ta có:

()
() ()
()()
42 4 2 2
2
22
22
22

121
1
11
11
1 1 31 31
xx x x x
xx
xxxx
xx xx
xx xx x x x x
++=+ +−
=+−
⎡⎤⎡⎤
=++ +−
⎣⎦⎣⎦
=++ −+
=++−+++−+

Bài toán 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
84
1xx++
* Học sinh lớp 8 giải:
Ta có:

()
()()
84 8 4 4
2
44
22

=++−+−+

* Học sinh lớp 9 giải:
Ta có:

()
()()
84 8 4 4
2
44
22
42
121
1
1
x
xxxx
xx
x
x
++=+ +−
=+−
=+−() ()
()()
()()( )
4242
42 42

Đối với bài này ta không thể sử dụng cách trên để giải vì nếu giải thì mũ n
sẽ là phân số rất phức tạp chẳng
hạn:
()
2
5
2
10 5 10 5 5 5
2
121 1
x
xxxxx x
⎛⎞
++= + +−= + −
⎜⎟
⎝⎠

NHỮNG BÀI TOÁN DẠNG KHÁC:
(
2mn≠
)
Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
54
1xx++
Bài giải:
Ta có:
54 5433
11xx xxxx++=++−+
( thêm bớt x
3

x
x++
Bài giải:
Ta có:
5522
11
x
xxxxx++= + − ++ ( Thêm bớt x
2
)

()( )
()( )
()
()()
()
()
()( )
52 2
23 2 2 2 2
22 232
1
11111
111 1 1
xx xx
xx x x xx x x x x
xx xx xx xx
=−+++
=−+++=−+++++
⎡⎤

2422 2
22 2 2 2
2222
2 643
1
11 1
11
11
11 1
111 1
11 1 1
11
xx xx xx
xx xx x x
xxxxx
xxxxx
xxxxxxx
x xxxxxxxx
xx x xx xx
xx xxxx
=−+−+++
=−+−+++
=− ++++
⎡⎤
=−++++
⎢⎥
⎣⎦
=− ++ ++++
=− ++ −+ ++++
⎡⎤

222
22
23
1
1
11 1
11
11 1
11 1
11
xxxxxx
xx xx xx
xx xx x x
xxxxx
xxxxxxx
xx x xx
xx xx
=+−−−+−
=+−+−−+
=+−+−−+
=+ −−−+
=+ −+ −− −+
⎡⎤
=−+ + −−
⎣⎦
=−+ −−

NHẬN XÉT:

Qua các bài toán trên ta thấy việc thêm bớt hạng tử tuỳ thuộc vào từng

11
1
xx xxxxxxxx
xxx xxx xx
++=+−++−+−+
=++−+++++()()()
()()
22 2 2
22
111
11
xxx xxx xx
xx xx
=++−+++++
=++ −+()()()()
1 1 31 31xx xx x x x x=++−+++−+

Bài toán 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
84
1xx++

Bài giải:

()()()()()

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
54
1xx++
Bài giải:
Ta có:

()()()
()()()
()()
54 543322
543 32 2
32 2 2
23
11
1
111
11
xx xxxxxxxx
xxx xxx xx
xxx xxx xx
xx xx
++=++−+−+−+
=++−+++++
=++−+++++
=++ −+ Bài toán 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
5
1

Ta có:
()()()()()
()()()()()
()( )
87 876655443322
876 654 543 32 2
62 42 32 2 2
2643
11
1
11111
11
xx xxxxxxxxxxxxxx
xxx xxx xxx xxx xx
xxx xxx xxx xxx xx
xx xxxx
++=++−+−+−+−+−+−+
=++−+++++−+++++
= ++− +++ ++− +++ ++
=++ −+−+

Đa thức
()
643
1xxxx−+−+ không phân tích được nữa
Bài toán 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
54
1xx++
Bài giải:
Ta có:

105 1099887766555443322
1098 765 543 2 987 654
82 52 32 2 72 42
28
1 1
1
111111
1
xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xx xxx xxx xx xxx xxx
x
xx xxx xxx xx xxx xxx
xx x
++= +−+−+−+−++−+−+−+−+−+
= +++++++++++−++−++−
= ++ + ++ + ++ + ++ − ++ − ++ −
=++ +
()
()( )
53 74
2 87543
1
11
xx xxx
xx xxxxxx
++−−−
=++ −+−+−+
Để giải bài toán này ta phải thêm bớt x
5

x+−
Ta có:
()()()
()()()
()()
5 5443322
542 43 32
23 2 3 2 3 2
32 2
11
1
111
11
xx xxxxxxxx
xxx xxx xx
xxx xxx xx
xx xx
+−=+−+−+−+−
=+−−+−++−
=+−−+−++−
=+− −+

b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
87
1xx−+
Ta có:
()()()()()
()()()()()
()( )
87 876655443322

11111
xx xxxxxxxxxxxxxx
xxx xxx xxx xxx xx
xxx xxx xxx xxx xx
−+=+−+−+−+−+−+−−+
=−++−+−−+−−++−+
=−++−+−−+−−++−+()( )
26532
11xx xxxx=−+ +−−+
d. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
10 5
1xx−+
()()()()()()(
()()()()()()(
()
105 1099887766555443322
10 9 8 9 8 7 7 6 5 6 5 4 5 4 3 3 2 2
82 72 52 42 32 2 2
28
1 1
111111
1
x x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xx xxx xxx xxx xxx xxx x
x
xx xxx xxx xxx xxx xxx x

()
2
22 2 2
44
44
4
1/ (1 ) 4 (1 ) 2/ 8 36
3/ 4 4/ 64
5/ 64 1 6/ 81 4
7/ 4 81
+−− −+
++
++
+
xxx x
xx
xx
x
44
44 42
8/ 64
9 / 4 10/ 1
+
+++
xy
xy xx

Bi 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:

72 75

2
+ 10x + 12 = y, a thc ó cho cú dng :
(y 12)(y + 12) + 128 = y
2
16 = (y + 4)(y 4) = (x
2
+ 10x + 16)(x
2
+
10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x
2
+ 10x + 8)
Nhn xột: Nh phng phỏp i bin ta ó a a thc bc 4 i vi x
thnh a thc bc 2 i vi y.
Vớ d 2. Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t :
A = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1.
Li gii
Cỏch 1. Gi s x 0. Ta vit a thc di dng :

22 2 2
22 2
61 1 1
Axx 6x7 xx 6x 7

+=+
. Do ú :
A = x
2
(y
2
+ 2 + 6y + 7) = x
2
(y + 3)
2
= (xy + 3x)
2

=
2
1
xx 3x
x
ộự
ổử
ữ
ỗ
ờỳ
-+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờỳ
ốứ

(3x − 1) + (3x − 1)
2
= (x
2
+ 3x − 1)
2
.
C¸c bμi to¸n
Bμi 1:Ph©n tÝch c¸c ®© thøc sau thµnh nh©n

tö
222 2 222
22
1/ ( 4)( 6)( 10) 128 2/ ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3/ ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4/ ( ) 4 4 12
5/ 2 2 2 15 6/ ( )( 2 )( 3 )(
++++ ++++−
++ + +++ + + +−
++++− + + + +
xx x x x x x x
xx xxx x xx xx
xxyyxy xaxaxax
4
42 222
22 222
22
4)
7 / 6 11 3 8/ ( ) 3( ) 2
9/ 2 3 3 10 10/ ( 2 ) 9 18 20
11/ 4 4 2 4 35 12/

2
+ (ad+bc)x + bd
= x
4
− 6x
3
+ 12x
2
− 14x + 3.
Đồng nhất các hệ số ta được :
ac 6
ac b d 12
ad bc 14
bd 3
ì
+=-
ï
ï
ï
ï
++=
ï
í
ï
+=-
ï
ï
ï
=
ï

2
− 2x + 3)(x
2
− 4x + 1).
C¸c bμi to¸n
Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
43 2 432
)612143 )44521=− + − + = + + ++aA x x x x bB x x x x
22432
4
) 3 22 11 37 7 10 ) 7 14 7 1
)863
=+ ++ + + =−+ −+
=−+
cCx xyx yy dDxx xx
eE x x
V. PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa
biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân
tử còn lại.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P = x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z(x – y).
Lời giải
Thay x bởi y thì P = y
2

222
()()()=−+−+−−Nama bmb cmc abc, với 2m = a+ b + c.
33
22 22 22
32323 2
333
22
)( )( ) .
)(2)(2).
)()()().
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
)()()()(1).
)()()().
)(
=++ ++ −
=+ − +
=+−++−
=+ − ++ − ++ −
=−+−+−+ −
=−+−+−
=−
cA a b c ab bc ca abc
dB aa b b a b
e C ab a b bc b c ac a c
f
D a ba b b cb c c ac a
g E a c b b a c c b a abc abc
hf ab c bc a ca b
kG ab a b
22 22

3
+ (z − x)
3
.
Lời giải
a) a
3
+ b
3
+ c
3
− 3abc = (a + b)
3
− 3a
2
b − 3ab
2
+ c
3
− 3abc
= [(a + b)
3
+ c
3
] − 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)
2
− (a + b)c + c
2
] − 3ab(a + b + c)

3
− a
3
− b
3
− c
3

Ví dụ 2
. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)
(a + b + c)
3
− a
3
− b
3
− c
3
.
b)
8(x + y + z)
3
− (x + y)
3
− (y + z)
3
− (z + x)
3
.

3
+ 3c(a + b)(a + b + c) − (a

+ b)(a
2
− ab + b
2
)
= (a + b)[(a + b)
2
+ 3c(a + b + c) − (a
2
− ab + b
2
)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c
2
) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a).
b)
Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c).
Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)
3
− a
3
− b
3
− c
3


2
+ ca) + c(a
2
+ b
2
+ ab) ;
b)
(a + b + c)(ab + bc + ca) − abc ;
c)
c(a + 2b)
3
− b(2a + b)
3
.
2.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)
xy(x + y) − yz(y + z) + xz(x − z) ;
b)
x(y
2
+ z
2
) + y(z
2
+ x
2
) + z(x
2
+ y

3
(x − z
2
) + z
3
(y − z
2
) + xyz(xyz − 1).
3.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)
a(b + c)
2
(b − c) + b(c + a)
2
(c − a) + c(a + b)
2
(a − b)
b)
a(b − c)
3
+ b(c − a)
3
+ c(a − b)
2
;
c)
a
2
b

e)
a
4
(b − c) + b
4
(c − a) + c
4
(a − b).
4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)
(a + b + c)
3
− (a + b − c)
3
− (b + c − a)
3
− (c + a − b)
3
;
b)
abc − (ab + bc + ca) + a + b + c − 1.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 16) :
5.
a) 6x
2
– 11x + 3 ; b) 2x
2
+ 3x – 27 ; c) x
2
– 10x + 24 ;

+ 6x
2
– x – 30 ; i) x
3
– 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).
7.
a) 27x
3
+ 27x +18x + 4 ; b) 2x
3
+ x
2
+5x + 3 ;c) (x
2
– 3)
2
+ 16.
8.
a) (x
2
+ x)
2
− 2(x
2
+ x) − 15 ; b) x
2
+ 2xy + y
2
− x − y − 12 ;
c) (x

2
)
2
− 2(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x + y + z)
2
+ (x +
y + z)
4
.
10.
(a + b + c)
3
− 4(a
3
+ b
3
+ c
3
) − 12abc bằng cách đổi biến : đặt a + b =
m và a − b = n.
11.
a) 4x
4
− 32x

+ 1 ; b) x
5
+ x + 1 ; c) x
8
+ x
7
+ 1 ;
d) x
5
− x
4
− 1 ; e) x
7
+ x
5
+ 1 ; g) x
8
+ x
4
+ 1.
14.
a) a
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b

+ x + 1)
2
.
16.
a) x
8
+ 14x
4
+ 1 ; b) x
8
+ 98x
4
+ 1.
17. Dùng phương pháp xét giá trị riêng :
M = a(b + c − a)
2
+ b(c + a − b)
2
+ c(a + b − c)
2
+ (a + b − c)(b + c −
a)(c + a − b).
18.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu :
a
2
(b – c) + b
2
(c – a) + c
2

22.
Cho a
2
+ b
2
= 1, c
2
+ d
2
= 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd =
0.
23.
Chứng minh rằng nếu x
2
(y + z) + y
2
(z + x) + z
2
(x + y) + 2xyz = 0 thì :
x
3
+ y
3
+ z
3
= (x + y + z)
3
.
24.
Tính các tổng sau :