Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 1
A. Lý thuyết cơ bản :
I. Qui tắc ñếm :
1. Qui tắc cộng : Một công việc nào ñó có thể thực hiện một trong hai phương án A hoặc B. Nếu
phương án A có m cách tực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kỳ cách nào
trong phương án A thì công việc ñó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân : Một công việc nào ñó có thể bao gồm hai công ñoạn A và B. Nếu công ñoạn A có m
cách thực hiện và ứng với mỗi cách ñó có n cách thực hiện công ñoạn B thì công việc ñó có m.n cách
thực hiện
II .Hoán vị:
1. Giai thừa :
+ n! = 1.2.3…n = (n -1)!n.
+ Qui ước : 0! = 1.
+
( )( )
!
1 2
!
n
p p n
P
= + +
(Với
n P
>
).


(
)
1
n
≥
. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là
một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là :
!
n
P n
=
.
3. Hoán vị lặp :
Cho k phần tử khác nhau :
1 2
, , ,
k
a a a
. Một cách sắp xếp n phần tử trong ñó gồm
1
n
phần tử
1
a
,
2
n


ủ
a k ph
ầ
n t
ử
.
S
ố
các hoán v
ị
l
ậ
p c
ấ
p n, ki
ể
u
(
)
1 2
, , ,
k
n n n
của k phần tử là :

( )
1 2
1 2
!
, , ,

ủ
a t
ậ
p A thành m
ộ
t dãy kín
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
hoán v
ị
vòng quanh c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
.
S
ố
các hoán v
ị
vòng quanh c
ủ
a n ph
ầ
n t

ử
c
ủ
a A
(
)
1
k n
≤ ≤
theo m
ộ
t th
ứ
t
ự
nào
ñ
ó

ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ

n
n
A n n n k
n k
= − − + =
−

Chú ý :
+ Công thức trên cũng ñúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
+ Khi k = n thì
!
n
n n
A P n
= =
.
2. Chỉnh hợp lặp :
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong ñó mỗi phần tử có thể ñược lặp lại nhiều
lần, ñược sắp xếp theo một thứ tự nhất ñịnh ñược gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A là :
k k
n
A n
=
.
IV. Tổ hợp:
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 3


n t
ử
.
S
ố
các t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
là :
( )
!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−
.
+ Qui

− −
= + .
+
1
1
k k
n n
n k
C C
k
−
− +
=
.
2. Tổ hợp lặp :
Cho tập
{
}
1 2
, , ,
n
A a a a
= và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp
gồm k phần tử, trong ñó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là :
1
k k
n n k
C C
+ −

A
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 4

- Có thứ tự, có hoàn lại :
k
n
A
.
V. Các dạng bài tập cơ bản trong nguyên lý ñếm :
1. Phương pháp chung giải bài toán về cấu tạo số :
Giả sử
,
m n
là các số nguyên dương với
m n
≤
thì :
a. Số cách viết
m
trong
n
chữ số khác nhau vào
m
vị trí ñịnh trước là
m
n
A

(
)
1
1
1
m
n
n A
−
−
− .
2. Các dạng toán thường gặp :
Dạng 1: Số tạo thành chứa các số ñịnh trước
Cho tập hợp gồm n chữ số, trong ñó có chữ số 0, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m chữ số khác
nhau sao cho trong ñó có k chữ số ñịnh trước (thuộc n chữ số nói trên) với
k m n
< ≤
.
Cách giải :
S
ố
t
ạ
o thành g
ồ
m
m
v
ị
trí

ủ
a gi
ả
thi
ế
t v
ề
t
ậ
p h
ợ
p
X
và ch
ữ
s
ố
0 nh
ư
sau :
a. Trong
X
chứa chữ số 0.
+ Ta có
(
)
1
m
−
cách chọn vị trí cho chữ số 0.

S m A A
− −
− −
= −
.
b. Trong
X
không chứa chữ số 0.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 5

Bước 1: Tính các số tạo thành chứa chữ số 0.
+ Lần lượt có
(
)
1
m
−
cách ch
ọ
n v
ị
trí cho ch
ữ
s
ố
0.
+ S
ố

− −
trong số
(
)
1
n k
− −
chữ số khác 0 mà không thuộc
X
vào
(
)
1
m k
− −
vị trí
còn lại là
1
1
m k
n k
A
− −
− −
.
+ Theo quy tắc nhân, ta ñược số các số ñó là
(
)
1
1 1 1

chữ số khác 0 mà không thuộc
X
vào
(
)
m k
−
vị trí còn lại
là
1
m k
n k
A
−
− −
. Theo quy tắc nhân, ta ñược các số ñó là
2 1
.
k m k
m n k
S A A
−
− −
= .
Bước 3: Theo quy tắc cộng, ta ñược số các số tạo thành thỏa mãn bài toán là :
1 2
S S S
= +
.
Ví dụ : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho

5.5. 42000
A =
số gồm 6 chữ số khác nhau và trong các chữ số ñó có mặt chữ số 0 và 1.
Dạng 2: Số tạo thành không chứa hai chữ số ñịnh trước cạnh nhau.
Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m
(
)
m n
≤
chữ số khác nhau sao cho
trong ñó có 2 chữ số ñịnh trước nào ñó không ñứng cạnh nhau.
Cách giải
:
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 6

Số tạo thành có dạng
1 2

m
a a a
và 2 ch
ữ
s
ố

ñị
nh tr
ướ

s
ố

,
x y
và ch
ữ số 0 như sau :
a. Nếu
n
chữ số ñã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số ñịnh trước
,
x y
khác 0.
Bước 1: Tính số các số tạo thành một cách bất kì.
+ Có
1
n
−
cách chọn vị trí cho chữ số 0, Chọn các chữ số còn lại ñặt vào các vị trí còn lại có
1
1
m
n
A
−
−
.
+ Vậy, có tất cả là
(
)

m
−
của
(
)
2
n
−
chữ số khác

,
x y
. Số các số ñó là :
2
2 2
m
n
S A
−
−
=
.
+ TH 2 :
1 2
a a xy
≠
. Lần lượt ta có
(
)
3

a x y
cho
(
)
3
m
−
vị trí còn lại là

3
3
m
n
A
−
−
. Theo quy tắc nhân, số các số ñó là :
(
)
(
)
3
3 3
3 2
m
n
S n m A
−
−
= − − .

(
)
1
1 1
1
m
n
S n A
−
−
= −
.
Bước 2: Tính số các số có hai chữ số
x
và 0 c
ạnh nhau :
(
)
2
2 2
2 3
m
n
S m A
−
−
= − . (Có
1
m
−

2 1
m m
n n
S A m A
−
−
= − − .
Ví dụ :
T
ừ
các ch
ữ
s
ố

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
có th
ể
l
ậ
p
ñượ
c bao nhiêu ch
ữ
s
ố
có 6 ch
ữ
s
ố

t k
ỳ
.
Có 6 cách ch
ọ
n ch
ữ
s
ố

ñầ
u tiên khác 0 và có
5
6
A
cách ch
ọ
n 5 trong 6 s
ố
vào 5 v
ị
trí còn l
ạ
i. V
ậ
y có
5
6
6.
A

5 4 3
6 5 4
6. 2 4.4. 3312
S A A A= − + =
số.
Dạng 3: SỐ tạo thành chứa chữ số lập lại
Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong ñó có một chữ số xuất hiện 3 lần, một chữ số
khác xuất hiện 2 lần và một chữ số khác hai chữ số trên xuất hiện 1 lần.
Giải :
+ Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 ñứng ñầu, lần lượt là :
- Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có
3
6
C
cách ch
ọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số ñó.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 8

- Có 9 cách chọn chữ số xuất hiện 2 lần và có
2
3
C
cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số ñó.
- Có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng.
Vậy ta ñược số các số ñó là :
3 2 3 2
6 3 6 3
10. .9. .8 720. .

(
)
. 1 .
k
m
S n n C
= − s
ố
.
Bước 2:
Vai trò c
ủ
a n ch
ữ
s
ố
nh
ư
nhau nên s
ố
các s
ố
có ch
ữ
s
ố

ñứ
ng
ñầ

p h
ợ
p g
ồ
m k ph
ầ
n t
ử
t
ừ
n ph
ầ
n t
ử
khác nhau, k ph
ầ
n t
ử
không có tính ch
ấ
t gì thay
ñổ
i n
ế
u
nh
ư
hoán v
ị
k v


Trang 9

Bước 1: Liệt kê các tính chất có thể có của tập con cần chọn.
Bước 2: Phân chia trường hợp (nếu có).
Bước 3: Tính số cách chọn bằng cách dựa vào công thức
k
n
C
.
Bước 4: Dùng qui tắc nhân và qui tắc cộng suy ra kết quả.
Ví dụ : Một hợp ñựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi ñỏ và 4 viên bi vàng.
a. Có bao nhiêu cách lấy ra 7 viên bi ñủ 3 màu, trong ñó có 3 viên bi xanh và nhiều nhất 2 viên bi ñỏ.
b. Có nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có ñủ 3 màu.
Giải :
a. Xét 2 trường hợp sau :
+ TH 1: Có 1 viên bi ñỏ :
- Khi ñó có
1
5
C
cách lấy 1 viên bi ñỏ, có
3
7
C
cách lấy ra 3 viên bi xanh và có
3
4
C
cách lấy ra 3 viên bi

5
C
.
3
7
C
.
2
4
C
cách lấy ra trong ñó có 2 bi ñỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng.
Vậy có tất cả
1
5
C
.
3
7
C
.
3
4
C
+
2
5
C
.
3
7


5 3 4 4
5 4 5 4
. . 9
C C C C
+ =
cách.
Vậy có tất cả
(
)
8
16
495 165 9 12201
C − + + = cách.
Dạng 2: Bài toán chọn người
Ví dụ : Lớp 11A của Tuấn có 11 học sinh nam và 18 học sinh nữ.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra một ñội văn nghệ gồm 10 người có nam và có nữ.
b. Chọn ra một tổ trực nhật gồm 13 người, trong ñó có một tổ trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu
Tuấn luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên.
Giải :
a. - Chọn 10 người trong 29 người cả nam và nữ có
10
29
C
cách.
- Chọn 10 người ñều là nam có
10
11
C
cách.

Dạng 3: Bài toán sắp xếp vật.
Ví dụ : Tại cuộc thi Theo Dòng Lịch Sử, ban tổ chức sử dụng 7 thẻ vàng và 7 thẻ ñỏ, ñánh dấu mỗi loại
theo các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai
thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau.
Giải :
- Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ ñỏ nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau.
- N
ếu các thẻ ñỏ nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ vàng nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 11

Vậy có tất cả 7!.7! + 7!.7! = 50803200 cách.
Dạng 4: Bài toán sắp xếp người.
Ví dụ : Một tổ có 8 học sinh gồm 5 nữ và 3 nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh trong tổ
ñứng thành một hàng dọc vào lớp sao cho.
a. Các bạn nữ ñứng chung với nhau.
b. Nam nữ không ñứng chung nhau.
Giải :
a. Các bạn nữ ñứng chung với nhau xem như một nhóm ñoàn kết nên ta có 4! Cách. Và có 5! Hoán vị
các bạn nữ với nhau. Vậy có 4!.5! = 2880 cách.
b. Các bạn nam ñứng riêng có 3! Cách. Các bạn nữ ñứng riêng ta có 5! Cách. Có 2! Cách ñổi chỗ 2
nhóm nam và nữ nên có tất cả 2!.3!.5! = 1440 cách.
Dạng 5: Bài toán ñếm trong hình học.
Ví dụ : Cho 15 ñiểm trong mặt phẳng, trong ñó không có 3 ñiểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các ñường
thẳng ñi qua hai ñiểm của 15 ñiểm ñã cho. Số giao ñiểm khác 15 ñiểm ñã cho do các ñường thẳng này
tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu.
Giải :
- Vì cứ 2 ñiểm có một ñường thẳng nên số ñường thẳng từ 15 ñiểm là
2

C
= 4095 giao ñiểm.
Dạng 6: Bài toán phân chia tập hợp.
Cho tập A có n phần tử khác nhau. Chia tập A thành các tập con
1 2
, , ,
k
A A A
, trong ñó mỗi tập
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 12

con
(
)
1,
i
A i k
=
có
(
)
1,
i
n i k
=
phần tử. Khi ñó việc chọn
i
n

Vậy có 4.
2
6
C
.
3
4
A
= 1440 cách phát ñề thi mà trong ñó có 1 em làm 2 bài thi.
TH 3: Có hai em nào ñó làm 2 bài thi.
- Có
2
6
C
cách chọn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 4.
2
6
C
cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 học sinh.
- Có
2
4
C
cách chọn 2 bài thi trong 4 bài thi còn lại và có 3.
2
4
C
cách phát 2 bài thi cho 1 trong 3 thí sinh
còn lại.
- Với 2 bài thi còn lại sẽ có 2! cách phát cho 2 thí sinh còn lại.

B. Bài tập :
I. Dạng Quy tắc ñếm :
Bài 1: Từ thành phố A ñến thành phố B có 3 con ñường, từ thành phố A ñến thành phố C có 2 con
ñường, từ thành phố C ñến thành phố D có 3 con ñường. Không có con ñường nào nối thành phố
B với thành phố C. Hỏi có bao nhiêu ñường ñi từ thành phố A ñến thành phố D.
ðS : 12 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn
8
2.10
, chia hết cho 3, có thể ñược viết bỡi các chữ
số 0, 1, 2. ðS :
7
2.3 1 4373
− =
số.
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên thỏa
1. Gồm 6 chữ số.
2. Gồm 6 chữ số khác nhau.
3. Gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ðS : a.
6
6
b. 6! c. 3.5!.
Bài 4: Có 25 ñội bóng tham gia tranh cúp. Cứ 2 ñội phải ñấu với nhau 2 trận. Hỏi có bao nhiêu trận ñấu.
ðS : 25.24 = 600 trận.
Bài 5: Một bó hoa gồm có 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng ñỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách
chọn ra 5 bông hồng có ñủ 3 màu.
Bài 6: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số thỏa
1. Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
2. Số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau.

9
9
A
. b.
5
9
c. 6.

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 15

Bài 14: Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ñôi một ñược tạo thành từ 6 chữ số 1, 3,
4, 5, 7, 8.
ðS : 37332960.
Bài 15: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng ñỏ, người ta muốn chọn ra một bó hoa
gồm 7 bông. Hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong ñó
1. Có ñúng 1 bông hồng ñỏ.
2. Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng ñỏ.
ðS : a. 112 b. 150.
II. Dạng Rút gọn biểu thức :
Bài 1: Rút gọn cá biểu thức sau
1.
( )( ) ( )( )
(
)
( )
(
)
( )

( )
(
)
( )
1 !
5!
.
1 1 !3!
m
C
m m m
+
=
+ −
.
4.
2 5
5 10
2 5
7
A A
D
P P
= +
.
5.
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
E P A P A P A P A PP P P
= + + + −

n
k
n n k
P C C C
H
A P C
+
−
+ +
= + .

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 16

III. Dạng Chứng minh :
Bài 1: Chứng minh rằng
1.
(
)
1 1
1
n n n
P P n P
− −
− = − .
2.
(
)
(

1 1 1 1

n
n
A A A n
−
+ + + =
với
, 2
n n
∈ ≥
ℕ
.
2.
2 1 2
.
n n n
n k n k n k
A A k A
+ +
+ + +
+ =
.
3.
. .
k p k p k
n n k n p
C C C C
−
−

+ − +
+
+ + =
. Với
m n
≤
.
6.
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
− − −
+
+ + + =
với
3
k n
≤ ≤
.
7.
(
)
(
)
2
2
1 1

x
ở 2 vế.
9.
(
)
(
)
(
)
2 2 2
0 1
2

n n
n n n n
C C C C
+ + + =
.
HD: Sử dụng câu 8 với
p q r n
= = =
.
10.
0 2 4 2 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2

p p
p p p p p p p p
C C C C C C C C
−

.
2.
(
)
( )
(
)
( ) ( )
1 ! . 1 !
1 5
. 5
2 1 3 !4! 12 3 . 4 !2!
n n n
n n n n n
 
+ −
− ≤
 
 
− + − − −
 
.
3.
2
2 3
. . 8
P x P x
− =
.
4.

A A n+ = + .
2.
2 2
2
3 42 0
n n
A A
− + =
.
3.
2
4
1 3
210
.
n
n
n
P
A P
+
−
−
= .
4.
(
)
2 2
. 72 6 2
x x x x

.
Bài 3: Giải các phương trình và bất phương trình sau.
1.
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C
−
+
=
−
.
2.
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
− = .
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 18

3.
1 2 3 10

n
n
C
A P
−
−
+
< .
7.
( )
2
5
3
60
!
k
n
n
P
A
n k
+
+
+
≤
−
.
8.
4 3 2
1 1 2



=


2.
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C
+
−

− =


− =



3.
2 5 90
5 2 80
y y





=



VI. Nhị thức newton :
1. Công thức khai triển nhị thức newton : Với mọi
n
∈
ℕ
và với mọ cặp số a, b ta có :

( )
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
.
2. Tính chất :
+ Số các số hạng trong khai triển bằng n + 1.

C C
= =
và
1
1
k n k
n n n
C C C
−
+
+ =
.
3. Nhận xét : Nếu trong khai triển nhị thức newton, ta gán cho a và b những giá trị ñặc biệt thì ta sẽ thu
ñược những công thức ñặc biệt, chẳng hạn :
+
( )
0 1 1 0 1
1 2
n
n n n n n
n n n n n n
x C x C x C C C C
−
+ = + + + ⇒ + + + =

+
( ) ( ) ( )
0 1 1 0 1
1 1 1 0
n n n

.
3.
5
3
2
1
x
x
 
−
 
 
. 4.
6
2
1
x
x
 
−
 
 
.
Bài 2:
1. Tìm hệ số của
12 13
x y
trong khai triển
( )
25

Bài 4: Cho ña thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 20
1 2 1 20 1
P x x x x
= + + + + + + ñược viết dưới dạng

(
)
2 20
0 1 2 20

P x a a x a x a x
= + + + + . Tìm h
ệ
s
ố

15
a
.
Bài 5:
Khai tri
ể
n
( ) ( )
80
80
0 1 80
2

1. Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức
(
)
5
3
3 2
+ .
2. Tìm số mũ n của biểu thức
3
1
12
n
b
 
+
 
 
. Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và thứ 3
trong khai triển của nhị thức ñó là 7 : 2 . Tìm số hạng thứ 6.
Bài 8: Trong khai triển của nhị thức
21
3
3
a b
b a
 
+
 
 
 

+ theo lũy thừa tăng của x, cho biết
3 5
4 6
4
40
3
T T
T T
=



=


. Tìm n và x.
4.
Cho khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
10
9 10
0 1 9 10
1 2

3 3

+
.
+
.
k i
n m
C C
liên quan
ñến so sánh hệ số của
( ) ( ) ( )
1 . 1 1
n m n m
x x x
+
+ + = +
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 21

+
k
n
kC
liên quan ñến ñạo hàm của
( )
1
n
x
+ . ( Nếu có dạng

ñế
n tích phân c
ủ
a
( )
1
n
x
+ .

Bài 1:
Tính các t
ổ
ng sau.
1.
0 1
1

n
n n n
S C C C
= + + +
.
2.
0 2 4
2

n n n
S C C C
= + + +

1
n
x
+
b
ằ
ng 1024, hãy tìm h
ệ
s
ố
a (a là s
ố
t
ự

nhiên) c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng
12
a
x
trong khai tri
ể
n
ñ
ó.

2.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
(
)
(
)
2 3 2
2.1 3.2 1 1 2
n n
n n n
C C n nC n n
−
+ + + − = −
.
Bài 5:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

1.

2
1 3 5 2 1
2 2 2 2

C C C C
n n
+
−
 
− + + + = + −
 
+ +
.
3.
(
)
1 2 3 1 1
2 1 .2
n n n
n n n n n
C C C n C nC n
− −
+ + + + − + = .
4.

(
)
(
)
2 3 2
2.1 3.2 1 . 1 2
n n
n n n
C C n n C n n

+ Hai biến cố xung khắc :
A B
φ
∩ =
.
+ Hai biến cố ñộc lập : Nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng ñến việc xảy ra biến cố kia.
b. Xác xuất.
+Xác suất của biến cố :
( )
(
)
( )
n A
P A
n
=
Ω
.
+
(
)
(
)
(
)
0 1, 1, 0
P A P P
φ
≤ ≤ Ω = =
.

1
P A P A
= −
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 23

+ Qui tắc nhân : Nếu A, B ñộc lập thì
(
)
(
)
(
)
. .
P A B P A P B
= .
2. Bài tập :
Bài 1:
Gieo m
ộ
t con súc s
ắ
c cân
ñố
i
ñồ
ng ch
ấ

n là s
ố
l
ẻ
.
3.
Tích hai m
ặ
t xu
ấ
t hi
ệ
n là s
ố
ch
ẵ
n.
ðS : a.
5
36
. b.
1
4
c.
3
4
.
Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong ñó có 15 học sinh khá môn toán, 16 em học khá môn văn.
1. Tính xác suất ñể chọn ñược 2 em học khá cả 2 môn.
2. Tính xác suất ñể chọn ñược 3 em học khá môn toán nhưng không học khá môn văn.

.
Bài 5: Một lớp có 30 học sinh, trong ñó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3
em
ñi dự ñại hội, tính xác xuất ñể.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 24

1. Cả 3 em ñều là học sinh giỏi.
2. Có ít nhất một học sinh giỏi.
3. Không có học sinh trung bình.
3. Biến ngẫu nhiên và rời rạc.
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc.
+
{
}
1 2
, , ,
n
X x x x
= .
+
(
)
k k
P X x P
= =
.
1 2 1
1

.
+
( ) ( )
X V X
σ
=
.
Bài 6: Hai cầu thủ bóng ñá sút phạt ñền. Mỗi người ñá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là
0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất ñể cả hai người cùng làm bàn 0,56
và xác suất ñể bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94.
Bài 7: Một hộp ñựng 5 viên bi ñỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi ñỏ lấy ra. Tính
kỳ vọng, phương sai và ñộ lêch chuẩn của X.
Bài 8: Hai xạ thủ ñộc lập cùng bắn vào một bia. Mỗi người bắn một viên ñạn. Xác suất ñể xạ thủ thứ nhất
bắn trúng bia là 0,7. Xác suất ñể xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số ñạn bắn trúng bia.
Tính kỳ vọng và phương sai của X. Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 25

IX. Các bài toán trong những kỳ thi ñại học :
Bài 1: Cho khai triển nhị thức :

1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 32 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

(
2
n
≥
, n nguyên) nội tiếp ñường tròn
(
)
O
. Biết rằng số tam giác có các
ñỉnh là 3 trong 2n ñiểm
1 2 2

n
A A A
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4 trong 2n ñiểm

1 2 2

n
A A A
. Tìm n.
(Khối B – 2002)
Bài 3: Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C
+ + + + = . (Khối D – 2002)
Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa

ng,
0
x
>
).
(Khối A – 2003)
Bài 5:
Cho n là s
ố
nguyên d
ươ
ng, tính t
ổ
ng
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
.
(Khối B – 2003)

(Khối D – 2003)
Bài 7:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
8
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
( )
8
2
1 1
x x
 
+ −
 
.
(Khối A – 2004).

p
ñượ
c bao nhiêu
ñề
ki
ể
m tra, m
ỗ
i
ñề
g
ồ
m 5 câu h
ỏ
i khác
nhau, sao cho trong m
ỗ
i
ñề
nh
ấ
t thi
ế
t ph
ả
i có
ñủ
3 lo
ạ
i câu h