LUYỆN THI ĐẠI HỌC
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
GV. ĐỖ VĂN THỌ
(Biên Soạn Lần 1)
Năm 2012
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
2Chuyên Đề: Hệ Phương Trình
I. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:
2
1
1
x
y
x
thay vào (1) ta được
2 2
2 2 2 2
1 1
3 4 1 1 2 1 1 3 1
x x
x x x x x x x x
x x
Suy ra nghiệm của hệ là
1; 1
và
5
2;
2
* Dạng 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các
phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 2
2 1
2 1 2 2 2
xy x y x y
x y y x x y
0
x y
2 1 0 2 1
x y x y
thay vào (2) ta được:
2 2 2 2 1 2 2 0
y x y y y y
(do
0
y
)
2 5
y x
* Dạng 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai
của một ẩn, ẩn còn lại là tham số
Ví dụ: Giải hệ phương trình
x
từ
đó ta được nghiệm
5 4 3
4 4
y x
y x
Thay (3) vào (1) ta được
2
4
0
5 4 5 4 4
5
0 4
x y
x x x
x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
4
II. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ:
Điểm quan trọng trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
; ; ;
u f x y v g x y
có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện
sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia một biểu
thức khác 0
Ví dụ:
2
2
1 4 1
1 2 2
Đặt
2
2
1
; 2 1
1
a b
x
a b y x a b
ab
y
Giải
Điều kiện
0
x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
5
2 2
2
3
3 7
1
3
x y x y
x y
HPT
x y x y
2 2
3 13 1
3 2
a b
a b
. Giải hệ ta được
2; 1
a b
(do
2
a
) từ đó
ta có
1
2
1 1
1 0
1
x y
x y x
x y
;
f
là hàm đơn điệu trên
tập D và x, y thuộc D. Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x, y thuộc tập
mà hàm
f
đơn điệu
* Dạng 1: Một phương trình trong hệ có dạng
f x f y
, phương
trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đó hàm
f
đơn
điệu
Ví dụ:
Giải hệ phương trình
3 3
8 4
5 5 1
1 2
Ta sẽ giới hạn
;
x y
từ phương trình (2)
8 4
1; 1 1; 1
x y x y
Xét hàm số
3
5
f t t t
với
1;1
t có
2
' 3 5 0; 1;1
f t t t , do đó
* Dạng 2 Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả
hai trường hợp (1) và (2)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
Đặt
1; 1
a x b y
ta được hệ
2
2
t t
t t
f t t t f t
t
Vì
2 2 2
1 1 0 ' 0,
t t t t t f t t
do đó hàm số
f t
đồng biến trên R nên phương trình (3)
a b
thay vào phương
trình (1) ta được
2
1 3 4
a
a a
a
hay hàm
g a
nghịch biến
trên R và do PT (4) có nghiệm
0
a
nên PT (4) có nghiệm duy nhất
0
a
. Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là
1
x y
IV. Sử dụng phương pháp đánh giá:
Với phương pháp này cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và
nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
3
2
2
3
2 2
1
2 9 2 9
xy xy
x y
x x y y
Ta có
2
3
2
3
3 3
2 2
2 2
2
2 9 1 8 2
2
2 9 2 9
xy xy
xy
x x x xy
x x x x
Tương tự
thử
lại ta được nghiệm của hệ là
0;0 ; 1;1
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
8
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3
3
3 4
2 6 2
y x x
x y y
Giải
HPT
x
từ (1) suy ra
2 0
y
điều này mâu thuẫn với PT (2) có
2
x
và
2
y
cùng dấu. Tương tự với
2
x
ta cũng suy ra điều vô
lí. Vậy nghiệm của hệ là
2
x y
V. Phương pháp thế bằng một biểu thức của ẩn
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 1
x
y
x
thay vào (1)
2 2
2 2
1 1
3 4 1
x x
x x x x
x x
Với
0
x
loại
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
9
Vậy nghiệm của hệ là
5
1; 1 ; 2;
2
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3 1
1 1 4 2
x y xy
x y
2 1 1 11
2 4 11
3
3
4 4 121 22
3 26 105 0
3
35
3
3
x y xy
x y xy
xy x y
xy xy xy
x y xy
x y xy
xy xy xy xy
xy xy
x y xy
xy xy
Bài tập
Bài 1:
3 2
2
3 6 0
3
y y x x y
x xy
ĐS:
3 3 3 3
; ; ;
2 2 2 2
Bài 2:
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
ĐS:
1 17 13
;1 ; ;
2 20 20
Bài 4:
2 2
5
2
3
2
x y xy
x y
y x
2; 2 ; 2; 2 ; 1;2 ; 2; 1
Bài 6:
2
5 3
x y x y y
x y
ĐS:
4
1;
5
Bài 7:
2 2 4 2
2
1 3
2
ĐS:
2; 1
Bài 9:
2 0
1 2 1 1
x y xy
x y
ĐS:
1 5
2; ; 10;
2 2
VI. Thế bằng hằng số
2 2
2 2
2
2 2
1
1 3
2 2
2 4
x y x xy y
x y x xy y
HPT
y x xy y
y y x
Như vậy
3 3
3 3
2 2
1
0
1
2 3 0
x y
I
x y
I
x y
II
x xy y
3 3
2 0
1
x y x y
x y
. Tự giải tiếp
ĐS
3 3
3 3
1 1 1 1
; ; ;
2 2 9 9
2 2
3 6 4 1
2 4
3 6
3 6 2
x y x y
x y x y
HPT
x y
x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
12
Thay (2) vào (1) ta có:
2 2
2 2
12 0
3 6
x x xy y
x y
2
0 3 6
3 thay vµo (2) 3;1 ; 3; 1
6 6 6 6
4 thay vµo (2) 4 ; ; 4 ;
13 13 13 13
x y VN
x y
x y
Bài tập:
Bài 1:
2 2
3 3
1
3
x y xy
x y x y
. ĐS:
1;0 ; 1;0
Bài 2:
3 3 2
4 4
1
4 4
x y x y
ĐS:
1;3 ; 3;1
Bài 4:
2 2
2 2
12
12
x y x y
x y x
ĐS:
2 2
y x
x y y x
ĐS
1;1 1; 1
Bài 7:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
y x
Bài 9: (Dự bị - 2005)
2 2
4
1 1 2
x y x y
x x y y y
ĐS:
2;1 ; 1; 2
Bài 10: (Dự bị - 2005)
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
,
Bài 12: (A - 2003)
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
ĐS:
Bài 13: (Dự bị 2006)
8 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
ĐS:
Bài 15: (Dự bị 2006)
2 2
2
2 2
3
7
x xy y x y
x xy y x y
ĐS:
Bài 16: (Dự bị 2006)
x y
x
ĐS:
Bài 18: (Dự bị 2007)
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
ĐS:
Bài 19: (A - 2010)
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Bài 21: (A - 2008)
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2
Bài 23: (D - 2008)
2 2
2
2 1 2 2
x y xy x y
x y y x x y
ĐS:
Bài 24: (B - 2009)
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
ĐS:
2 5 4 6 2 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
ĐS:
Bài 27:
2
2 4 1
5
2
3
2
x xy
x y
x
x y
Bài 29:
2 2
20
136
x y x y
x y
ĐS:
Bài 30:
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ĐS:
Bài 31:
4;4
Bài 33:
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
17
Bài 34:
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
y xy x
x y x
ĐS:
Bài 37:
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
y x
y
x y
1
2 10
2
2
3
2
x y
x y
x y
x
x y
Bài 40:
1
3
2
4
2
ĐS:
Bài 42:
2
2 2
2 2
19
7
x xy y x y
x xy y x y
Bài 43:
2 2
2 2
12
12
x y x y
Bài 45:
2 2
2 2
3 1 0
4 5 2 1 0
x x y
x x y
ĐS:
Bài 46:
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y
ĐS:
Bài 49:
6 2 3
6 2 3
x y
y x
ĐS:
Luyện Thi Đại Học Hệ Phương Trình GV. Đỗ Văn Thọ
19
Bài 50:
2 2
2 2
3 4 0
2 2 11 6 2 0
x xy y y
x xy y x y
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
xyx y
Bài 53:
2 2 7
3 2 23
x y x y
x y
ĐS:
Bài 56:
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ĐS:
Bài 57:
5
5 5 8
x y
x y
ĐS:
3 1 1 1 1 1 1 1
3; 3 ; 3; 3
8 4 2 3 16 8 8 4
Bài 60:
2 2
2
3 1
8 9
y x y
x y x y
ĐS:
Bài 62:
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
Bài 63:
Copyright: Tài liệu đại học ©