Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Dạng :
⎨
(1)
111
22
2
ax by c
ax by c
+=
⎧
+=
⎩

Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng
b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :
•
1221
22
11
baba
ba
ba
D −==
(gọi là đònh thức của hệ)
•

⎪
⎧
=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
• Nếu D = 0 và 0
≠
x
D hoặc
0
≠
y
D
thì hệ vô nghiệm
• Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

Ý nghóa hình học: Giả sử (d
1
) là đường thẳng a

3. Hệ (I) có vô số nghiệm
⇔
(d
1
) và (d
2
) trùng nhau

Áp dụng:
Ví dụ1: Giải hệ phương trình:
⎩
⎨
⎧
=+
−=−
234
925
yx
yx
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=+
+=+
2
1
myx
mymx
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình :

=
−∨ =−
)
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:
Ví dụ : Giải hệ:
⎩
⎨
⎧
=−+
=+
522
52
22
xyyx
yx
Cách giải: Giải bằng phép thế
2.
Hệ phương trình đối xứng :
1.
Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì hệ phương trình không thay đổi.
b.Cách giải:

Bước 1

10
: Đặt x+y=S và xy=P với ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
2

yxyx
22
7
331
6
x
yxy
xy xy
++ =−
⎧
⎨
+
−−=
⎩
3) 4)
⎨

⎩
⎨
⎧
=+
=++
30
11
22
xyyx
yxxy
⎩
⎧
=+++

xyyx
xyyx
7)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+
4
4
xyyx
yx
8)
⎩
⎨
⎧
=+
=+
2
34
44
yx
yx
1) (0;2); (2;0) 2)
(2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10 ;1 10)−− + − − +
3)
(
2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:

• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .

11

Áp dụng:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
22
22
23
23
xy y
yx x
⎧
+= −
⎪
⎨
+= −
⎪
⎩

−+
⎪
⎩

4)
2
2
1
3
1
3
xy
x
yx
y
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
+=
⎪
⎩
5)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

ax bxy cy d
ax bxy cy d
⎧
++=
+
+=
⎪
⎩ b. Cách giải:

hoặc
y
t
x
=
. Giả sử ta chọn cách đặt
x
t
y
= .
x
t
y
=
Đặt ẩn phụ
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?
Bước 2: Với y 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta

495
5626
22
22
yxyx
yxyx
32
32
23
67
xxy
yxy
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
a. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình :
1) 2)
⎨
3)
⎩
⎨
⎧
=++−+

22
x y 10x 0
x

12
Ví dụ: Giải hệ phương trình :
y
4x 2
y
20 0
⎧
+− =
⎪
⎨
++−−=
⎪
⎩

c. Biến đổi về tích số:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
+=+
)(3
22

x

Hết