T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM

I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh
()
xAy =

()
0xA ≥
tgxy
=

π+
π
≠ k
2
x

()
()
xBlogy
xA
=

()
()
⎩
⎨

x
e
a
y

)0a(x >∀

()
n2
xAy =

()
()
+
∈
≥
Zn
0xA

⎢
⎣
⎡
=
xarccos
xarcsin
y

1x1
≤
≤

xB
xAy =
(
)
0xA >
(
)(
() ()
⎢
⎣
⎡
±
=
xgxf
xgxf
y

)

gf
DDD ∩=

II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}
1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D
Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT
()
()
bxf
axf
≥


2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT:

()
[]
()
()()
2222
2
dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT *
đònh. xác xA làm xa, aaxA *
++≤+≥+
∀∀≥+III. HÀM HP g
o
f

[]
() ()
[]
()
{}
()
(){}
⎢
⎣
⎡
⊂∧≠

∈∀±≠−⇒
⎥
⎦
⎤
∈∀−=
∈∀=−
V. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1: Khử dạng vô đònh
0
0

Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x
0
), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử
số và mẫu số trong
()
()
xg
x
f
lim
0
xx→
với các chú ý:
• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x
0
). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer.
• Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó.

llh llh 3

đó) t
ư
ï th
ư
ù theo 0 (dạn
g
x
g
x
f
li
m
0x
∞
×
→

2. Phương pháp 2: Khử dạng vô đònh
∞
∞

•
PP
1
: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô đònh.
•
PP

-
2

2
2
n
nn 3. Phương pháp 3: Khử dạng vô đònh
∞
−
∞

Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là:
1/ Sử dụng lượng liên hợp.
2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận:
()
x
a2
b
xa~cbxax
2
ε++++ trong đó: a > 0 và
()
0xlim
x
=ε
∞→
3/ Sử dụng các hằng đẳng thức.
4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng.
4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác
• TH

→→
→
==
−
⎡⎤
=
⎣⎦
⎡⎤
⎣⎦

Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác.

()()
(
)
(
)
llh llh
1 sinu 1 sinu 1 cosu 1 cosu+←⎯→− + ←⎯→−

• TH
2
: Khi hàm lượng giác có dạng vô đònh (x tính bằng rian)
0
xx →
* Đặt:
⎩
⎨
⎧
→⇒→

⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒
==
∈∀≤≤
→
→→
Lxglim
Lxhlimxflim
x|Vx,xhx
g
x
f
0
00
0
xx
xxxx
0x

6. Hàm chứa giá trò tuyệt đối:
(
)
(
)
() ()
00
00

xfxflim
Dx,Rxf
y
0x
0
xx
00
0
0
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
* Liên tục tại x
0
:
() () ( )
(
)
(
)
() ( )
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇒==
−
+
−+

lim 1
x0
x
tgx
lim 1
x0
x
lim U x 0
x0
sin U x
lim 1
x0
Ux
tgU x
lim 1
x0
Ux
1cosx 1
lim
2
x0
2
x
=
→
=
→
=
→
=

x
0a1
x
lim a
x
=+∞
→+∞
+
=
→−∞
=+∞
→+∞
>
+
=
→−∞
=+∞
→+∞
=
→−∞
+
=
→+∞
<
<
=+∞
→−∞
⎫
⎪
⎪

x
lim x. ln x 0
x0
lim log x
a
x
0a1
lim log x
a
x0
=+∞
→+∞
=−∞
+
→
=+∞
→+∞
>
=−∞
+
→
+
=
→+∞
−
=
+
→
=−∞
→+∞

x'
f
lim
xg
x
f
lim
00
xxxx →→
=

VI. ĐẠO HÀM:
()
()()
x
x
f
xx
f
lim
x
y
limx'f
00
xxxx
0
00
Δ
−Δ
+

−
=
−
+
→
−
→
+
→
0
0
xx
0
0
xx
0
0
xx
0
xx
xfxf
limx'f trái ĐH
xx
xfxf
limx'f phảiĐH
xx
xfxf
limx'f
0
0

, cần làm 3 bước:
B
1
: Kiểm tra ; tìm số trò f(x
f0
Dx ∈
0
) (1)
B
2
: Tìm
()
Rbx
f
li
m
0
xx
∈=
→
(2)
B
3
: So sánh (1) và (2); nếu
() ( )
bx
f
x
f
li

==⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
−+
−
+
→→
→
→

Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x
0
:
(1) PP
2
: f là hàm sơ cấp xác đònh tại x
0
⇒ f liên tục tại x
0
.
(2) PP
3
:
0
y

2
: f liên tục trên
[]
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇔
btại trái tục liên f
a tại phảitục liên f
ba; trong tục liên f
b;a

2. Tìm đạo hàm tại một điểm:

-
3
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
B
1
: Tính
()
(
)
R bnếu và b
xx

+
0
0
0
xx
x'f
xx
xfxf
lim
0
: đạo hàm bên phải điểm x
0
.
*
() ( )
(
−
→
=
−
−
−
0
0
0
xx
x'f
xx
xfxf
lim

Δ
Δ

B
3
: Tính
()
Rxg
x
y
lim
0x
∈=
Δ
Δ
→Δ
; thì kết luận: f’(x) = g(x).
Đạo hàm Vi phân
1) Hàm cơ bản:
()
()
()
22
v
'v
v
1
v
'v.uv'.u
v

u)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)]
hay y
0
= y’
u
.u’x.
3) Hàm ngược:
Cho: . Khả đạo hàm theo x và có hàm
ngược: .
()
()
⎩
⎨
⎧
=→
→
xfyx
DfD:f
()
()
⎩
⎨
⎧
=→
→
−
−
yfxy
DDf:f
1

dv.udu.v
v
u
d
dv.udu.vv.ud
dvduvud
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
±
=
±

3) Hàm hợp:
[
]
()
()
[
]
() ()
[
]
() () ()

+==⇒
u
'u
vuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm:
Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x)
(
)
nn
u;x

(
)
'u.u.n;x.n
1n1n −−

sinx cosx
C 0 cosx -sinx
x 1 tgx
xtg1
xcos
1
2
2
+=

(
)


-
4
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
lnx
x
1

cotgx
()
xgcot1
xsin
1
2
2
+−=−

log
a
x
alnx
1 5. Đạo hàm cấp cao:
Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y
(n)
= f
(n)

0
) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thò (C): y = f(x) tại điểm đó:
ϕ
M(x ,y )
00
(h.1)
t
x
(C): y = f(x)
(
0
x'
)
f
t
g
k
=
ϕ
=
(là ý nghóa hình học của đạo hàm)
• Nếu một hàm f có đạo hàm tại x
0
thì hàm f liên tục tại điểm x
0
.
• Nhưng một hàm f liên tục tại x
0
thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x

∀
≤
⇔

Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghòch biến) trong D có thể bằng không
tại những giá trò rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3).
()
D; ⊂βα
y
x
x
0,1
f'(x )=0
0,1
f'(x )=0
0,2
x
0,2
b
a
B
(h.2)
A
0
C
D
y

-
5

0,1
∀∈αβ
x
0
β
a
b
(h.3)
A
0
C
D

⎩

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ

• Giả sử hàm f : y = f(x) xác đònh trên đoạn [a;b]
) Hàm f đạt một cực đại tại , nếu tồn tại một lân cận
(
b;ax
0
∈
)
(
)
(
)
b;axV
0
∈
sao cho:
() ( )
00
xx;x
f
x
f
≠

) và đạt một cực trò tại x
0
đó thì điều kiện cần là f’(x
0
) = 0.

y
a
x
0
b
A
B
0
f'(x )=0
0
(h.9)
f'(x )>0
0
f'(x )<0
0
(C):y=f(x)
x

y
a
x
0
b
A

0
;f(x
0
)) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang. Điều kiện
(*) có thể thay thế bằng f’(x
0
) và f liên tục tại x
0
.
• Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ tại đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó.
* Đònh lý 3: (Tồn tại điểm uốn)
Nếu f có đạo hàm bậc hai f” tại V(x
0
) (**) và f”(x
0
) = 0; đồng thời f” đổi dấu khi đi qua x
0
thì M(x
0
;y
0
) là điểm uốn của (C) : y = f(x).
Trong (**) nếu f” không tồn tại thì cần có thêm tồn tại
(
)
00
xVx
∈
để f liên tục tại x
0

0
. Cụ thể:

f'(x )=0
0
f"(x )<0
0

f'(x )=0
0
f"(x )>0
0* Đònh lý 5: (Điều kiện tồn tại hàm ngược - Điều kiện đủ)
Nếu f là một hàm số liên tục, đơn điệu ngặc trong [a;b] thì f có hàm số f
-1
xác đònh trên [f(a);f(b)].
• Lúc đó f
-1
cũng liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f.
• Xét tính đối xứng của hai đồ thò hai hàm ngược nhau (C) : y = f(x) và (C
-1
) : y = f
-1
(x) qua đường phân giác thứ nhất.
• Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta sẽ biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) sẽ là hàm tăng ngặt). Lúc đó, ta có:
() ()
() ( )
DfDx;xxf

x'g
x'f
lim
0
0
Dạng
xg
xf
lim
0
0
0000
n
n
xxxxxxxx →→→→
====
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ -
6
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
) Trong đó n0 là chỉ số dừng của đạo hàm cấp n khi dạng vô đònh
⎟

;0;
• Tính lồi lõm của hàm số trong đẳng thức Jensen. y

a
x
1

x
2

b
0
x
2

x

x

2

1

+

⎟
⎠


1

+
y
a
x
1
x
2
b
0
x
2
xx
21
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
2
xx

∈
⎧
⎪
⎛⎞
⎪
⎨
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩

Dấu đẳng thức trong BĐT xảy ra khi x
1
= x
2
= = x
n
.
* Đònh lý Lagrance:
[]
()
( )() () ( )()
xfabafbf;b;ac
ba; đạo khảf
ba; tục liên f
−=−∈∃⇒
⎩
⎨
⎧


I. TÍNH TĂNG - GIẢM (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ:
()
()
(
)
(
)
() ( )
⎢
⎣
⎡
∈∀≥
<⇒<∈∀
⇔
biếnđồng số Hàm :b;ax,0x'f
xfxfxx:b;ax,x
ba; trên tăng f
212121

()
()
(
)
(
)
() ( )
⎢
⎣
⎡


II. TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG:
1. Hàm bậc 2: . Tăng, giảm trong
bax2'ycbxaxy
2
+=⇒++=
(
)
+
∞
α
;

Hệ số
Hàm f tăng
()
+
∞
α
∈∀≥ ;x,0'
y
Hàm f giảm
()
+
∞α∈∀≤ ;x,0'
y

a = 0
11
mnhận :0b'ymm >=⇒=

[
)
+∞α+∞α ; hay;
Hệ số
f tăng
()
+∞α∈∀≥ ;x,0'
y

Hệ số
f giảm
()
+
∞α∈∀≤ ;x,0'
y

a = 0 Xét dấu y’ a = 0 Xét dấu y’
⎩
⎨
⎧
≤Δ
>
0
0a

Thỏa
()
+∞α∈∀≥ ;x,0'y
⎩
⎨


⎩
⎨
⎧
>Δ
<
0
0a

[
)
−+−
+
∞
α
∞
−
00'y
;xxx
21

α≤<⇔
21
xx

a < 0 Không thỏa a > 0 Không thỏa
* TH2:
(
]
(

00'y
xx;x
21

⎩
⎨
⎧
≤≤α
>
21
xx
0a

−+−
∞+
∞
−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21
≤β≤α⇔
≤
β
<
α

⎧
≤≤α
>
21
xx
0a

+−+
∞+
∞
−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21
≤β≤α⇔
≤
β
<
α
≤

3. Hàm hữu tỷ:
(
)
'bx'a

()
()

(
)
(
)()
() ()
() ()
()
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤α
α≤−
<
⇔
∞+
−
∞+α−
α=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜

8
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥α
α≤−
>
⇔
∞+
+
∞+α−
α=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−⇒≥⇔
∞α∈∀≥+∞α∈∀≥
0g
a2
b
0a
CT
xg

⎣

Nếu BĐT có 2 biến thì:
() ()
β<α
f
f
với
ba
<
β<α<

Xét tính đơn điệu của f(x) trong khoảng
()
(
)
(
)
(
)
() () ()
⎩
⎨
⎧
β>α⇒β<α⇔
β<α⇒β<α⇔
⇒βα
ff giảm xf
fftăngxf
;

0
f' a 0
f có đạt cực trò tại x f ' x 0 : Hàm f x nhận M a,b làm cực trò
00
fa b
f đạ
⇔> +
⇒=⇒
⇔< +
=
⇒= ⇔
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
()
{
()
()
()
{
()
()
()
()
a0

⎪
⎩
0>
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó f’(x) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

II. CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ:
()
()
()
22
ax bx c aa'x 2ab 'x bb' a'c
yy'f'x
2
a'x b'
a'x b'
2
y' 0 aa'x 2ab'x bb' a'c 0 (1) aa' 0
*f có CĐ, CT thì (1) có 2 nghiệm phân biệt y' 0
b'
*f không có CĐ, CT thì (1) vô nghiệm y' 0 hay ag -
a'
++ + + −
=⇒==
+

()
()
()
y' 0 y' 0
n biệt
y0 y0
y' 0 y' 0
y' 0 y' 0;x x
12
*f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT trái dấu Đồ thò không cắt Ox
y0 y0
y.y 0
max
min
*Điều kiện cần và đủ để tồn
⎧
=Δ>
⎪
⇔
⎨
=Δ>
⎪
⎩
=Δ>
=Δ> ≠
⇔⇔⇔
=Δ<
<
⎧
⎨

2ax b 0 (1)
f có 3 cực trò (1) có hai nghiệm phân biệt x 0
*
f có 2 điểm uốn ab 0
a0,b0
f có một cực trò a 0, b 0
*
f không điểm uốn (1) vô nghiệm
=++⇒= +
=
=⇔
+=
≠
⇔
<
=≠
≠=
⇔
⎡
⎢
⎣
⎡⎡
⎢⎢
⎣⎣
⎡
⎢
⎣
ab 0≥
⎡
⎢

⎡
⎡⎡
⎢
⎢⎢
⎣⎣
⎣ 3. Dạng 3:
()
()
()()
()
()
()
432 3 2
yaxbxcxdxey'4ax3bx2cxd
2
y' x Ax Bx C x g x 0 y' có nghiệm thực
g x 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép
0
* f có một cực trò
g0
g x 0 có nghiệm x hoặc x
=++++⇒= + ++
=−α ++ =−α = α
=
Δ≤
⇔⇔
α


IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ:
1. Dạng 1: Đường thẳng qua 3 điểm cố đònh của (C
m
) : y = f
m
(x) có bậc ba:
1/ Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cố đònh hệ phương trình đặc trưng của các điểm cố đònh tương ứng từ y
0
= f
m
(x
0
) (I) là:
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++=
+++=
⇔
)II(0dxcxbxaxg
)I(dxcxbxaxf

==
()
β+α=⇒ xy:d : là đường thẳng đi qua ba điểm cố đònh của (C
m
); ∀m.
Hay ba điểm cố đònh của (C
m
) đi qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể của ba điểm cố đònh đó).

2. Dạng 2: Đường thẳng đi qua hai cực trò của hàm bậc ba (C
m
) : y=f
m
(x)
1/ Gọi (x
0
,y
0
) là các điểm cực trò của (C
m
) thì nó thỏa hệ:

-
10
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
()
() ()
()
32

0
khôngbằng
000m0
xxgxxfy ξ+
γ
+
β+α==

()
trò cực điểm haiqua thẳng đường là:Dm ;xy:d
m0
∈∀ξ+γ=⇒ .

3. Dạng 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò của hàm hữu tỷ
() ()
()
()
xv
xu
xfy:C
1
2
mm
==

1/ Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cực trò của (C

⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
  
β

2/Ta có:
()
β
+α= x
y
:d là đường thẳng qua hai cực trò của (C
m
) (mặc dù ta không cần tìm rõ tọa độ hai điểm cực trò của nó).
4. Dạng 4: Đường thẳng đi qua ba điểm uốn của (C
m
) : y = f
m
(x)
1/ Gọi (x

)

quả hệtrình phương
0
không bằng
00
xxgy
β
+
α
+
γ
=

3/
()
m
Dm ;x
y
:d ∈∀
β
+α=⇒ : là đường thẳng qua ba điểm uốn.

V. PHƯƠNG TRÌNH CHÙM PARABOL:
Trong hệ trục Oxy; đường cong (P): y = ax
2
+ bx + c
(
0a
)

(P )
A
x
B
y
B
b
0
x

y
A
(d):
y
= x +
αβ
x
A
y
A
(P )
A
0
x

() ( )( )
β
+α+−−λ=
λ
xxxxx

(P )
A
x
B
y
B
b
0
x

y
A
S
(d):
y
=
y
A
(
)
:
x
=
x
Δ
A
x
A
y
A

) đi qua nhiều nhất hai điểm cố đònh A và B gọi là chùm Parabol (P
λ
); với là tham số đặc
trưng của chùm.
0≠λ
•
Khi chùm (Pλ) qua đúng hai điểm A, B phân biệt ta được chùm có hai điểm đế, đường thẳng (AB) được gọi là đường đế của
chùm (Pλ) lúc đó.
•
Phương trình của chùm (P
λ
) đi qua hai điểm đế A, B và nhận
(
)
q
x
y
:ABd
+
α
=
≡
làm đường đế, có dạng:
(
)()
(
)
(
)
0xxxxx

α
= , ta có trường hợp (P
λ
) có đường đế bằng
()
β
=
=
A
yy:d
(vuông góc với các trục đối xứng của (P
λ
)).
()
(
)
(
)
)1(
y
xxxx
y
:P
ABA
+
−
−
λ
=
⇒

λ

•
Chùm Parabola:
()
(
)
(
)
()


đế đường cho
trưng đặc Phần
qua điP mà đònh cố điểm
lượng số cho trưng đặc Phần
BA
xxxxxy:P
β
+
α
+
−
−
λ
=
λ
λ

B

B
B
3
: Đưa các giá trò cụ thể của giả thiết vào phương trình của (P
λ
), ta sẽ xác đònh được
0
λ
=
λ
bằng các phương trình đặc trưng.
Lấy x
0
thay vào các phương trình (P
λ
) ta có ngay ycbt.

VI. TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ CỰC TRỊ HÀM SỐ:
1. Nằm cùng phía với trục hoành
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
⇔
0y.y
0'y
21

2. Nằm ở hai góc phần tư:

'y
21
22
11

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=<
<<
>Δ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<>
><
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
hoặc
0y;0x
0y;0x
0'y
'y
21

⎡
α==++
=++
⎩
⎨
⎧
=
=
x nghiệm 0cbxax
képnghiệm 0cbxax
chung nghiệm có
0'y
0y
2
2

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
≤Δ
⇔
=++
a2
b
x
0
képnghiệm hoặcnghiệm vô

⎡
⎩
⎨
⎧
=
=
=
chung nghiệm
0'y
0y
0yy
minmax

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
≤Δ
0yy
0'y
0'y
minmax

⎩

⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
>
<
>Δ
0yy
0x
0x
00af
0'y
minmax
CT
CĐ

()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<


()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
α<<
>α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21

CHỦ ĐỀÀ 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT
I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT TRÊN ĐOẠN [a;b]:
•
f liên tục trên [a;b] có M[GTLN] và m[GTNN] của f trên [a;b]
()
[]
b;axMxfm ∈∀≤≤⇔
•
Tìm giá trò cực trò của f(x) trên [a;b] để tìm maxf và minf.
Chú ý 1:

=
=
⇒⇔∃

2. Dùng MGT tìm max, min:
M
y
m
0
≤≤
.
3. Dùng BĐT Côsi, Bunhiacôpsky.
-
13
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
Chú ý 2:
1. Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a;b) có điểm cực trò
(
)
b;ax
0
∈
.
min
max
y

afy min
y
'y
xx
0

()
∞−
=
−
∞+
bfy max
y
'y
xx
0II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM BẬC 2 TRÊN
[
]
β
α
; :
•
a>0 hoành độ đỉnh
a2
b
x
0

{
}
x ;:max yfx; min ymaxf ,f
00
∈αβ = = α β

) Nếu
[]
() ()
x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.
0
∉αβ α β
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1:
()
(
)
(
)
(
)
GTLN fx max fx và GTNN fx min fx
xD xD xD xD
ff f
==
∈∈ ∈ ∈
f

()
()

=
∃∈ =
∈
⎧
⎪
←⎯→
⎨
⎪
⎩
y
A
B
a
b
0
x
xfminy
bxa
CT
≤
≤
=
xfmaxaf
bxa
≤
≤
=
f(b)
0
, ta có:
() ()( ){}
() ()( ){}
xf miny các;bf;afminm
x
f
max
y
các;b
f
;a
f
maxM
bxa
0
bxa
bxa
0
bxa
≤≤≤≤
≤≤≤≤
==
=
=

Ghi chú: Khi viết , ta có tập giá trò của hàm f là: f(D
()
Mxfm ≤≤
f

Dấu hiệu điểm uốn:
Dấu hiệu 1:
() ()
(
)
(
)
000
f x 0 ; f x đổi dấu - ,x ; x ,
′′ ′′
=∞
0
+∞

Dấu hiệu 2:
()
()
()
()
fx 0 fx 0
00
hoặc
fx 0 fx 0
00
′′ ′′
==
′′
≥≤
⎧⎧
⎪⎪

∃
∈=∃
′′
⇒=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
≠

I
(T)
(C)
f"<0
f">0

()
()
(
)
()
()
()
() ()
xa;b:fx0
2
00
i
f x không đổi dấu khi x đi qua x

3
00
i:
f x đổi dấu khi x đi qua x
0

giá trò mở rộng f x
0
4
i : f x không đổi dấu khi x băng qua x hoặc
0
f x đổi dấu khi x đi qua x
0
Ix,fx : là
00
′′
∃∈ =∞
′′
′
=∞
′
′′
⇒
⎡
⎧
⎪
⎢
⎨
⎢
⎪

0
x
y
y
li
m
=
∞→

()
[]
()
[]
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
∞=
⎪

với xbax
y
x
+=
=
εε++=
∞→

-
15
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
1. Hàm phân thức
()
()
xQ
xP
y =
:
TCĐ: x = x
0
TCN TCX TC cong là Parabola
Tìm nghiệm x
0
của Q(x) =
0
Bậc P(x)

⎛
−
+
−
+==
+
++
=

TCX:
'a
'abb'a
x
'a
a
y0
'bx'a
'a
'b
P
lim
2
x
−
+=⇒=
+
⎟
⎠
⎞
⎜

⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎢
⎛⎞
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣

•
Nếu
() ()
x
2
p
xbaxqpxxbaxxf
2
ε++++=++++=
p
Nhánh trái : y ax b- x
p
2
TCX : y ax b x
2
p
Nhánh phải : y ax b x
2
=+ +

⎧
⎪
⎨
⎡⎤
⎪
⎣⎦
⎩
CHỦ ĐỀÀ 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ

I. HÀM BẬC HAI:
() ()
(
)
0acbxaxxfy:P
2
≠++==

•
Tam thức bậc hai có dạng:
() ()
(
)
0acbxaxxfy:P
2
≠++==

Gọi

a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
−=+=

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
)
()
a
x-x :đề Mệnh
21
Δ
=⇒

) Hệ quả (Đònh lý Viete đảo): Nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P; thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
()

xx0
a
b
S

) Nếu
0xx
0
a
b
S
0
a
c
P
21
<<⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<−=
>=
(hai nghiệm đều âm)
) Nếu
21
xx0

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
a4
;
a2
b
S

) Để ý
a2
b
x
S
−=
; là nghiệm kép của tam thức bậc hai, thì
a2
b
x:d
−=
là trục đối xứng của (P).
•
Dấu tam thức bậc hai:
Viết tam thức dưới dạng:
()
(

) Nếu
()
(
)
21
x;xx;0xa
f
0 ∈∀
<
⇒<Δ

0>Δ

•
Tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x) trái
dấu a
•

[]
{}
0;x;x
21
φ
≠
()
xx

b
xxx
12
2a
|
Cùng Cùng
2
f x ax bx c dấu 0 dấu
aa
|
−
∞==−
=++
+∞ -
17
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
0<Δ

• Không tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x)
trái dấu a
•


x
2
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

y
(P)
S
x
1
x
2
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

Δ < 0
y
(P)

−
a4
Δ
−

y
(P)
S
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

max
min
()
a2
b
x khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=
Δ
−=
∈

α
<
.
) Hệ quả:
Nếu tồn tại hai số thì tam thức B
()()
0ffcho sao và <βαβα
2
có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
và có một nghiệm nằm trong
khoảng .
()(
β<αβα với ;
)
Chẳng hạn:
2121
xx ha
y
xx <
β
<<
α
β
<<α<

•
Từ đònh lý đảo ở trên ta có sự so sánh một số thực α với hai nghiệm x

0
2
Δ>
α> ⇔α< <
−α>
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

x
1
x
2
α

x

/
/
/
/
(hình 1)

2
x
x


x
2
α
x

/
/
/
/
(hình 2)

2
xx
2
S
21
+
=•
Tam thức có ít nhất ba thực nghiệm
()
cbxaxxf
2
++=
0cba
=
=

Học sinh xem phần này trong Sgk
() () ( )
0adcxbxaxxfy:C
23
≠+++==

•
MXĐ:
()
+∞∞−= ;D
•
Các đạo hàm:
2b6axy và cbx2ax3y
2
+=
′′
++=
′
•
Tâm đối xứng là điểm uốn:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠

+
′
∞
+
∞
−
y
y
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
− -
19
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
0
0a
<Δ
′
<


∞+∞−
y
'y
a3
b
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

0
0a
=Δ
′
<

∞−
∞+
−−
∞+∞−
y
'y
a3
b

CĐ
y
00'y
xxx
21

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21
<
=
′
<Δ
′
<

∞−
∞+
−+−

2. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò. Ba điểm A, I, B thẳng hàng.
•
Gọi (x
0
;y
0
) là tọa độ các điểm cực trò ở trên nó thỏa:
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++=
+++==
0cbx2x3xg
dcxbxaxxfy
0
2
00
0
2
0
3
000

•
Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x

⎪
⎪
⎨
⎧
β+
α
−=
−=
⎩
⎨
⎧
β+α=
=
⎩
⎨
⎧
β+α=
=
a3
b
y
a3
b
x
I;
xy
xx
B;
xy
xx

⎨
⎧
=++
=+++
⇔
⎩
⎨
⎧
=
′
=
0cbx2ax3
0dcxbxax
0y
0y
2
23
TH
2
: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<β+αβ+α=
>−=Δ
′
⇔

≠=+++
: không thể vô nghiệm.
TH
5
: (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất:
()()
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>β+αβ+α=
>−=Δ
′
≤−=Δ
′
⇔
0xxyy
0ac3b
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
2

>
⇔
0x
00f
0yy
0a
hoặc
0x
00f
0yy
0a
CT
CTCĐ
CĐ
CTCĐ
y
(C)
0
x
x
1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CĐ

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
hoặc
0x
00f

x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CĐ
x
3
-
21
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
TH
8
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm dương:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

CT
CTCĐ
g
y
y
0
x
x
1
x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CĐ
y
CT
x
3

y
y
0
x
x

⎨
⎧
<
<
>Δ
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g

x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CT
x
3

5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng
TH
1
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng hay
x
1
+ x
3
= 2x
2
hay
()

2
: Đònh lý Viete: Khi ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có ba nghiệm x
1
, x
2
, x
3
và không chỉ đúng một nghiệm đơn thì:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=++
−=++
a
d
xxx
a
c
xxxxxx

>Δ
≠
⇔
0
0xg
g

-
22
T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
) Có đúng hai nghiệm
()
(
)
⎩
⎨
⎧
>Δ
=
∨
⎩
⎨
⎧
=Δ
≠
⇔
0
0xg
0

)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
⇔
0cbx2ax3
0dcxbxax
:nghiệm có sau Hệ
2
23

TH
2
: Giải (*) bằng đồ thò hoặc sử dụng trong (*) đònh lý Bolzano Cauchy.
[]
()()
() ( )
ba;cx nghiệm có 0xf
0bfaf
ba; trên tục liên f
0
∈==⇒
⎭
⎬
⎫
<

∈

III. HÀM BẬC BỐN - HÀM TRÙNG PHƯƠNG: (Xem thêm Phần 8 CHỦ ĐỀà 3)
1. Dạng 1: Hàm bậc bốn
()
(
)
0acdxcxbxaxy:C
234
≠++++=

•
Đạo hàm: y’ = 4ax
3
+ 3bx
2
+ 2cx + d là một đa thức bậc ba nên ít nhất một nghiệm thức α. Như vậy đạo hàm y’(x) có thể viết
dưới dạng: y’=(x - α).g(x). Trong đó: g(x) là một đa thức bậc hai px
2
+ qx + r (mà các hệ số p, q, r phụ thuộc vào α, a, b, c, d).
) Nếu g(x) vô nghiệm, g(x) chỉ có nghiệm duy nhất α và đổi dấu qua α ⇒ y(x) chỉ có một cực trò.
) Nếu g(x) có nghiệm kép, y’ đổi dấu khi qua nghiệm α hàm số chỉ cũng có một cực trò. Hoặc là g(x) có một nghiệm
bằng α và một nghiệm
x hàm số y cũng chỉ có một cực trò. α≠
2
T
1
T
2
(t)

1
(x
1
;y
1
) và T
2
(x
2
;y
2
) hay tạo điều kiện cho (1) có 2 nghiệm kép

21
xxxx =∨=
(
)
(
)
(
)
2xxxxaexdcxbxax
2
2
2
1
234
−−≡β++α−+++
()
có nghiệm.

Đồ thò hàm bậc bốn và trục đối xứng song song Oy:
Xét đồ thò
()

cdxcxbxaxy:C
234
++++=
(
0a
)
≠
với giả sử
thì điều kiện cần để AB = BC = CD là (C) nhận (d) : x = α là
một trục đối xứng song song Oy. Hay:
() { }
D;C;B;AOxC =∩
() ( )
0a cdxcxbxaxxf
234
≠++++=
có bốn nghiệm tạo thành một cấp số cộng.
2. Dạng 2: Hàm trùng phương
()
(
)
0a cbxaxy:C
24
≠++=

•

≥
>
0ab
0a

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥
<
0ab
0a

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
>
>
0ab
0a

y

x;0xt
2
∀≥=
()
()
⎩
⎨
⎧
=++=
≥
⇔
0cbtattg
0
t
*
2

Nên
2112
21
21
tt0tt
tt9
tt0
ycbt <<<−<−⇔
⎩
⎨
⎧
=
<<

⎝
⎛
+∞−∪
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∞−= ;
c
d
c
d
;D

()
C:
c
d
xc
bcad
c
a
y
2
⎟
⎠
⎞
⎜

−
=

Giao điểm của hai tiệm cận đứng
()
c
d
x:d
1
−=
và tiệm cận ngang
()
c
a
y:d
2
=
là tâm đối xứng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
c
a
;
c
d

−
d
b
()
c
a
y:d
2
=
()
c
d
x:d
1
=

D = ad - bc < 0: hàm f giảm trên từng khoảng xác đònh
c
a
||
c
a
y
||'y
c
d
x
∞+
∞−
−−

Δ
d
1
d
2
B
M (tùy ý)
x
(C)

y
I
H
S
Δ
d
1
d
2
K
M (tùy ý)
x
(C)Gọi M là điểm tùy ý trên (C):
(
0bc-ad0c
dcx
bax

• AB luôn nhận M làm trung điểm.
•
Diện tích tam giác: SΔAIB = const.
•
Tích số MH.MK = const.
•
Diện tích tứ giác IHKM = const.
•
Đường thẳng tùy ý (Δ): y = αx + β có phương trình hoành độ giao điểm với (C) là:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≠+α=
+
+
c
d
-x bx
dcx
bax

() ( ) ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

cc
⎛⎞
=− ⇔ − <
⎜⎟
⎝⎠

•

()
00
c
d
x
NMMNmin
0
=
−≠
xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng (Δ) chứa MN là phân giác góc XIY chứa (C).
•
Nhắc lại công thức dời trục bằng phép tònh tiến vectơ OI
(
)
()()
⎩
⎨
⎧
+=
+=
→
I