Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
0≥x
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0
≤
x

Chú ý:
• Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0
≤
a
"
• Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " "
0≥a
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
0ab ab>⇔−>
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có:
ba ≥

0b-a ≥
⇔
≥ ba

2. Tính chất 2:
a b ac bc>⇔+>+
Hệ quả 1:
a

b ac bc>⇔−>−
Hệ quả 2:
ac b a bc
+
>⇔>−

3.
Tính chất 3:
ab
ac bd
cd
>
⎧
⇒+>+
⎨
>
⎩
4. Tính chất 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
ab
ac bc
>
⎧

0
0
ab
ac bd
cd
>>
⎧
⇒>
⎨
>>
⎩
6.
Tính chất 6:
11
00ab
ab
>>⇔< <

7.
Tính chất 7:
nn
baNnba >⇒∈>>
*
,0
8. Tính chất 8:
n
baNnba >⇒∈>>
n

*

0 , x , x x , -x xxx≥=≤≤

3. Với mọi ta có :
Rba ∈,
•
ab a b+≤ +

•
ab a b−≤ +

•
.0ab a b ab+= + ⇔ ≥

•
.0ab a b ab−= + ⇔ ≤

V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0
•
bc a bc−<<+

•
ca b ca−<<+

•
ab c ab−<<+

•
abc ABC>>⇔ > >

n
ta có :

12
12

.
n
n
n
aa a
aa a
n
+
++
≥

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n

Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :

Ta thường sử dụng các phương pháp sau

1.
Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương

4a 9b 12
+
≥

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
5
=+ yx
. Chứng minh rằng:
5
4
14
≥+
x
x

Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
xy yz zx
8
yz zx xy
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
+
++
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
≥
Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :

với
2x3
−
≤≤

Ví dụ 2: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn
xyz 1
=
. Tìm GTNN của biểu thức
P (x 1)(y 1)(z 1)=+ + +
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số
a)
yx5x3=++−
b)
yx1x22x5
=
++ − + −

Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
22
S 10x 5y 10xy 10x 14
=
+− −+ với
x,y∈ \

Hết
21

Câu 3: Giá trò nhỏ nhất của hàm số
5
yx ,x2
x2
=
+>
−
là
(A)
21+
(B)
21−
(C)
522−
(D) 52+
Câu 4: Giá trò nhỏ nhất của hàm số
x3
yx ,x 1
x1
+
=
+>
+
−
là
(A)
22 5+
(B)
22 5−
(C)