CHUYÊN ĐỀ 4
ĐƯỜNG TRÒN
1. Để tìm phương trình của một đường tròn ta cần lưu ý:
. Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là :

()
+
(
= R
2

2
xa
−
)
2
yb
−
. Phương trình của (C) ở dạng khai triển :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 ( hay x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0)
với c = a
2

tại tiếp điểm M
0
(x
0
, y
0
) với :
)
Δ
- đường tròn (C) :
()
+ = R
2
là
2
xa
−
(
2
yb
−
)
)
(x
0
– a) (x – a) + (y
0
– b) (y – b) = R
2


2
yb−
±
± R, mọi tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) đều có
dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x
0
) + y
0
nếu tiếp tuyến đi qua ( x
0
, y
0
) là
điểm nằm ngoài đường tròn.
Ví dụ

1
Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).
a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B.
c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)
Giải
a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :


Vậy (C) : x
2
+ y
2
+ 2x – 4y = 0.
Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là
AB nên pt dường tròn (C) là:

222
11
12 416
44
++− = = + =(x ) (y ) AB ( )
5

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với
(, ) ( )M xy C∈
ta có
0=AM.BM
JJJJG JJJJG
. Vậy pt đường tròn ( C ) là 0− −+− −=
AB A B
(x x )(x x ) (y y )(y y ) .
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại :
. Tiếp điểm A(–2, 0) là : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

⇔ x + 2y + 2 = 0
. Tiếp điểm B(0, 4) là : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0
⇔ x + 2y – 8 = 0
c) Đường tròn (C) : x

55k−
= 5 .
2
1k +

⇔ 4k
2
– 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hay k =
1
2

Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là :
k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒
k =
1
2
⇒
1
2
x – y + 5 = 0.
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
n
0
90BAC = .
Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G(
2
3
; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các
đỉnh A , B, C.

y
PT: BC qua M (1, −1) ⊥ = (1, −3): x – 3y – 4 = 0
JJJJG
AM
PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM=
+=19 10

(x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 10
Tọa độ B, C thỏa :
−−=
⎧
⎨
−++=
⎩
22
x3y40
(x 1) (y 1) 10
⇔ ⇔
=+
⎧
⎨
+++=⇔+=
⎩
22 2
x3y4
(3y3) (y1) 10 (y1) 1

Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d)
(Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1)
H là trung điểm của II’
Giả sử I’ (x, y) thì ⇒
+
⎧
=
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩
x1
2
2
y2
1
2
⇒
=
⎧
⎨
=
⎩
x3
y0


=+
⎧
⎨
−=
⎩
2
xy1
2y 4y 0
=
⎧
⎨
=
⎩
x1
y0
=
⎧
⎨
=
⎩
x3
y2

Vậy giao điểm của (C) và (C’) là A (1, 0) và B (3, 2).
Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
d
1
: x – y = 0 và d
2
: 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A

⇒ Phương trình (C) : (x–1)
2
+y
2
=1. B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D
là nghiệm của hệ :
22
(x 1) y 1
y0
⎧
⎪
−+=
⎨
=
⎪
⎩
⇔ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0)
=∨=
⎧
⎨
=
⎩
x0x2
y0
Vậy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0)
hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0).
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4).
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm
của (C) đến điểm B bằng 5.
Giải

Ví dụ
(ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn:
(C
1
) : x
2
+
y
2
– 10x = 0; (C
2
) : x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 20 = 0

4
1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C
1
), (C
2
) và có tâm nằm trên
đường thẳng x + 6y – 6 = 0.
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C
1
) và (C
2
).

xy
mn mn mn
−
⎛⎞
−−
⎜⎟
+++
⎝⎠
0=

Có tâm I
5m 2n n
;
mn mn
−
⎛⎞
⎜⎟

++
⎝⎠
Vì tâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒
5m 2n 6n 6m 6n
0
mn
− +− −
=
+

⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2
Vậy phương trình đường tròn là :x

= 5
Vì (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung.
Vì x = x
o
không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0
Δ tiếp xúc với (C
1
) ⇔ d(I
1
, Δ) = R
1
⇔
2
5a b
5
a1
⏐+⏐
=
+

⇔⏐5a + b⏐ =
2
5a 1+
(1)
Δ tiếp xúc với (C

b
2
⎡
=−
⎢
⎢
− +
⎢
=
⎢
⎣

Thế a =
1
7
−
vào (1) ta có : b
1
=
5252
7
+
; b
2
=
5252
7
−

Vậy ta có 2 tiếp tuyến là : x + 7y – 5 +

5