CHUYÊN ĐỀ 5
ELIP
Các bài toán về elip chủ yếu qui về việc viết phương trình chính tắc của elip, xác đònh
các phần tử của elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), nhất là xác
đònh phương trình của tiếp tuyến cùng với tọa độ tiếp điểm. Trong mọi trường hợp ta cần nắm
vững kiến thức cơ bản sau đây : . Elip (E) có tiêu điểm
trên
x
′
x
. Elip (E) có tiêu điểm
trên
y
′
y
Phương trình
chính tắc

Tiêu cự
Tiêu điểm
Trục lớn
Trục nhỏ
Đỉnh trên trục lớn
Đỉnh trên trục nhỏ
Tâm sai
Bán kính qua tiêu
Điểm của M

2
(c, 0)
Trên Ox, dài 2a
Trên Oy, dài 2b
A
1
(–a, 0), A
2
(a, 0)
B
1
(0, –b), B
2
(0, b)
e =
c
a

11
22
M
M
rFMaex
rFMaex
==+
⎧
⎨
==−
⎩


F
1
(0, –c), F
2
(0, c)
Trên Oy, dài 2b
Trên Ox, dài 2a
A
1
(0, –b), A
2
(0, b)
B
1
(–a, 0), B
2
(a, 0)
e =
c
b

11
22
M
M
rFMbey
rFMbey
==+
⎧
⎨

− β
= 1
Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY bằng phép tònh tiến theo
OI
JJG
để được phương trình
dạng chính tắc của elip là
2
2
X
a
+
2
2
Y
b
= 1 với
X x
Yy
= −α
⎧
⎨
= −β
⎩

để suy ra dễ dàng tọa độ các đỉnh và tiêu điểm.
. Tiếp tuyến với elip (E) :
2
2
x

2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
⇔
Thường ta viết phương trình của
( )
Δ
theo hệ số góc ở dạng
kx – y + c = 0 và lưu ý trường hợp
( )
Δ

⊥

x

2
+ 4y
2
– 40 = 0
a) Xác đònh tiêu điểm, hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại điểm M
0
(–2, 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết nó xuất phát từ điểm M(8, 0).

2
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết nó vuông góc với đường thẳng (D) : 2x – 3y
+ 1 = 0, tính tọa độ tiếp điểm.
Giải
a) Tiêu điểm, các đỉnh và tâm sai của (E)
(E) : x
2
+ 4y
2
– 40 = 0
⇔
2
x
40
+
2
10
y
= 1 có dạng
2

2
(2 10 , 0)
Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy với 2 đỉnh là B
1
(0, – 10 ), B
2
(0, 10 ).
Tâm sai của elip (E) là e =
c
a
=
30
210
=
3
2

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại M
0
(–2, 3)
Ta có + 4 – 40 =
(
2
0
x
2
0
y
)
2

qua M(8, 0) có dạng:
)
Δ
y= k(x – 8)
⇔ kx – y – 8k = 0
()
Δ
tiếp xúc với elip (E) :
2
x
40
+
2
y
10
= 1
⇔ 40k
2
+ 10 = 64k
23
⇔ k
2
=
10
24
=
5

()
′
Δ
()
′
Δ
tiếp xúc (E) :
2
x
40
+
2
y
10
= 1
⇔ 40.9 + 10.4 = C
2
⇔ C
2
= 400
⇔ C = ± 20
Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là tiếp điểm của tiếp tuyến
( )
′

2
=
40
20
−

⇔
0
0
x6
y1
=−
⎧
⎨
=−
⎩
hay M
0
(–6, –1)
Với C = –20
(
⇒
)
′
Δ
: 3x + 2y – 20 = 0
⇒
0
x
3

+=
. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với
nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều
Giải

Giả sử A (a,
2
4a
2
−
) ∈ (E) ⇒ B (a, −
2
4a
2
−
) ∈ (E)
Và điều kiện: –2 < a < 2. Do A,B đối xứng qua Ox nên ta có:
ΔCAB đều ⇔ CA
2
= AB
2

⇔ (a – 2)
2
+
2
4a
4
−
= 4 – a

,
77
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
và B
243
,
77
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Ví dụ3 :(ĐH KHỐI D-2002) :

Cho (E) :
9
y
16
x
2
2
+
= 1. Cho M di chuyển trên tia 0x, N di chuyển trên tia 0y sao cho đường
thẳng MN luôn tiếp xúc (E). Tìm tọa độ điểm M, N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. Tìm
độ dài đoạn ngắn nhất đó.
Giải

m
16
n.
n
3
m.
m
4
22
22
=++≤+

MN nhỏ nhất ⇒
n
3
n
m
4
m
=
⇔
3
n
4
m
22
=

⇔ 3m
2

và đường thẳng d
m
: mx – y – 1 = 0.

5