LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN1


PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
 Hệ trục tọa độ : z
- Nếu :
kzjyixOM ++=
;
thì tọa độ điểm M là : M ( x;y;z)
- Trục ox là trục hoành ; trên đó có véc tơ
)0;0;1(=i

- Tr
ụ
c oy là tr
ụ
c tung ; trên
đ
ó có véc t
ơ

)0;01;0(=j

x y
- Tr
ụ
c oz là tr
ụ







 !"
 !" !"
 !"


•
Cho hai
đ
i
ể
m
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB
; khi
đ
ó ta có công th
ứ
c tính t
ọ

Ct1
:
Tọa độ vecto tổng và vecto hiệu của các vecto
(
)
332211
;; babababa +++=+
và
(
)
332211
;; babababa −−−=−

Ct2
:
Tọa độ vecto tích một số thực với một vecto

(
)
321
;; kakakaka =
(v
ớ
i k là m
ộ
t s
ố
th
ự
c b

Ct5
:
Hai vecto vuông góc

0 0
332211
=++⇔=⇔⊥ bababababa

Chú ý : Vận dụng hai vecto vuông góc để chứng minh :
-Tam giác vuông
-Hai đường thẳng vuông góc
Ct6
:
Hai vecto bằng nhau






=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba

332211.
;cos
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba
++++
++
==



3.Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng ; trong tâm của tam giác và của tứ diện
*T
ọ
a
độ
trung
đ
i
ể
m M c
ủ
a
đ
o

2
;
2
;
2
212121
zzyyxx
M

* T
ọ
a
độ
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác ABC ; v
ớ
i
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;
);;(
333

ng tâm G c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n ABCD ; v
ớ
i
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;
);;(
333
zyxC
;
);;(
444
zyxD
Thì t
ọ
a
độ
trung
đ

zyxA
và
);;(
222
zyxB
thì ta có :
( ) ( ) ( )
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB −+−+−=

Chú ý : dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính chu vi của một tam giác ; tứ giác ;
khoảng cách từ một điểm đến một điểm


4. Tích có hướng của hai véc tơ trong không gian và ứng dụng:
o Khái niệm:
Trong không gian Oxyz, tích có h
ướ
ng c
ủ
a hai véct
ơ

a
và

;; bbbb =(
)
2
2
1
1
1
1
3
3
3
3
2
2
;;];[
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b

2 3#4
2 3#42 3#4
2 3#45*+67#45*+8
5*+67#45*+85*+67#45*+8
5*+67#45*+8

·
Tích có hướng
:

1. chọn MODE 8 (Vector),
2. chọn 1 cho vector A, hoặc chọn 2 cho vector B,hoặc chọn 3 cho chọn vector C
3. hiện ra VctA(m) khi chọn vector A, VctB(m) khi chọn vector B, tương tự vector C, chọn 1
cho tọa độ không gian Oxyz, và chọn 2 cho trục tọa độ Oxy
4. khi chọn vector nào điền tọa độ vào
5. sau đó, nhấn AC tiếp theo chọn shift 5 (VECTOR) các thuật ngữ
Mẫu chọn Yêu cầu

(
)
0
90;0. >⇔< baba(
)
0

7 Dot Nhập dấu . (để lấy tích vô hướng 2 vector)

6
. chọn Dim rồi chọn VctB hay VctC cũng tương tự VctA chọn 1hay 2 rồi nhập tọa độ vector thứ 2 hay
thứ 3.
7. rồi nhấn AC, gọi lai nhân shift 5 chọn 3 gọi vector A, chọn 4 gọi vector B và C tương tụ.
8. Nếu muốn nhân 2 vector hữu hướng thì chọn dấu nhân (X) giữa 2 vector. VD nhân vector A và Vector
B nếu có hướng thì chọn shift 5 ( Vector ) 3 rồi chọn dấu nhân(x) rồi chọn shift 5 chọn 4.
9. cuối cùng nhấn dấu bằng (=) hiện ra kq.

o Ứng dụng:





];[
2
1
ACABS
ABC
=
∆





/
.

baba ,0];[ ⇒=
cùng phương.

9
99
9:
::
:



;<
;<;<
;<






=
>

?
@

ABC
ADA

E

⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba

3 Tìm các điểm còn lại của một hình hộp Vẽ hình kí hiệu điểm chính xác
Dùng vecto bằng nhau để tìm





=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba4 Tìm

11
ba
ba
ba
ba

5
Tìm
C Oxy
∈
để
ABC
∆
đều
Gọi
( ; ;0)
C x y Oxy
∈

ABC
∆



CA CB
CA AB
=


=



. 0
CACB
=
uuur uuur

7 Tìm chân đường cao A’ hạ từ A của
ABC
∆
Gọi A’(x;y;z)
Giải hệ:
'
' / /
AA BC
BA BC

⊥




uuur uuur
uuur uuur

8
Tìm trực tâm H của
ABC
∆


∈

Giải hệ MA=MB=MC
Gọi
( ;0; )
C x z Oxz
∈

Giải hệ MA=MB=MC
Gọi
(0; ; )
C y z Oyz
∈

Giải hệ MA=MB=MC
11 Tìm M trên mp(P) cách đều 3 điểm A; B; C Gọi M(x;y;z)
Giải hệ
( )
M P
MA MB
MA MC
∈


=


=




sao cho OA=a;OB=b;OC=c,a≤b≤c. Một (d) đi qua O. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể nhận được của
tổng khoảng cách từ các từ các điểm A, B, B đến (d)
VÍ DỤ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình bình hành ABCD ,
biết A(
−
3;
−
2;0);B(3;
−
3;1);C(5;0;2)
1. Tìm tọa độ điểm D
2. Tính góc giữa hai vectơ AC và BD

BÀI TẬP TỰ RẰNG
Bài 1:
Trong hệ tọa độ Oxy cho
(1; 2;1)
a
= −
r
,
( 2;1;1)
b = −
r
,
3 2
c i j k
= + −
r

Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho
(1; 1;0)
a
= −
r
,
( 1;1;2)
b = −
r
,
2
c i j k
= − −
r
r r
r
,
d
i
=
r r

a) xác
đị


c) Tính
, , 2
a b a b
+
r r r rBài 3:
Cho
(
)
(
)
(
)
2; 5;3 , 3;7; 4 , ; ; 6
A B C x y

a) Tìm x, y
để
ba
đ
i
ể
m A, B, C th
ẳ
ng hàng
b) Tìm giao
đ

ể
m M trên mp Oxy sao cho
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t.

Bài 4
: Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho
1
(1; 2; )
4
a
= −
r
,
( 2;1;1)
b
= −
r
,

C
r rBài 5:
Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 , 3;0;1 , 1;2;3
A B C D E
− − −

a) Ch
ứ
ng t
ỏ

ọ
a
độ

đ
i
ể
m M th
ỏ
a
2 0
MA MB MC
+ − =
uuur uuur uuuur rBài 6: Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho:
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 2; 3;2 , 4; 2;2 .

 
 
r r
biết rằng:
a)
(1; 2;1)
u
= −
r
,
( 2;1;1)
v
= −
r
b)
( 1;3;1)
u
= −
r
,
(0;1;1)
v
=
r
c)
4
u i j
= +
r r r
,

uur

b)
( 1; 1;1)
u
= − −
r
,
(0;0;2)
v
=
r
,
w (1; 2; 1)
= − −
uur

c)
4
u i j
= +
r r r
,
2
v i j k
= − −
r r r
r
,
w (5;1; 1)

r
ằ
ng A,B,C không th
ẳ
ng hàng
b) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng b
ố
n
đ
i
ể
m A,B,C,D không
đồ
ng ph
ẳ
ng
c) Tính di
ệ
n tích tam giác ABC
d) Tính th
ể
tích t
ứ
di

n tích tam giác SAB
b) Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác ABCD
c) Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD. T
ừ

đ
ó suy ra kho
ả
ng cách t
ừ
S
đế
n mp(ABCD)

d) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n mp(SCD)Bài 5:

b) Tính th
ể
tích hình h
ộ
p
c) Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n A.A’BC. Tính t
ỉ
s
ố

. ' ' ' '
. ' ' '
ABCD A B C D
A A B C
V
V

d) Tính th
ể
tích kh
ố
i
đ
a di

- Có tâm I(A; B; C), bán kính R viết được phương trình mặt cầu
DẠNG 2: x
2
+y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D =0 (2)
Yêu cầu: - Đọc được các số A=hệ số x/2; B=hệ số y/2; C=hệ số z/2; D tự do
- Lập được điều kiện để pt (2) là pt mặt cầu A
2
+B
2
+C
2
-D>0
- Đọc được tâm I(-A; -B; -C); bán kính
2 2 2
A B C D
R
= + + −

D=
D=D=
D=>IDBJGA
>IDBJGA>IDBJGA
>IDBJGA




Giải hệ 3 pt:
2 2
2 2
2 2
IA IB
IA IB
IA IC IA IC
IA ID
IA ID

=
=



= ⇔ =
 
 
=
=



Suy ra tâm I. Bán kính: R=IA
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN7

6 Viết ptmc (S) qua 2 điểm A, B và có tâm I


Chứng minh đoạn AB không cắt (S)
Ta c/m 1 điểm nằm trong và 1 điểm
nằm ngoài mặt cầu
Ta c/m A, B cùng nằm trong hoặc ngoài
mặt cầu
10 Chứng minh mp(P) cắt hoặc tiếp xúc hoặc
không cắt mặt cầu (S)
Xác định tâm I, bán kính R của (S)
Tính d(I; (P))
Nếu d(I; (P))<R thì (P) cắt (S)
Nếu d(I; (P))=R thì (P) tiếp xúc (S)
Nếu d(I; (P))>R thì (P) không cắt S



KE
KEKE
KELACKM9ABCF
LACKM9ABCFLACKM9ABCF
LACKM9ABCF<
<<
<GH
GHGH
GH


Bài 1:
Trong không gian
Oxyz

.
a) L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm A bán kính AB
b) L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
đườ
ng kính AB
c) L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm B ti

ng trình m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D
b) Tìm hình chi
ế
u c
ủ
a tâm m
ặ
t c
ầ
u
ở
câu a) lên các mp
,
Oxy OyzBài 4:
Trong không gian

ằ
m trên mp Oxy

Bài 5:
Trong không gian
Oxyz
, cho
(
)
(
)
(
)
(
)
2; 1;6 , 3; 1; 4 , 5; 1;0 , 1;2;1
A B C D
− − − − −

a) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng ABCD là m
ộ
t t
ứ
di

ế
t di
ệ
n là m
ộ
t
đườ
ng tròn có bán kính l
ớ
n nh
ấ
t.

Bài 6:
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
2 2 2 2
4 2 4 4 0
x y z mx my z m m
+ + + − + + + =
luôn luôn là ph
ươ
ng trình

r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0
x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
luôn là ph
ươ
ng
trình c
ủ
a m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u. Tìm m
để
bán kính m
ặ
t c
ầ
u là l
ớ
n nh

i
ể
m
I
(1; 2;3)
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm I và ti
ế
p xúc v
ớ
i
tr
ụ
c Oy.
• G
ọ
i M là hình chi
ế
u c
ủ
a
I

x y z
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 10
− + + + − =
.2.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng: (d
1
) :
{
x t y t z
2 ; ; 4
= = =
và (d
2
) :

).
• G
ọ
i MN là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a (d
1
) và (d
2
)
⇒

M N
(2; 1; 4); (2; 1; 0)⇒
Ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S):
x y z
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4.
− + − + − =



′
=

.
Đ
S: S x y z
2 2 2
11 13 1 5
( ):
6 6 3 6
     
− + − + + =
     
     

b)
x y z x y z
d d
1 2
2 1 2 4 2
( ): ,( ):
1 2 2 1 6 2
− − − + −
= = = =
−

ĐS:
S x y z

3 1 2
− − +
= =
− −
và
2
2
: 3 3
= +


= − +


=

x t
d y t
z t
.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u có bán kính nh
ỏ

ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng là
đườ
ng kính.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
a)
x t
d y t
z
1
2
:
4

=

=


=

ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
1
( )
∆
có ph
ươ
ng trình
{
x t y t z
2 ; ; 4
= = =
;
2
( )
∆
là
giao tuy
ế
n c
ủ
a 2 m

ặ
t c
ầ
u nh
ậ
n
đ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a
1 2
,
∆ ∆
làm
đườ
ng kính.
• G
ọ
i AB là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
1
∆
,
2
∆

( 2) ( 1) ( 2) 4
− + − + − =
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN9

5.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.A’B’C’D’ có A
≡
O, B(3;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;1). Vi
ế

ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u:
x y z
2 2 2
49
( 3) ( 2)
10
− + − + =6.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
Oxyz, cho 4
đ
i

đ
i qua 4
đ
i
ể
m A′, B, C, D. Xác
đị
nh to
ạ

độ
tâm và bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn (C) là giao c
ủ
a (P) và
(S).

• D
ễ
th
ấ
y A′( 1; –1; 0). Ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ

+) PT
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
đ
i qua I và vuông góc v
ớ
i (P): d:
x t
y t
z t
5/ 2
1
1

= +

= +


= +

H
5 1 1
; ;
3 6 6
 
⇒
 

ẳ
ng d có ph
ươ
ng trình
x y z
1 2 3
2 1 1
+ − +
= =
−
. Tính kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m A
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng d. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ

2 2 2
( –1) ( 2) ( –3) 50
+ + + =8.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
x y z
d
5 7
:
2 2 1
+ −
= =
−
và
đ
i

ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S).
•
d

đ
i qua
N
( 5;7;0)
−
và có VTCP
u
(2; 1;1)
= −
r
;
MN
( 9;6; 6)
= − −
uuuur
.
G
ọ
i H là chân
đườ
ng vuông góc v

⇒ PT m
ặ
t c
ầ
u (S):
x y z
2 2 2
( 4) ( 1) ( 6) 18
− + − + − =
.

9.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
x y z
: 2 2 3 0
α

α
. Vi
ế
t ph
ươ
ng
trình m
ặ
t c
ầ
u (S′)
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u (S) qua m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
.
•

t c
ầ
u (S) c
ắ
t nhau.
G
ọ
i J là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a I qua (α). Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng IJ :
x t
y t
z t
1 2
2
4 2

H
z t y
x y z z
1 2 1
2 1
1; 1;2
4 2 1
2 2 3 0 2
 
= + = −
 
 
= − − = −
⇔ ⇒ − −
 
= + = −
 
− + − = =
 
 

Vì H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a IJ nên
(
)


độ
Oxyz, l
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) bi
ế
t r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P):
2
z
=
l
ầ
n l

t c
ầ
u có tâm
I m
0
(0;0; )
thu
ộ
c tr
ụ
c Oz. Khi
đ
ó mp(Oxy) và mp(P) c
ắ
t (S
0
) theo 2
đườ
ng tròn tâm
O O
1
(0;0;0)
≡
, bán kính
R
1
2
=
và tâm
O

⇒ + = + − ⇒ =

= + −

⇒
R
2 65
= và I
0
(0;0;16)
. Suy ra m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm
I a b
( ; ;16)
(a, b
∈
R), bán kính R
2 65
= .
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m

đườ
ng th
ẳ
ng d:
x y z
1 2
1 2 1
+ −
= =
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I thu
ộ
c d, I cách (P) m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 2 và (P) c
ắ
t
(S) theo m

1
6
11
6

=



= −

.
( )
R d I P r
2
2 2
( ,( ) 13
= + =

+ V
ớ
i
t
1
6
=

⇒

I

I
11 14 1
; ;
6 3 6
 
−
 
 

⇒
(S):
x y z
2 2 2
11 14 1
13
6 3 6
     
− + + + − =
     
     12.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ


ặ
t c
ầ
u
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
b
ằ
ng
5
6
.

•
Gi
ả
s
ử
(S):
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
+ + − − − + =
.
+ T
ừ

⇔

b
5 5
6 6
+
=

⇔

b
b
0
10

=

= −


V
ậ
y (S):
x y z x z
2 2 2
2 4 0
+ + − − =
ho
ặ
c (S):


11

x y z
( ): 2 2 1 0
α
+ + − =
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
và
đ
i qua ba
đ
i
ể

a b c a b c
IA IB
IA IC a b c a b c
I a b c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(1 ) (3 ) (4 ) (1 ) (2 ) ( 3 )
(1 ) (3 ) (4 ) (6 ) ( 1 ) (1 )
( 2 2 1 0

− + − + − = − + − + − −

=



= ⇔ − + − + − = − + − − + −



∈ + + − =


a)b c a
a b c b I
a b c c
7 6 1


đề
u c
ạ
nh b
ằ
ng
5 2
nên
ABC
S
25 3
2
=AB AC p AB AC
(0; 1; 7), (5; 4; 3) , ( 25; 35;5)
 
= − − = − − ⇒ = = − −
 
uuur uuur uuur uuur
r( )
ABC n p
17
cos(( ),( )) cos ,
15 3

' .cos(( ),( ))
4 6
15 3
α
= = =
(
đ
vdt)

14.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng d:
x y z
1 1
3 1 1
− +
= =
và m
ặ

đ
i qua
đ
i
ể
m A(1; –1; 1).

•
G
ọ
i I là tâm c
ủ
a (S). I
∈
d
⇒

I t t t
(1 3 ; 1 ; )
+ − +
. Bán kính R = IA =
t t
2
11 2 1
− +
.
M
ặ
t ph
ẳ


= ⇒ =


.
Vì (S) có bán kính nh
ỏ
nh
ấ
t nên ch
ọ
n t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S):
x y z
2 2 2
( 1) ( 1) 1
− + + + =
.

15.
Trong không gian Oxyz, cho
đườ

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và
đ
i qua
đ
i
ể
m A(2; –1; 0).

•
G
ọ
i I là tâm c
ủ
a (S)
⇒

(
)
I t t t
1 ; –2;
+
. Ta có d(I, (P)) = AI
⇔

t t

i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m
I
(1;2; 2)
−
,
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
:
x y z
2 2 3
− = + =
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P):

π
. T
ừ

đ
ó l
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a
∆
và ti
ế
p xúc v
ớ
i (S).

•
Ta có:
d d I P
( ,( )) 3
= =
. G
ọ

2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 2) 25
− + − + + =

Nh
ậ
n th
ấ
y m
ặ
t c
ầ
u (S) ti
ế
p xúc v
ớ
i
( )
∆
t
ạ
i
đ
i
ể
m
M
5 5 4
; ;
3 3 3

; ;
3 3 3
 
−
 
 
uuur

⇒
PT m
ặ
t
ph
ẳ
ng (Q):
x y z
6 33 30 105 0
− + − =
.

17.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho

c
đườ
ng th
ẳ
ng
(d) và ti
ế
p xúc v
ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q).

•
Gi
ả
s
ử
:
I t t d
( ; 1; )
− − ∈
. Vì (S) ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) và (Q) nên
d I P d I Q R

t c
ầ
u (S):
( ) ( ) ( )
x y z
2 2 2
4
3 1 3
9
− + + + + =
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
a)
{
d x t y t z t
: 2 ; 1 2 ; 1
= + = + = −
,
P x y z
( ): 2 2 5 0
+ − + =
,
Q x y z
( ) : 2 2 13 0

x y z
2 2 10 0
− − + =
, hai
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
1
):
x y z
2 1
1 1 1
− −
= =
−
, (
∆
2
):
x y z
2 3
1 1 4
− +
= =
. Vi
ế
t ph
ươ

:
1
∆

= +

=


= −

;
2
∆

đ
i qua
đ
i
ể
m
A
(2;0; 3)
−
và có VTCP
u
2
(1;1;4)
=
r

= − −
 
uur
r

⇒

AI u
t
d I
u
2
2
2
,
5 4
( , )
3
∆
 
−
 
= =
uur
r
rt t t t
d I P

⇔

t
t
7
2
1

=


= −

.

•
V
ớ
i
t
7
2
=

⇒

I
11 7 5
; ;
2 2 2

•
Với
t
1
= −

⇒
⇒⇒
⇒

I R
(1; 1;2), 3
− =

⇒
⇒⇒
⇒
PT mặt cầu (S):
x y z
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9
− + + + − =
.

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
i qua A, B, C và có tâm n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + y – 2z + 4 = 0.

•
PT m
ặ
t c
ầ
u (S) có d
ạ
ng: x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I
∈
(P): a + b – 2c + 4 = 0
Gi
ả

đỉ
nh A trùng v
ớ
i g
ố
c t
ọ
a
độ
O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có di
ệ
n tích b
ằ
ng 5. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CC’. Bi
ế
t r
ằ
ng
đ
i
ể

′
M.

•
Ta có: AB
5
= và
ABC
S
5
∆
=
nên AC
2 5
= .
Vì AA’
⊥
(ABC) và A, B
∈
(Oxy) nên C
∈
(Oxy).
G
ọ
i
C x y
( ; ;0)
.
AB AC x y
(1;2;0), ( ; ;0)

>
nên C(–4; 2; 0) .
Do
CC AA
' '
=
uuur uuur

⇒
C
′
(–4; 2; 2),
BB AA
' '
=
uuur uuur

⇒
B
′
(1; 2; 2) và M là trung
đ
i
ể
m CC
′

nên M(–4; 2; 1).
PT m
ặ

⇔ = = − = − =

− ∈

− ∈


(tho
ả

a b c d
2 2 2
0
+ + − >
)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) là:
S x y z x y z
2 2 2
( ): 3 3 3 0
+ + + − − =
.


p t
ứ
di
ệ
n ABCD.

•
Ta tính
đượ
c
AB CD AC BD AD BC
10, 13, 5
= = = = = =
. V
ậ
y t
ứ
di
ệ
n ABCD có các c
ặ
p c
ạ
nh
đố
i
đ
ôi m
ộ
t b

ứ
di
ệ
n là
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n này.
V
ậ
y m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n ABCD có tâm là
G
3 3

ề
u ki
ệ
n: IA = IB = IC = ID
.
22.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
2 2 6 0
+ + − =
, g
ọ
i A, B, C l
ầ
n l
ượ

ệ
n OABC,
tìm t
ọ
a
độ
tâm và bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn (C) là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P) và (S).

•
Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3).
PT m
ặ
t c
ầ
u (S) có d
ạ
ng:
x y z Ax By Cz D
2 2 2
2 2 2 0
+ + + + + + =


+ =


+ =


.
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN14

V
ậ
y (S):
x y z x y z
2 2 2
6 3 3 0
+ + − − − =
có tâm
I
3 3
3; ;
2 2
 
 
 
, bán kính
R
3 6

2 2
27 5 2
1
2 2
= − = − =
.

23.
Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’

có c
ạ
nh b
ằ
ng 2. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ

′
(0; 2; 2).
PT m
ặ
t c
ầ
u (S)
đ
i qua 4
đ
i
ể
m M, N, B, C
′
có d
ạ
ng:
x y z Ax By Cz D
2 2 2
2 2 2 0
+ + + + + + =
.
M, N, B, C
′

∈
(S)
⇔

A D

2 2 2
15
+ + − =
.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu

24.
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và m
ặ
t c
ầ
u (S): x
2
+ y
2
+ z
2

đ
ó.

•
I (1; 2; 3); R =
1 4 9 11 5
+ + + =
; d (I; (P)) =
2(1) 2(2) 3 4
3
4 4 1
− − −
=
+ +
< R = 5.
V
ậ
y (P) c
ắ
t (S) theo
đườ
ng tròn (C)
Ph
ươ
ng trình d qua I, vuông góc v
ớ
i (P) :
x t
y t
z t

y tâm
đườ
ng tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r =
R IJ
2 2
4
− =





















0
thu
ộ
c (P) và VT vuông góc v
ớ
i (P)
Thay vào CT : A(x-x
0
) +B(y-y
0
) + C(z-z
0
) =0 (1) cho ptmp
N
ế
u ch
ư
a có VTPT
( ; ; )
n A B C
=
r

c
ầ
n xác
đị
nh c
ặ
p VTCP

chú ý quan tr
ọ
ng:
o mpOxy qua gốc O(0.0.0)
VTPT
(0;0;1)
k =
r
, ph
ươ
ng trình z=0
o mpOxz qua gốc O(0.0.0)
VTPT
(0;1;0)
j =
r
, ph
ươ
ng trình y=0
o mpOyz qua gốc O(0.0.0)
VTPT
(1;0;0)
i =
r
, ph
ươ
ng trình x=0
o mp(Q) có pt: Ax + By + Cz + D=0
+ Khi (P) // (Q) thì VTPT
( ; ; )

P Q P Q
n n n n
⊥ ⇔ =
r r r r

e/
( ;0;0)
M Ox M x
∈ ⇒
;
(0; ;0)
M Oy M y
∈ ⇒
;
(0;0; )
M Oz M z
∈ ⇒

f/
( ; ;0)
M Oxy M x y
∈ ⇒
( ;0; )
M Oxz M x z
∈ ⇒
(0; ; )
M Oyz M y z
∈ ⇒

g/


o Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
 Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
•
••
•
(P) cắt (Q)
⇔
⇔⇔
⇔
A : B : C ≠ A’: B’: C’
•
••
•
(P) // (Q)
⇔
⇔⇔
⇔
A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
•
••
•
(P)
≡ (Q)
⇔
⇔⇔
⇔
A : B : C : D = A’: B’: C’: D’

 Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 .

u
→
,
u v
→ →
 
 
 
v
→
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN16

Ta có :
P Q
P Q
2 2 2 2 2 2
P Q
n .n
A.A' B.B' C.C'
cos cos(n ,n )
n . n
A B C . A' B' C'
+ +
ϕ = = =
+ + + +
uur uur
uur uur

<
GAQ
GAQGAQ
GAQ



Dạng 1.Mp qua điểm A(x
o
, y
o
, z
o
) có VTPT
n
r
(A,B,C) .
- Pt: A(x-x
o
)

+B(y-y
o
)

+ C(z – z
o
) = 0
Ho
ặ

ể
m c
ủ
a d , tìmVTCP
u
r
.
- Mp(
α
) có VTPT là
u
r
.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1. Dạng 3. Mp(
α
) qua A(x
o
, y
o
, z
o


-
VTPT c
ủ
a (
α
) là
n
r
=
,
AB AC
 
 
uuur uuur
. B. .C
- (
α
) qua A cho tr
ướ
c. A.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.

Dạng 5. Mp(

ấ
y
đ
i
ể
m A trên a, thì Athu
ộ
c(
α
).
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài toán 1.

Dạng 6. Mp(
α
) chứa điểm A và song song với 2 đgth a, b chéo nhau.
- Tìm VTCP c
ủ
a a,b l
ầ
n l
ượ
t là
u
r

ứ
a a
và song song b ( chéo a), gi
ả
i t
ươ
ng
t
ự
. Khi
đ
ó
đ
i
ể
m cho tr
ướ
c A
∈
(
α
),
đượ
c l
ấ
y b
ấ
t k
ỳ
trên a

n
r
=
1 2
,
n n
 
 
uur uur
.
- Gi
ả
i ti
ế
p nh
ư
bài 1.
< Bài toán này có th
ể

đư
a v
ề

d
ạ
ng bài B5, và A2: Vi
ế
t ph
trình mp (P) vuông góc v

n
uur
.
- VTPT c
ủ
a (
α
) là
n
r

=
1
,
u n
 
 
r uur
.
- Tìm
đ
i
ể
m A
∈
d thì A
∈
(
α
).

Dạng 10. Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)
-
Tính
AB
uuur
, vtpt
n
r
Q
và tính [
AB
uuur
,
n
r
Q
]
- Vì A, B
∈
(P) ; (Q)
⊥
(P) nên ch
ọ
n
n
r
P
=[
AB
uuur

r
d
,
n
r
Q
]
- Vì (P)
⊥
(Q) và // (d) nên VTPT
n
r
P
= [
u
r
d
,
n
r
Q
]
- T
ừ

đ
ó vi
ế
t
đượ

]
- Ptmp (P)
đ
i qua A và có VTPT
n
r
P
=[
u
r
d
,

AM
uuuur
].
Dạng 13 Viết pt mp (P) chứa (d) và // (
∆
)
- T
ừ
(d)
⇒
VTCP
u
r
d
và
đ
i

r
d
,
u
r
∆
].
Dạng 14. Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
-
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có d
ạ
ng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt c
ủ
a mp (Q) , trong
đ
ó D
≠
D
Q
)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm
đượ
c D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) c
ầ
n tìm.
LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
d
và
đ
i
ể
m M
∈
(d)
- Vì (d) n
ằ
m trong (P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- PT mp (p)
đ
i qua M: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
- d(A,(P)) = h (2)

r
P
= (A,B,C) v
ớ
i
đ
k là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- T
ừ
(d)
⇒
VTCP
u
r
d
và
đ
i
ể
m M
∈
(d)
- Vì d
⊂

đượ
c PT mp(P).
Dạng 17. Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 90
0

- G
ọ
i VTPT c
ủ
a mp (P) là
n
r
P
= (A;B;C) v
ớ
i
đ
k là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- T
ừ
(d)
⇒
VTCP
u


đ
ó ch
ọ
n A,B,C
đ
úng t
ỉ
l
ệ
, ta vi
ế
t
đượ
c PT mp(P).

Dạng 18. Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất

- G
ọ
i H là hình chi
ế
u
⊥
c
ủ
a A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK
≤
AH

ặ
t c
ầ
u (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có d
ạ
ng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt c
ủ
a mp (Q) , trong
đ
ó D'
≠
D
Q
).
- Mà (P) ti
ế
p xúc v
ớ
i (S) nên d(I,(P))= R
⇒
tìm
đượ
c D'
- T
ừ

đ
ó ta có Pt (P) c

R r
−
(1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có d
ạ
ng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt c
ủ
a mp (Q) , trong
đ
ó D'
≠
D
Q
)
- Suy ra d (I,(P)) (2)
⇒
Gi
ả
i h
ệ
(1), (2) tìm
đượ
c D'
⇒
vi
ế
t
đượ
c pt (P).

>0
LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN19

- T

(d)

VTCP
u
r
d
v

i

m M

(d)
- d

(P)

u
r
d.

n

u (S)
- Adct : Chu vi

ng trũn C =
2
r

v di

n tớch S =
2
r

tớnh r.
- Vỡ d

(P)

u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- G

i VTPT c


) = 0
- Vỡ (P) c

t (S) theo

ng trũn bỏn kớnh r nờn d(I,(P)= r (2)
- Gi

i h

(1) v (2) tỡm

c A,B theo C

PT mp(P).

Dng 23: Vit PT mp (P) cha (d) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C)
cú bỏn kớnh nh nht .(ỏp dng trng hp d ct (S) ti 2 im).

- Xỏc

nh tõm I, bỏn kớnh R c

a m

t c

u (S)
- Bỏn kớnh r =
2 2


ng xiờn)
- Do

ú: d(I,(P)) max

AK = AH

K

H
- PT mp(P)

i qua H v nh

n
IH
uuur
lm VTPT
BI TP MU:
Vớ d 1
:
Lập mặt phẳng (P):
a) Đi qua điểm
(
)
1, 2,4
M

và song song với mặt phẳng : 2x+3y +5z-10=0

1,3,2
u

r
làm véc tơ pháp tuyến .Do đó
P có phơng trình là :
(
)
(
)
(
)
1 0 3 2 2 1 0
3 2 4 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + =

c) Ta có
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1,1,1 , 2, 1,3 , , , 4, 1, 3
1 3 3 2 2 1
n n n n
= = = =


Ta có :
( ) ( ) ( )
5 1 1 4 4 5
4,5, 1 , 0, 1,1 , , , 4,4, 1
1 1 1 0 0 1
AB AC AB AC




= =

= =

uuur uuur uuur uuur

Do đó P đi qua A(5,1,3) có véc tơ pháp tuyến
(
)
(
)
(
)
(
)
4,4, 1 : 4 5 4 1 3 0
4 4 21 0

1 2
,
d d

Bi gii:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 1 1 1 1 2
1, 2, 1 , 7, 2, 3 , , , 8, 10, 12 // 4, 5, 6
2 3 3 7 7 2
: 4 0 5 0 6 0 0
4 5 6 0
u u u u n
P x y z
x y z



= = = = =
=
=
ur uur ur uur r

sao cho MH đạt GTNN ,với M(2,1,4)
Bài giải :
Ta có :
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 1 1 1 1 2
1, 2,1 , 1,2, 2 , , , 2,3,4
2 2 2 1 1 2
n n u n n





= =

= = =

ur uur uur ur uur

Tìm toạ độ điểm M(x,y,z) thuộc

, là ngiệm của hệ
2 4 0
2 2 4 0
x y z
x y z

,có phơng trình là: 2(x-0)-(z-0)=0 ,2x- z =0
b) Ta có

:
2
2 3
4
x t
y t t R
z t
=


= +


=

Nếu H thuộc

thì H(2t,-2+3t,4t)
LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN21

(
)
( ) ( ) ( )
2 2 2

2. Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P
Giải :
1. M(x,y,z) có toạ độ là ngiệm của hệ :
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2
2 2 1 3 1 3 2 0
1 3
3 2 0
8 8 1 1, 3, 2
x t
y t
t t t
z t
x y z
t t M
= +


= +

+ + + + =

= +


+ + =

= =
+ = =
uur uur suu r

Vớ d 6:
.(ĐHKD-2005)
TRong Oxyz cho hai đờng thẳng
1 2
1 2 1
: :
3 1 2
x y z
d d
+ +
= =

là giao tuyến của hai mặt phẳng :x+y-z-
2=0,và x+3y-12=0
a) Chứng minh d1,d2 // nhau .Viết phơng trình P chứa hai đờng thẳng d1,d2
b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lợt tại A,B.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ )
Giải :
a) Ta có
( ) ( ) ( )
1 2 2
1 1 1 1 1 1
1,1, 1 , 1,3,0 , , 3, 1, 2
3 0 0 1 1 3
n n u


Qua trên ta thấy
(
)
1 2
3, 1,2
u u u= = =
ur uur r
nên d1//d2
Mặt phẳng P Qua M(-3,5,0) có
(
)
1 2
3, 1,2
u u u= = =
ur uur r
nên mặt phẳng P có phơng trình :
3(x+3) -(y-5)+2z
=0

3x-y+2z +14 =0
b) Oxz cắt d1 tại A(-5,0,-5) ,Oxz cắt d2 tại B(2,0,10)
Diện tích tam giác OAB là S,thì
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
. 5 5 2 10 50.104 20 13 10 13
2 2 2 2
S OAOB= = + + = = =

LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN

b) Viết phơng trình mặt phẳng Q đi qua A và d2
Giải :
a) Đờng thẳng d1,đi qua điểm B(-2,2,0) ,có véc tơ chỉ phơng
( ) ( ) ( )
3 1 1 2 2 3
1,1, 2 , , , 2, 2,10 // ' 1,1, 5
2 0 0 2 2 2
u AB u n= = = =

r uuur r ur

Do vậy P: 1
.(x-2) +1(y-3)-5(z-1)=0 x+y- 5z =0
b) Tơng tự ,mặt phẳng Q đi qua B (-5,2,0) có véc tơ chỉ phơng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3, 1,1 , 7, 1, 1 , 2, 4, 10 // 1, 2, 5
: 1 2 2 3 5 1 0
: 2 5 9 0
u AB AB u n
Q x y z
Q x y z

= = = =




=


a) Viết phơng trình mặt phẳng P tiếp xúc S và vuông góc với d
b) Viết phơng trình mặt phẳng Q tiếp xúc S và // với cả d và d'
Giải :
Cầu S có phơng trình
:(x-5)
2
+(y+1)
2
+(z+13)
2
=308
a) Ta có véc tơ chỉ phơng của d là
(
)
2, 3,2
u
=
r
.Mặt phẳng P,vuông góc với d,do đó có dạng : 2x-3y +2z +D
=0
Mặt cầu S có tâm I(5,-1,-13) và bán kính R=
308
.Vì vậy P tiếp xúc với cầu S khi và chỉ khi d(I,P)=
308


ur r ur

Q có dạng : 4x+6y+5z+D=0
Để Q tiếp xúc với cầu S thì d(I,Q)=
308

LUYN THI H C CHUYấN HèNH HC TA KHễNG GIAN23

20 6 65
308
16 36 25
103
51 23716 154
205
D
D
D
D
+
=
+ +
=
= =
=

Vậy có hai mặt phẳng Q cần tìm :

= = =
+ +






=


p
f

3.S cắt Ox,Oy,Oz là A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,6) . Do vây mặt phẳng ABC có phơng trình là :
2 4 6
x y z
= =

4. Mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B ,có véc tơ pháp tuyến là
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

Bi 1:
Trong khụng gian
Oxyz
, cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a) Vi

t ph

ng trỡnh mp

i qua A v nh

n vect


(1; 1;5)
n
r
lm vect

phỏp tuy

n
b) Vi

t ph

ng trỡnh mp

i qua A bi


t ph

ng trỡnh mp trung tr

c c

a

o

n AC
e) Vi

t ph

ng trỡnh mp (ABC)

Bi 2
: Trong khụng gian
Oxyz
, cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a) Vi

t ph

ng trỡnh mp

i qua I(2;1;1) v song song v


đ
i
ể
m A, B và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
: 2 2 2 0
Q x y z
− + − =

d) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua A, song song v
ớ
i tr
ụ

i qua M(2;1;4) và c
ắ
t các tr
ụ
c Ox, Oy, Oz t
ạ
i
các
đ
i
ể
m A, B, C sao cho: OA = OB = OC.

Bài 4:
Trong không gian
Oxyz
, vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp
đ
i qua M(2;2;2) c
ắ
t các tia Ox, Oy, Oz t
ạ
i các
đ
i
ể

i các
đ
i
ể
m A, B, C sao cho tam giác ABC cân t
ạ
i A,
đồ
ng th
ờ
i M là tr
ọ
ng tâm tam giác ABC.

Bài 6:
Trong không gian
Oxyz
, cho t
ứ
di
ệ
n ABCD, bi
ế
t r
ằ
ng:
(
)
(
)

đỉ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n
đ
ó.

Bài 7
: Trong không gian
Oxyz
, cho mp(P):
2 2 2 0
x y z
− + − =
và hai
đ
i
ể
m
(
)
2; 1;6 ,
A
−

(

ố

đ
o l
ớ
n nh
ấ
t.
c) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm B ti
ế
p xúc v
ớ
i mp (P)

Bài 8:
Trong không gian
Oxyz
, cho ba m
ặ
t ph
ẳ
ng:

)
α
và
(
)
γ

c) Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai mp
(
)
α
và
(
)
γ

d) Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m cách
(
)
β

γBài 9:
Trong kh.gian
Oxyz
, cho 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
:2 2 1 0; : 2 1 0
x y z x y z
− − − = − + − =
α β

a) Tính cosin góc gi
ữ
a hai mp
đ
ó
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m

c Ox

Bài 10:
Trong không gian
Oxyz
, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
:2 2 3 0
P x y z
− + − =
và m
ặ
t c
ầ
u (C ):
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25
x y z
− + + + − =

a) Ch
ứ
ng t
ỏ
r

ặ
t c
ầ
u song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)

Bài 11:
Trong không gian
Oxyz
, cho hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
:2 2 5 0
x y z
α
− + − =
và m
ặ
t c
ầ
u (C)

t ph
ẳ
ng
(
)
α

b) Tính góc gi
ư
a mp
(
)
α
v
ớ
i Ox
c) L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp
đ
i qua hai A(1;0;1)
đ
i
ể
m B(1;-2;2) và h
ợ
p v
ớ

)
(
)
1;1;2 , 1;2;1 , 2;1;1 , 1;1; 1
A B C D
−

a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ABC.
b) Tính góc cosin gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) và (ABD)

Bài 14
: Trong không gian
Oxyz
, vi
ế
t ph

ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua giao tuy
ế
n c
ủ
a hai mp
2 4 0 3 0
x z và x y z
+ − = + − + =

đồ
ng th
ờ
i song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
0
x y z

i mp
2 7 0
x y
− + =Bài 17:
Trong không gian
Oxyz
, cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’ có c
ạ
nh b
ằ
ng 2. G
ọ
i I, J, K
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m các c
ạ

đế
n mp(AJK)

Bài 18:
Trong không gian
Oxyz
, cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t
2 ;
AB SA a AD a
= = =
.
Đặ
t h
ệ
tr
ụ
c
Oxyz
sao cho các tia Ox, Oy, Oz l
ầ
n l
ượ
t trùng v
ớ

ẳ
ng (SBD).
c) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC)
d) Tính cosin góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC) và (SDC)
e) Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD


i
ể
m I. D
ự
ng
đ
o
ạ
n SD =
6
2
a
vuông góc v
ớ
i mp (ABC). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
( ) ( )
mp SAB mp SAC
⊥

b)
( ) ( )
mp SBC mp SAD
⊥

c) Tính th

ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đ
i
ể
m A(2;4;1), B(–1;1;3) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
x y z
–3 2 –5 0
+ =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q)
đ
i qua hai


Q y z
( ) :2 3 11 0
+ − =
.