 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
A - ĐẶT VẤN ĐỀ
rong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản
và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải được
nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần đây
các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong đó có
một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trình nghiệm
nguyên”. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến
phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” là chuyên
đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được, vận dụng được là vấn
đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về “Phương
trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi tư duy toán
học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài
toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán. Học sinh nắm chắc
về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìa khoá vàng giải được nhiều loại toán khác
như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm
nguyên…
T
Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy “Phương trình
nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội
đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi.
Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính:
Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết.
Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
1
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I - Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu:
1- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 8.
Những bài toán rút gọn và tìm điều kiện của biến, thì hầu hết các em đều làm

2
= 345
3) x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
4)
1
111
=++
zyx
5) xy - 4x = 35 - 5
Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm được cách giải, số học sinh giải được
chỉ chiếm 1 – 2%.
Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toán
khó và mới đối với học sinh. Để học sinh nắm được cách giải các dạng toán này thì
giáo viên phải tổng kết và áp dụng được vấn đề này.
II - Phương pháp nghiên cứu:
♣ Phương pháp điều tra.
♣ Phương pháp thống kê.
♣ Phương pháp đối chứng.
♣ Phương pháp phân tích, tổng hợp.
♣ Phương pháp thực nghiệm.
Bằng những phương pháp trên tôi đã thấy được hiệu quả rất cao của kinh
nghiệm này. Kiến thức đưa ra để giảng dạy cho học sinh đảm bảo tính logíc có hệ
thống từ thấp đến cao áp dụng được cho nhiều đối tượng học sinh. Bằng cách đưa
ra phần lý thuyết có liên quan trước và hệ thống các bài tập phân theo dạng giúp
học sinh khai thác tốt lý thuyết vận dụng vào giải các bài tập từ đơn giản đến phức
tạp. Các bài tập đưa ra cho học sinh đã được chọn lọc và điều tra đảm bảo được

∀
a,b,c,d
∈
Z
- Nếu a
≠
0 thì a : a và 0 : a
- Nếu a : b và b : c
⇒
a : c
- Nếu a : b và b : a
⇒
a = ± b
- Nếu a : b và a : c
⇒
a : BCNN[a;b]
- Nếu a : b và a : c (b,c) = 1
⇒
a : (bc)
- Nếu a : b
⇒
ac : b
3. Một số định lí thường dùng.
- Nếu a : c và b : c
⇒
(a ± b) : c
- Nếu a : c và b : d
⇒
ab : cd
- Nếu a : b

n
+ b
n
) : (a + b)
4. Các dấu hiệu chia hết.
+ Dấu hiệu chia hết cho 2:
+ Dấu hiệu chia hết cho 3:
+ Dấu hiệu chia hết cho 4:
+ Dấu hiệu chia hết cho 5:
+ Dấu hiệu chia hết cho 8:
+ Dấu hiệu chia hết cho 9:
+ Dấu hiệu chia hết cho 10:
+ Dấu hiệu chia hết cho 11:
Số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
Số có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0.
Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho
8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Số có chữ số tận cùng là 0.
Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và
tổng các chữ sốhàng lẻ chia hết cho 11.
II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên:
3
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
+ Tập hợp số nguyên dương Z
+
= {1; 2; 3 …}
+ Tập hợp số nguyên âm Z

m
3
0
⇒
m là ước số của 3
⇒
m = {±1; ±2; ±3}
c- Bài tập tương tự: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm nguyên:
a) (2m – 1)x – 10 = 0 b) (m
2
– 2)x + 36 = 0
d- Bài tập phát triển:
*Bài tập 1: Tìm n
∈
N để PT (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm tự nhiên.
*Hướng dẫn:
(4n + 3)x - 8n = 193
⇔
(4n + 3)x = 193 + 8n
⇔
x =
34
187
34
68
34
8193
+
+
+

∈
N để PT (n - 1)x – n
3
+ n
2
- 2 = 0 có nghiệm tự nhiên.
*Hướng dẫn:
(n - 1)x – n
3
+ n
2
- 2 = 0
4
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
⇔
(n - 1)x = n
3
- n
2
+ 2
⇔
x =
1
2
1
2
2
23
−
+=

2
– x – 3 = 0
*Hướng dẫn:
2x
2
– x – 3 = 0
⇔
(x + 1)(2x – 3) = 0
⇔




=
−=
2
3
1
x
x
Vậy PT có nghiệm nguyên là x = -1.
*Ví dụ 2: Tìm n
∈
N để PT nx
2
+ (2n – 3)x – 6 = 0 có 2 nghiệm nguyên.
*Hướng dẫn:
nx
2
+ (2n – 3)x – 6 = 0

nghiệm nguyên lớn hơn 6.
*Hướng dẫn:
(a + 1)x
2
- (30 + 10a)x + 200 = 0
⇔
(x – 10)[(a + 1)x – 20] = 0
⇔




+
=
=
1
20
10
a
x
x
Để PT có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì







>

– 7x
2
+ 15x – 25 = 0
*Hướng dẫn:
- Đưa PT về dạng (x – 5)(x
2
– 2x + 5) = 0
- Nhận xét: x
2
– 2x + 5 = (x – 1)
2
+ 4 > 0 với mọi x
⇒
PT chỉ có nghiệm nguyên x = 5.
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x
3
+ (x + 1)
3
+ (x + 2)
3
= (x + 3)
3
*Hướng dẫn:
- Đặt y = x – 3
⇒
x = y + 3
⇒
(y + 3)
3
+ (y + 4)

*Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của PT:
6
7
32
22
22
12
2
2
2
2
=
++
++
+
++
++
xx
xx
xx
xx
*Hướng dẫn:
- Đặt y =
22
2
++ xx
= (x + 1)
2
+ 1
≥

⇔
x = 0 hoặc x = - 2
II – Dạng phương trình nghiệm nguyên nhiều ẩn.
1-Phương trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c
∈
Z)
- Điều kiện để PT có nghiệm nguyên là (a,b) = 1. Nếu (a,b) = d > 1 và c chia
hết d thì phương trình không có nghiệm nguyên.
* Cách giải:
- Tách phần nguyên rút ẩn có hệ số giá trị tuyệt đối nhỏ.
*Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29
*Hướng dẫn:
3x + 4y = 29
⇔
3x = 29 – 4y
⇔
x =
3
2
9
3
429 y
y
y −
+−=
−
x,y
∈
Z
⇒

x = 7t + 3. Vậy nghiệm của PT là



=
+=
ty
tx
5
37
(t
∈
Z)
*Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của 8x - 3y = 15
*Hướng dẫn:
- PT 8x - 3y = 15
⇔
3y = 8x – 15
⇔
y = 3x + 4 +
3
1 x−

- Đặt 1 – x = 3t (t
∈
Z)
⇒
x = -3t + 1
⇒
y = - 8t + 7

* Cách giải:
- Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 3x
2
+ 5y
2
= 345
*Hướng dẫn:
- Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5
⇒
3x
2
: 5
⇒
x
2
: 5
⇒
x : 5
⇒
5y
2
: 3
⇒
y
2
: 3
⇒
y : 3
- Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dương)

Trăm trâu trăm bó cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi trâu mỗi loại ?
*Hướng dẫn:
- Gọi số trâu đứng là x con.
- Gọi số trâu nằm là y con. (Với x,y,z nguyên dương)
- Gọi số trâu già là z con.
Theo bài ra ta có



=++
=++
⇔





=++
=++
)2(300915
)1(100
100
3
35
100






=
=
=





=
=
=





=
=
=
84
4
12
;
81
1

Ta có x
3
0
+ 9 + 9z
3
0
-9x
0
y
0
z
0
= 0
⇒
x
0
: 3
⇒
3 y
3
0
: 9
⇒
y
0
: 9
⇒
9z
3
0

z
1
= 0
Tương tự trên ta có x
1
, y
1
, z
1
đều chia hết cho 3
⇒
x
0
, y
0
, z
0
đều chia hết cho 3
2
- Lập luận nhiều lần
⇒
x
0
, y
0
, z
0
đều chia hết cho 3
n
( mọi n

⇒
Chỉ có 2x + 3 = 5 x =1
⇒
y = 3 (Thoả mãn)
Vậy PT có nghiệm nguyên dương là x =1; y = 3
*Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
*Hướng dẫn:
14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
⇔
7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz)
⇔
x +
7
3
2
12
+−=
+yz
z
⇔
x +
3
1
2
3
2
1
2
1
+

⇒
xyz = x + y + z
≤
3z
⇒
xy
≤
3
+ Nếu x = y = z
⇒
z
3
= 3z
⇒
z
2
= 3 không xảy ra
8
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
⇒
x, y, z không thể bằng nhau.
+ Từ xy
≤
3
⇒
chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT.
*Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của PT
1
111
=++

11
+
= 0 không xảy ra.
+ Nếu x = 2
⇒

zy
11
+
=
2
1
dùng bình đẳng với y và z
⇒
(y;z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)}
+ Nếu x = 3
⇒
chỉ có y = z = 3
Vậy các cặp số sau là nghiệm của PT (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3).
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên
3=++
y
zx
x
yz
z
xy
*Hướng dẫn:
- Nếu trong 3 số x, y, z có cùng một số âm thì
3 =


*Hướng dẫn:
- Ta thấy x = 2 là nghiệm của PT vì 12
2
+ 5
2
= 13
2
- Biến đổi PT 12
x
+ 5
y
= 13
x

⇔
1)
13
5
()
13
12
( =+
xx
.
+ Nếu x > 2
⇒
x
)
13

không xảy ra.
+ Nếu x < 2
⇒
x
)
13
12
(
>
2
)
13
12
(
và
x
)
13
5
(
>
2
)
13
5
(
⇒

1)
13

2

⇒




−≤
≥
7
0
z
z
- Ta có (z + 3)
2
< z(z + 7) < (z + 4)
2
với mọi z > 9.
⇒
(z + 3)
2
< y
2
< (z + 4)
2
không xảy ra
⇒
z
≤
9

3
+ 1)
2
< y
4
< (x
3
+ 2)
2
không xảy ra.
- Xét x
≤
- 2, ta có: (x
3
+ 2)
2
= x
6
+ 4x
3
+ 4 < x
6
+ 3x
3
+ 1 < (x
3
+ 1)
2
⇒
(x

x
*Bài tập tương tự : Giải PT nghiệm nguyên (x + 2)
4
- x
4
= y
3
6 - Giải phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng tích.
*Ví dụ 1: Giải PT nghiệm nguyên dương xy – 4x = 35 - 5
*Hướng dẫn:
xy – 4x = 35 – 5
⇔
xy – 4x + 5y – 20 = 15
⇔
(x + 5)(y – 4) = 15
⇒
x + 5 và y – 4 là ước của 15.
Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên dương là



=
=
5
10
y
x
*Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên dương x
2
– 6xy + 13y

Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dương là :
(x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)}
*Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của PT xy
2
+ 3y
2
– x = 108
*Hướng dẫn:
xy
2
+ 3y
2
– x = 108
⇔
xy
2
+ 3y
2
– x – 5 = 105
⇔
(y
2
– 1)(x + 3) = 105
⇒
y
2
– 1 là ước của 105
10
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
Thay vào ta chỉ được y = 6

Bài 5: Chứng minh rằng trên đường thẳng 6x – 2y = 1, không tồn tại điểm
nào có toạ độ là các số nguyên.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của hệ PT





−=+
−=+
−=+
1
1
1
yzxt
ytxz
ztxy
Bài 7 : Tìm a để HPT có có nghiệm nguyên



+=+
=+
1
2
aayx
ayax
Bài 8: Biết rằng PT x
2
– 3x + 1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một gia trị của

x
x
xx
x
x
x
x 2003
)
1
14
1
1
1
1
(
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
−
+
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Với những giá trị nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 12: (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán- Quốc học Huế - 2002-2003 )
Cho biểu thức A =

b) Tìm các giá trị nguyên lớn hơn 8 (a
∈
Z; a > 8) để A có giá trị nguyên.
IV- Kết quả đạt được
1- Kết quả chung:
Sau khi dạy xong về “Phương trình nghiệm nguyên” cho học sinh. Các em
không những giải tốt những bài toán về “Phương trình nghiệm nguyên”, mà các em
còn giải được một số bài toán có liên quan khác như:
♣ Dạng toán chia hết.
♣ Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
♣ Dạng toán hệ phương trình nghiệm nguyên.
Thông qua các dạng toán về “Phương trình nghiệm nguyên” giúp các em học
sinh phát triển tư duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích, say mê học toán
hơn.
2- Kết quả cụ thể:
a- Kiểm tra 20 em học sinh lớp 8A (Khá và trung bình) với bài toán:
Bài 1: Tìm số nguyên dương x để y dương và lớn nhất với y =
54
73
−
+
x
x
- Đối với 10 em được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì có 9 em đều tách
được
4y = 3 +
54
43
−x
và lí luận đúng y

z
Bài 2: Giải PT nghiệm nguyên x
2
+ y
2
+ z
2
= x
2
y
2
Bài 3: Chứng tỏ PT xy
5
= x
5
y + 1999 không có nghiệm nguyên
- Đối với 10 em được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì có 7 em giải đúng
kết quả bài 1 là x = 6, y = 2.
+ 9 em giải đúng bài 2 ( Kết quả x = y = z = 0)
12
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
+ 6 em làm đúng bài 3.
- Đối với 10 em chưa được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì chỉ có 1 em
học giải đúng bài 1, 2em làm đúng bài 2 và không em nào làm được bài 3.
V – Bài học kinh nghiệm.
Qua kinh nghiệm về dạy “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy giáo viên
muốn đạt kết quả cao cần chú ý những điểm sau:
+ Phải hướng dẫn học sinh nắm chắc phần lý thuyết
+ Phải rèn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải và thưc hành nhiều với các bài
toán từ dễ đến khó.


Ngày 25 tháng 02 năm 2008
14
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. SGK6, 7, 8, 9
2. 351 bài toán số học.
3. Toán nâng cao và các chuyên đề toán 8.
4. Toán nâng cao và các chuyên đề toán 9.
5. 255 bài toán số học chọn lọc.
6. 255 bài toán đại số chọn lọc.
7. Toán bồi dưỡng đại số lớp 9.
8. Toán bồi dưỡng đại số lớp 8.
9. 45 bộ đề toán khó.
10. Tuyển tập đề thi môn toán THCS
11. Tuyển chọn các bài tập toán 9
12. 100 bài toán chọn lọc.
13. Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
14. Tạp trí toán học tuồi trẻ, tuổi thơ 2.
15. Bồi dưỡng và phát triển Toán 9
15
 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên
MỤC LỤC

Tên danh mục Trang
A. Đặt vấn đề
B. Giải quyết vấn đề
I. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu.
II. Các phương pháp nghiên cứu.