Đại học quốc gia hà nội
Trờng đại học công nghệ
môn Thi: xác suất-thống kê-QTNN
(5 đơn vị học trình)
Các lớp: K49 CA và CC
Đề số 1
(120 phút)
1) Phát biểu và chứng minh công thức cộng xác suất trong trờng hợp có hai
sự kiện A và B. Mở rộng cho trờng hợp có 3 sự kiện A, B, C.
2) Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa
rộng.
3) Các hệ số a,b, c của phơng trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
đợc xác định qua 3
lần gieo một con xúc sắc 6 mặt đối xứng. Tìm xác suất để phơng trình bậc
hai trên có:
a) Nghiệm thực.
b) Nghiệm phức.
4) Cho A là tập hợp bị giới hạn bởi hình vuông đơn vị và các đờng cong
2
y x=
và
y x=
. Xét véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời
5 ( )
( )
0
X Y
khi x y A
f x y

là một tham số cha biết. Hãy tìm ớc lợng hợp lý cực đại của

từ
một mẫu (
1 2
, , ,
n
X X XL
)
Thang điểm và lời giải Đề1/05-06 XSTK-QTNN
1)2 điểm
Trờng hợp 2 sự kiện A và B , chứng minh nh trong giáo trình và ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
.P A B P A P B P A B = +
Trờng hợp 3 sự kiện A, B và C, lần lợt ứng dụng công thức cộng xác suất cho 2 sự kiện (
A B
),
C
và A, B ta đợc:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C = + + +
2) 2 điểm
Nh trong giáo trình
3) 2 điểm
b)
( )
2
( ) 5 0 1
X
f x x x x=

b
ac
Các cặp giá trị của (a, c)
thoả mãn
2
4
b
ac
1
1
4
ac
0 Không có
2
4
1
4
ac=
1 (1,1)
3
9
2,5
4
ac=
3 (1,1) (1,2) (2,1)
4
16
4
4
ac=

0
n
n
n
X X
L
X X
khac







=



Để
( , )f x

là hàm mật độ, ta giả thiết:
1

>
.
Suy ra:
( )
( )

= = = +



Vì
( )
( )
2
2 2
ln 0
( 1)
d n
L
d


= <

nên điểm dừng chính là điểm cực đại và
1

1
ln
n
i
i
n
X

=

b) Tính hàm phân phối
( ) { }
X
F x P X x=
với x=2 và với x=4.
c) Tính
{ }
2 5P X< <
và
{ }
3 4 .P X
3) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Laplace có dạng sau:
( )
( )
, exp ,
2
f x x x R


=
a) Xác định ớc lợng hợp lý cực đại


của
.

b) Tính


với mẫu cỡ 5 nh sau

a) Giả thuyết
:" 15"
o
H
à
=
so với đối thuyết
1
:" 15".H
à

b) Giả thuyết
:" 15"
o
H
à
=
so với đối thuyết
1
:" 15".H
à
>
Cho biết
0,025
1,96z =
và
0,050
1,65.z =
5) Cho quá trình ngẫu nhiên
( ) ( )X t cos at

d) Ước lợng hợp lý cực đại


của

là
1 2

.

n
n
x x x

=
+ + +
1,5 điểm.
e) Với mẫu cỡ 5 đã cho,

0,5

=
; 1/2 điểm.
4) 2 điểm
a)
0
16,2 15 11
121 3,66 1,96.
3.6 3
X

(5 đơn vị học trình)
Các lớp: K50 CA và CC
Đề số 2
(120 phút)
1) Một hệ thống máy tính nối mạng trực tuyến có 4 đờng truyền với tính
năng sau:
Đờng
truyền
Tỉ lệ
đợc sử dụng
Xác suất nhận bản tin
không sai sót
1 0,4 0,998
2 0,3 0,999
3 0,1 0,997
4 0,2 0,992
Chọn ngẫu nhiên một bản tin. Tính xác suất để hệ thống nhận bản tin đó
không sai sót.
2) Giả sử hàm mật độ đồng thời của một vectơ ngu nhiên 2 chiều (X,Y)
đợc cho bởi
( ) ( )
, 2
XY
f x y c x y= +
với
0 3x
< <
và
1 2y< <


=

. Chứng minh:
X
là ớc lợng không chệch và ớc l-
ợng vững của
.
à
.
4) Cho
( )
1 2
, , ,
n
X X X
là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ biến ngẫu nhiên X có
hàm mật độ:
1 1/
1
1
( )
0
khi x
f x
x
nguoc lai


+



và
( )
XY
R

đã cho. Xét
( ) ( ) ( )S t X t Y t= +
và
( ) ( ) ( )D t X t Y t=
.
a) Tìm hàm tự tơng quan của
( ).S t
b) Tìm hàm tơng quan chéo
( , )
SD
R t s
Đáp án và thang điểm đề 2
Môn thi: Xác suất-Thống kê-QTNN
1) 2 điểm
Xác suất cần tìm : 0,4 x 0,998+ 0,3 x 0,999 +0,1 x 0,097 +0,2 x 0,992=
0,997.
2) 2 điểm
c= 2/27
( )
2
( ) 3 ;
27
X
f x x= +

( ) ( ) ( ) ( ).
X YX XY Y
R t s R t s R t s R t s− + − + − + −
1 ®iÓm
b)
( ) ( ) ( ) ( ).
X YX XY Y
R t s R t s R t s R t s− + − − − + −
1 ®iÓm