SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
(Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b
HÀ NI - 2006

=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

cung cp cho sinh viên nhng công c toán hc tt hn. Trong ln tái bn ln th hai tp bài ging
đc nâng lên thành giáo trình, ni dung bám sát hn na nhng đc thù ca chuyên ngành vin
thông. Chng hn trong ni dung ca phép bin đi Fourier chúng tôi s dng min tn s
f
thay
cho min
ω
. Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent chúng tôi gii thiu phép bin đi
Z

đ biu din các tín hiu ri rc bng các hàm gii tích. Tuy nhiên do đc thù ca phng thc
đào to t xa nên chúng tôi biên son li cho phù hp vi loi hình đào to này.
Tp giáo trình bao gm 7 chng. Mi chng cha đng các ni dung thit yu và đc
coi là các công c toán hc đc lc, hiu qu cho sinh viên, cho k s đi sâu vào lnh vc vin
thông. Ni dung giáo trình đáp ng đ
y đ nhng yêu cu ca đ cng chi tit môn hc đã đc
Hc vin duyt. Trong tng chng chúng tôi c gng trình bày mt cách tng quan đ đi đn các
khái nim và các kt qu. Ch chng minh các đnh lý đòi hi nhng công c va phi không quá
sâu xa hoc chng minh các đnh lý mà trong quá trình chng minh giúp ngi đc hiu sâu hn
bn cht ca đnh lý và giúp ngi đc d
 dàng hn khi vn dng đnh lý. Các đnh lý khó chng
minh s đc ch dn đn các tài liu tham kho khác. Sau mi kt qu đu có ví d minh ho.
Cui cùng tng phn thng có nhng nhn xét bình lun v vic m rng kt qu hoc kh nng
ng dng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví d minh ho mang tính chuyên
sâu v vin thông vì s hn ch ca chúng tôi v lãnh vc này và c
ng vì vt ra khi mc đích
ca cun tài liu.
Th t ca tng Ví d, nh lý, nh ngha, đc đánh s theo tng loi và chng. Chng
hn Ví d 3.2, nh ngha 3.1 là ví d th hai và đnh ngha đu tiên ca chng 3… Nu cn
tham kho đn ví d, đnh lý, đnh ngha hay công thc nào đó thì chúng tôi ch rõ s th t c

tc, gii tích, tích phân phc, chui s ph
c, chui ly tha, chui Laurent…  nghiên cu các
vn đ này chúng ta thng liên h vi nhng kt qu ta đã đt đc đi vi hàm bin thc. Mi
hàm bin phc
() ( ) (, ) (, )wfz fxiy uxyivxy==+= +
tng ng vi hai hàm thc hai bin
(, )uxy, (, )vxy. Hàm phc ()
f
z liên tc khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy liên tc. ()
f
z kh vi
khi và ch khi
(, )uxy, (, )vxy có đo hàm riêng cp 1 tha mãn điu kin Cauchy-Riemann. Tích
phân phc tng ng vi hai tích phân đng loi 2 …Mi chui s phc tng ng vi hai
chui s thc có s hng tng quát là phn thc và phn o ca s hng tng quát ca chui s
phc đã cho. S hi t hay phân k đc xác đnh bi s hi t hay phân k
ca hai chui s thc
này.
T nhng tính cht đc thù ca hàm bin phc chúng ta có các công thc tích phân
Cauchy. ó là công thc liên h gia giá tr ca hàm phc ti mt đim vi tích phân dc theo
đng cong kín bao quanh đim này. Trên c s công thc tích phân Cauchy ta có th chng
minh đc các kt qu: Mi hàm phc gii tích thì có đo hàm mi cp, có th khai trin hàm
phc gii tích thành chui Taylor, hàm gi
i tích trong hình vành khn đc khai trin thành chui
Laurent.
Bng cách tính thng d ca hàm s ti đim bt thng cô lp ta có th áp dng đ tính các
tích phân phc và tích phân thc, tính các h s trong khai trin Laurent và phép bin đi Z
ngc.
Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent ta có th xây dng phép bin đi Z.Phép bin
đi Z cho phép biu din dãy tín hiu s ri rc bng hàm gii tích.

11 1
zxiy
=
+ và
222
zxiy
=
+ bng nhau khi và ch khi phn thc và phn o
ca chúng bng nhau.
12
11 12 2 2 12
12
,;
x
x
zxiyz xiy zz
y
y
=
⎧
=+ =+ = ⇔
⎨
=
⎩
(1.1)
Tp hp tt c các s phc ký hiu .
1.1.2. Các phép toán
Cho hai s phc
11 1
zxiy=+ và

z ,
ký hiu
12
zz z=−.
c) Phép nhân: Tích ca hai s phc
1
z và
2
z là s phc đc ký hiu và đnh ngha bi
biu thc:

()
(
)
(
)
(
)
12 1 1 2 2 12 12 12 12
zzz xiy x iy xx yy ixy yx==+ += − + + . (1.2)
d) Phép chia: Nghch đo ca s phc
0zxiy
=
+≠ là s phc ký hiu
1
z
hay
1
z
−

⎩
. (1.3)
S phc
1
12 12 12 12
12
22 22
22 22
x
xyy yxxy
zzz i
x
yxy
−
+−
== +
++
đc gi là thng ca hai s phc
1
z và
2
z , ký hiu
1
2
z
z
z
=
(
2

)
51 23311
x
yixii i++−+ +=−.
Gii: Khai trin và đng nht phn thc, phn o hai v ta đc

2523
7
3,
456 11
5
xy
xy
xy
++=
⎧
⇒=− =
⎨
+−=−
⎩
.
Chng 1: Hàm bin s phc

7
Ví d 1.3: Gii h phng trình
1
21
ziw
zw i
+=

ii
wiz i
−+ +
⎛⎞
⇒= −= =−
⎜⎟
⎝⎠
.
Ví d 1.4: Gii phng trình
2
250zz++=.
Gii:
() ()()( )( )
222
2
25 1 4 1 2 12 12zz z z i z iz i++=+ +=+ − =+− ++ .
Vy phng trình có hai nghim
12
12, 12ziz i
=
−+ =−− .
1.1.3. Biu din hình hc ca s phc, mt phng phc
Xét mt phng vi h ta đ trc chun
Oxy
, có véc t đn v trên hai trc tng ng là
i

và
j


M
xy có ta đ cc
()
;r
ϕ
xác đnh bi
(
)
,,rOM OxOM
ϕ
==
 

tha mãn
cos
sin
xr
yr
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩

Ta ký hiu và gi

22
zrOM x y== = +

x

x

M

y
y

O

i



j



Chng 1: Hàm bin s phc

8
Góc ϕ ca s phc 0zxiy=+ ≠ đc xác đnh theo công thc sau
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=ϕ
=ϕ

ϕ
=+ (1.8)
Do đó
cos , sin
22
ii ii
ee ee
i
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
−
−
+−
==
. (1.9)
T (1.7)-(1.8) ta có th vit s phc di dng m
i
zze
ϕ
= (1.10)
Các tính cht ca s phc
̇
11
1212 1212
2
2
;;
zz
zz zz zz zz

==
⎪⎪
=⇔ ⇔
⎨⎨
==+
⎪⎪
⎩⎩
(1.13)
̇
2
zz z= ,
2
1
z
z
zz
z
z
==
,
112
2
2
2
zzz
z
z
=
. (1.14)
̇

=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
⇒
zy
zx
và
yxz +≤ (1.17)
Chng 1: Hàm bin s phc

9
Ví d 1.5: a) Tp các s phc z tha mãn
23z
−
= tng ng vi tp các đim có khong
cách đn
(2;0)I bng 3, tp hp này là đng tròn tâm
I
bán kính 3.
b) Tp các s phc
z
tha mãn
24zz
−
=+ tng ng vi tp các đim cách đu

cos sin cos sin
n
inin
ϕϕ ϕ ϕ
+=+
(1.18)'
Ví d 1.6: Tính
()
10
13i−+ .
Gii:
()
10
10
10
2 2 20 20
13 2cos sin 2cos sin
33 3 3
ii i
π
πππ
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞
−+ = + = +
⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
=
ω
ϕ
+
ϕ
=
iirz thì

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
π+ϕ
=θ
=ρ
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈π+ϕ=θ
=ρ
⇔ω=
n
k
r
kkn
r

Ví d 1.7: Gii phng trình
01
4
=+z
Gii: Nghim ca phng trình là cn bc 4
ca
π
+
π=− sincos1 i
tng ng là:
x

y
0
z
1
z
2
z
3
z
O
1
i
4
π

Chng 1: Hàm bin s phc

10

zz
−
−
=−=
,
2
1
03
i
izz
−
=−= .
1.1.7. Các khái nim c bn ca gii tích phc
1.1.7.1. Mt cu phc
Trong 1.1.3 ta đã có mt biu din hình hc ca tp các s phc
 bng cách đng nht
mi s phc
iy
x
z += vi đim
M
có ta đ );( yx trong mt phng vi h ta đ Oxy . Mt
khác nu ta dng mt cu
)(
S
có cc nam tip xúc vi mt phng
Oxy
ti O, khi đó mi đim
z


0
.
1.1.7.2. Lân cn, min
a. Lân cn
Khái nim
−ε lân cn ca 
∈
0
z đc đnh ngha hoàn toàn tng t vi −ε lân cn
trong
2
 , đó là hình tròn có tâm ti đim này và bán kính bng
ε
.

(
)
{
}
ε<−∈=
ε 00
zzzzB  (1.23)
−N
lân cn
∈∞
:
(
)
{
}


)(
S

Chng 1: Hàm bin s phc

11
c. im biên
im
1
z , có th thuc hoc không thuc
E
, đc gi là đim biên ca
E
nu mi lân cn
ca
1
z
đu có cha các đim thuc
E
và các đim không thuc
E
.
Tp hp các đim biên ca
E
đc gi là biên
E
, ký hiu
E
∂

 không phi là tp m vì các đim biên
rzz =−
0

không phi là đim trong.
d. Tp liên thông, min
Tp con
D ca mt phng phc hay mt cu phc đc gi là tp liên thông nu vi bt k
2 đim nào ca
D cng có th ni chúng bng mt đng cong liên tc nm hoàn toàn trong D .
Mt tp m và liên thông đc gi là min.
Min
D
cùng biên
D
∂ ca nó đc gi là min đóng, ký hiu DDD ∂∪= . Min ch có
mt biên đc gi là min đn liên, trng hp ngc li gi là min đa liên.
Ta qui c hng dng trên biên ca min là hng mà khi ta đi trên biên theo hng đó
thì min
D
 bên tay trái.
Min
D
đc gi là b chn nu tn ti 0>R sao cho
DzRz ∈∀≤ ,
.
1.2. HÀM BIN PHC
1.2.1. nh ngha hàm bin phc
nh ngha 1.1: Mt hàm bin phc xác đnh trên tp con
D

min, vì vy
D đc gi là min xác đnh.
Thông thng ngi ta cho hàm phc bng công thc xác đnh nh
()
zf
, khi đó min xác
đnh
D là tp các s phc
z
mà
()
zf có ngha.
Hàm s
()
1
2
+
==
z
z
zfw
có min xác đnh là
{
}
Dzz i
=
≠± .
Ta có th biu din mt hàm phc bi hai hàm thc ca hai bin
),( yx nh sau:
Chng 1: Hàm bin s phc

Hàm s xyiyxiyxzw 2)3(3)(3
2222
++−=++=+= có
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
xyv
yxu
2
3
22
.
Trng hp min xác đnh
⊂D thì ta có hàm phc bin s thc, ta ký hiu
(
)
tfw = có
bin s là
t thay cho z .
Trng hp min xác đnh D là tp s t nhiên  thì ta có dãy s phc
()
∈
= nnfz
n
, ,
ta thng ký hiu dãy s là

, nu
ε<−⇒≥>∃>ε∀
0
:0,0 zzNnN
n
(1.25)
Dãy s
()
∞
=
1n
n
z có gii hn là
∞
, ký hiu
∞
=
∞→
n
n
zlim , nu
ε>⇒≥>∃>ε∀
n
zNnN :0,0 (1.26)
T (1.17) suy ra rng

⎪
⎩
⎪
⎨

z có gii hn
là
L khi
z
tin đn
0
z , ký hiu
(
)
Lzf
zz
=
→
0
lim , nu vi mi lân cn
()
LB
ε
tn ti lân cn
()
0
zB
δ
sao cho vi mi
()
00
, zzzBz
≠
∈
δ

=
=
⇔=
→
→
→
0
),(),(
0
),(),(
),(lim
),(lim
lim
00
00
0
vyxv
uyxu
Lzf
yxyx
yxyx
zz
(1.29)
trong đó
00000
, ivuLiyxz +=+= .
Chng 1: Hàm bin s phc

13
1.2.3. Liên tc

thc, phn o) xác đnh bi (1.24) là liên tc. Do đó ta có th áp dng các tính cht liên tc ca
hàm thc hai bin cho hàm phc.
1.2.4. Hàm kh vi, điu kin Cauchy-Riemann
nh ngha 1.5: Gi s
iy
x
z
+
= là mt đim thuc min xác đnh D ca hàm phc đn
tr
()
zfw = . Nu tn ti gii hn

(
)
(
)
z
zfzzf
z
Δ
−
Δ
+
→Δ 0
lim (1.33)
thì ta nói hàm
(
)
zfw = kh vi (hay có đo hàm) ti

w
zw
zz
22limlim'
00
=Δ+=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
.
nh lý 1.1: Nu hàm phc
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzfw ,,
+
=
=
kh vi ti iy
x
z += thì phn thc
()
yxu , và phn o
()
yxv , có các đo hàm riêng ti ),( yx và tha mãn điu kin Cauchy-
Riemann

x
u
,,
,,
(1.34)
Ngc li, nu phn thc
()
yxu ,
, phn o
(
)
yxv ,
kh vi ti ),( yx và tha mãn điu kin
Cauchy-Riemann thì
()
zfw = kh vi ti iy
x
z
+
=
và

() () () () ()
yx
y
u
iyx
y
v
yx

∂
−=−=
∂
∂
∂
∂
==
∂
∂
x
v
y
y
u
y
v
x
x
u
2
2
, do đó hàm kh vi
ti mi đim và
()
zyixzw 222' =+
=
.
Chng 1: Hàm bin s phc

14

()
zf gii tích
trong
D
nu nó gii tích trong mt min cha
D
.
Khái nim kh vi và đo hàm ca hàm phc đc đnh ngha tng t nh trng hp hàm
thc. Vì vy các tính cht và quy tc tính đo hàm đã bit đi vi hàm thc vn còn đúng đi vi
hàm phc.

()
() ()' '() '()
f
zgz fzgz±=±.

()
() ()' '()() () '()
f
zgz f zgz f zg z=+. (1.38)

()
'
2
() '()() () '()
,()0
()
()
fz f zgz fzgz
gz

ϕ+
ϕ
= sincos irz thì
(
)
ϕ+ϕ= ninrw
n
sincos .
Vy nh ca đng tròn
Rz = là đng tròn
n
Rw = . nh cúa tia
π
+ϕ= 2Arg kz là
tia
π
+ϕ= 2'Arg knw . nh cúa hình qut
n

z
2
arg0 <<
là mt phng
w
b đi trc thc dng.
zw = là hàm ngc ca hàm ly tha bc
n
.
Mi s phc khác 0 đu có đúng n cn bc n, vì vy hàm cn là mt hàm đa tr.
1.2.6.3. Hàm m
z
ew =
M rng công thc Euler (1.12) ta có đnh ngha ca hàm m
(
)
yiyeeew
xiyxz
sincos +===
+
(1.39)
♦
π+== 2Arg, kywew
x
.
♦ Hàm m gii tích ti mi đim và
(
)
'
zz
ee
=

♦
2121
zzzz

π
π
i
i
eiee .
♦ Qua phép bin hình
z
ew = , nh ca đng thng a
x
=
là đng tròn
a
ew =
, nh
ca đng thng
by = là tia
π
+
=
2Arg kbw .
nh ca bng
π<< 20 y là mt phng w b đi na trc thc dng.
y
O
a
x
=

by =
O
a
e
u
v

b
Z

W

Chng 1: Hàm bin s phc

16
iu này chng t hàm lôgarit phc là hàm đa tr. ng vi mi
z
có vô s giá tr ca
w
,
nhng giá tr này có phn thc bng nhau còn phn o hn kém nhau bi s nguyên ca
π
2 . Vi
mi

zzzz
n
LnLn,LnLnLn,LnLnLn
21
2
1
2121
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
.
Các nhánh đn tr ca hàm lôgarit gii tích trên na mt phng phc Z b đi na trc thc
âm
)0( <x .
1.2.6.5. Các hàm lng giác phc
M rng công thc (1.12) cho các đi s phc ta đc các hàm lng giác phc

∈∀
−
=
+
=
−−

sin
tg .
Các hàm lng giác phc còn gi đc nhiu tính cht ca hàm lng giác thc.
̇ Hàm
zz sin,cos
tun hoàn chu k
π
2 , hàm zz cotg,tg tun hoàn chu k π.
̇ Các hàm lng giác phc gii tích trong min xác đnh

() () () ()
z
z
z
zzzzz
2
'
2
'''
sin
1
cotg,
cos
1
tg,sincos,cossin
−
==−==
.
̇
∈∀=+ zzz ;1sincos

17
1.2.6.6. Các hàm lng giác hyperbolic phc

z
z
z
z
z
z
ee
z
ee
z
zzzz
sh
ch
coth,
ch
sh
th,
2
sh,
2
ch ==
−
=
+
=
−−
(1.43)

Nhiu vn đ trong khoa hc và thc tin (ví d bài toàn n mìn, bài toán thit k cánh máy
bay…) đa đn bài toán: Tìm phép bin hình bo giác bin min D thành min
Δ nào đó mà ta đã
bit hoc d dàng kho sát hn. Trong mc này ta đa ra vài nguyên lý và phng pháp tìm phép
bin hình trong nhng trng hp đn gin.
1.3.1. nh ngha phép bin hình bo giác
nh ngha 1.7: Phép bin hình
(
)
zfw
=
đc gi là bo giác ti z nu tho mãn hai
điu kin sau:
i. Bo toàn góc gia hai đng cong bt k qua đim
z ( k c đ ln và hng).
ii. Có h s co dãn không đi ti
z , ngha là mi đng cong đi qua đim này đu có h
s co dãn nh nhau qua phép bin hình.
Phép bin hình
()
zfw = đc gi là bo giác trong min D nu nó bo giác ti mi đim
ca min này.
nh lý sau đây cho điu kin đ ca phép bin hình bo giác.
nh lý 1.2: Nu hàm
()
zfw = kh vi ti z và
(
)
0'
≠

 vì
(
)
zazw
∀
≠
=
,0'
.
Nu
ϕ
=
i
eaa thì
bzeaw
i
+=
ϕ
. iu này chng t phép bin hình tuyn tính là hp ca
ba phép bin hình sau:
̇ Phép v t tâm O t s
ak =
,
̇ Phép quay tâm O, góc quay
ϕ
,
Chng 1: Hàm bin s phc

18
̇ Phép tnh tin theo véc t b .

≠
+= abazw bin ABCΔ thành
111
CBA
Δ
. Phép bin hình này bin
A
thành
1
A ,
bin
B
thành
1
B , do đó
ba,
tha mãn h phng trình

()
()
iz
i
w
ib
i
a
bia
biai
2
3

i
wiii
=− − + − − = + .
1.3.3. Phép nghch đo
z
w
1
=

Phép bin hình
z
w
1
= có th m rng lên mt phng phc m rng
 bng cách cho nh
ca
0=z là ∞ và nh ca ∞=z là 0
=
w .
o hàm
()

i
1
x

y
A

B

C

7−
3−
i2
i4
Z

W

Chng 1: Hàm bin s phc

19
Vì
zz
z
ArgArg
1
Arg =−= nên
z
và

w
1
=
bin mt đng tròn thành mt đng tròn.
nh ca đng tròn
R=z là đng tròn
R
1
=w , nh ca hình tròn
R<z là phn ngoài
ca hình tròn
R
1
>w . nh ca M trên tia OB là N trên tia OB', B' là đi xng ca B qua trc
thc và
1OM.ON = . 3.4. Phép bin hình phân tuyn tính
0,0; ≠−≠
+

B'
•
x

y

O
u
v
O
W

Z

N
Chng 1: Hàm bin s phc

20
o hàm
()
()
∞−≠∀≠
+
−
= ,,0'
2
c
d
z
dcz

+
=
+
+
=
+
+
=
1
.
Do đó phép bin hình phân tuyn tính là hp ca 3 phép bin hình:
♦ Phép bin hình tuyn tính:
dczz
+

,
♦ Phép nghch đo:
dcz
dcz
+
+
1
 ,
♦ Phép bin hình tuyn tính:
c
a
dczc
adbc
dcz
+

a
w
+
+
=
+
+
=
hoc
2
2
dz
bz
kw
+
+
=
(1.44)
vì vy ch ph thuc 3 tham s. Do đó mt hàm phân tuyn tính hoàn toàn đc xác đnh
khi bit nh
321
,, www ca 3 đim khác nhau bt k
321
,, zzz .  xác đnh 3 tham s
111
,, dba ta gii h phng trình sau đây.

13
131
3

3
1
32
12
3
1
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
−
−
⋅
−
−
=
−
−
⋅
−
−
(1.46)
c bit nu
(
)
0

gii tích, bo giác đn tr hai chiu bin D thành
Δ
.
Hn na nu cho trc
Δ
∈
∈
00
D, wz và 
∈
θ
0
thì ch có duy nht
()
zfw = tho mãn
()
00
zfw = ,
(
)
00
'Arg θ=zf .
nh lý Riemann ch cho ta bit s tn ti ca phép bin hình ch không cho ta cách tìm c
th phép bin hình này. Trong thc hành, đ tìm phép bin hình bin min D thành min
Δ
ngi
ta tìm phép bin hình bin D, Δ v hình tròn đn v
1<z hay na mt phng trên. (Các phép
bin hình này có th tìm trong các s tay toán hc).
♦ Nu

trn tng khúc,
Δ
b chn. Nu
(
)
zfw
=
gii tích trong D và liên tc trong D , bin hình 1-1
D∂ lên Δ∂ sao cho khi z chy trên D
∂
theo chiu dng, tng ng w chy trên Δ∂ cng theo
chiu dng, thì hàm
()
zfw = bin hình bo giác đn tr hai chiu t D lên Δ .
c. S bo toàn min
nh lý 1.5: Nu hàm
()
zfw = gii tích, khác hng s trên min D thì nh
()
Df=Δ cng
là mt min.
Mt vài chú ý khi tìm phép bin hình bo giác trong các trng hp thng gp sau:
1. i vi hai min đng dng ta dùng phép bin hình tuyn tính
0, ≠+= abazw .
2. Bin mt cung tròn thành mt cung tròn hay đng thng ta dùng hàm phân tuyn tính
0,0; ≠−≠
+
+
= bcadc
dcz

đi xng vi
0
z qua
Ox
,
∞
đi xng vi
0
qua 1=w , do đó theo nguyên
lý tng ng biên ta ch cn tìm hàm phân tuyn tính bin trc thc
0Im =z lên
1=w và bo
toàn chiu.
Hai min đã cho không đng dng nên
0
≠
c
. Mt khác
(
)
0
0
=
zw và tính cht bo toàn
tính đi xng nên
(
)
∞=
0
zw , do đó theo (1.47) ta có th xét hàm phân tuyn tính dng

k
.
ϕ
=⇒
i
ek
. Vy
0
0
zz
zz
ew
i
−
−
=
ϕ
.
Ví d 1.12: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin hình tròn 1<z thành hình tròn
1<w sao cho
()
0
0
=
zw , vi 10

=
−
−
=
zz
zz
kz
z
z
zz
kw
.
Vì nh ca
1=z là 1=w và
z
zz
1
1 =⇒=
.
ϕ
=⇒=
−
−
=
−
−
=
−
−
==⇒

−
−
=
ϕ
zz
zz
ew
i
.
Ví d 1.13: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin hình qut
3
arg0
π
<< z
thành
hình tròn
1<w sao cho
(
)
0
6/
=
πi
ew và
(

ξ
=
ϕ
bin
0Im >ξ thành
1<w tha mãn
()
0
=
iw ,
(
)
∞
=
−
iw .
Chng 1: Hàm bin s phc

23
Nu ta thêm điu kin
()
iw =0 thì ie
i
i
ei
ii
−=⇒
+
−
=

1
:D
i
z
z
thành bng
1Re1 <<− w
.
Gii: Phép bin hình phân tuyn tính
iz
baz
−
+
=ξ bin ii
−
,0, ln lt thành ii
−
∞ ,, , do
đó
ξ bin min D thành bng 1Im1
<
ξ
<− .
Phép quay
ξ
= iw bin bng 1Im1
<
ξ
<
− thành bng 1Re1

Trong mc này ta nghiên cu các tính cht và các biu din ca hàm phc gii tích, vì vy
ta ch xét các hàm đn tr.
1.4.1. nh ngha và các tính cht ca tích phân phc
Khái nim tích phân phc dc theo mt đng cong đc đnh ngha tng t tích phân
đng loi 2.
Gi s
() ( )
(
)
yxivyxuzfw ,, +== xác đnh đn tr trong min D. L là đng cong (có th
đóng kín) nm trong D có đim mút đu là A mút cui là B.
Chia L thành n đon bi các đim
BzzzzA
n
≡
≡
, ,,,
210
nm trên L theo th t tng
dn ca các ch s.
•
i
1
i

i
−

31iz
zi

,
kk k
zxiy=+
11 1
, , ; 1,2, , .
kkk kkk k kk
zzz xxx yyy k n
−− −
Δ= − Δ= − Δ= − =

()
∑
=
Δζ=
n
k
kkn
zfS
1
(1.48)
đc gi là tng tích phân ca hàm
(
)
zf trên L ng vi phân hoch và cách chn các đim đi
din trên. Tng này nói chung ph thuc vào hàm
(
)
zf , đng L, cách chia L bi các đim
k
z và

. Vy

()

()
1
max 0
1
lim
k
kn
n
kk
z
k
AB
I
fzdz f z
ζ
≤≤
Δ→
=
== Δ
∑
∫
(1.49)
Tng tích phân (1.48) có th phân tích thành tng ca 2 tng tích phân đng loi 2.
() ( ) ( )( )
11
,,

max 0
max 0
max 0
k
kn
k
kn
k
kn
x
z
y
≤≤
≤≤
≤≤
⎧
Δ
→
⎪
Δ→ ⇔
⎨
Δ
→
⎪
⎩

Vì vy tích phân phc (1.49) tn ti khi và ch khi hai tích phân đng loi 2 có tng tích
phân (1.50) tn ti và có đng thc
x
y

f
z dz udx vdy i vdx udy=−+ +
∫∫ ∫
(1.51)
Nu hàm
() ( )
(
)
yxivyxuzfw ,, +== liên tc trên D và cung

AB trn tng khúc thì tn
ti hai tích phân đng loi 2  v phi ca (1.51) do đó tn ti tích phân phc tng ng.
ng thc (1.51) suy ra rng tích phân phc có các tính cht nh các tính cht ca tích phân
đng loi 2.
̇
() ()
()

(
)

(
)

AB AB AB
f
zgzdz fzdz gzdz+= +
∫∫∫
.
̇

. c bit, nu
(
)
L, ∈∀≤ zMzf và l là đ dài ca đng cong L thì
()
L
f
zdz Ml≤
∫
. (1.52)
Khi A trùng vi B thì L là đng cong kín (ta ch xét các đng cong kín không t ct, gi
là đng Jordan). Tích phân trên đng cong kín L đc quy c ly theo chiu dng, ký hiu là
()
L
f
zdz
∫
.
Ví d 1.15: Tính tích phân

2
AB
I
zdz=
∫
; iBiA 42,1
+
=
+
=