BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Huyền

SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 601410 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN ÁI QUỐC

SGV : Sách giáo viên.
KNV : Kiểu nhiệm vụ.
T1 : Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” của Matthias
Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton.
T2 : Giáo trình “Introduction to complex analysis” của W W L Chen.
T3 : giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đông, giáo trình dành
cho sinh viên sư phạm.
[P] : Mathématiques 12
ème
, Ministère de l’Éducation et de la formation,
Hanoi 2002.
1
M
: TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo
dục.
2
M
: ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản
giáo dục. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN
Tôi tên: Lê Thị Huyền
Ngày sinh: 12/04/1985 Nơi sinh: Quảng Ngãi
Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Toán khóa: 18
Tôi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương
trình phổ thông”

khi hoàn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng.
Như ta ñã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực
2
0
Ax Bx C
+ + =
mà
biệt thức
0
∆ <
ñều không có nghiệm thực, sự phát triển của khoa học nói chung
và toán học nói riêng ñòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp
số mới gọi là tập hợp các số phức, trong ñó các phép tính cộng và nhân các số
phức với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số thực sao cho các
phương tình nói trên ñều có nghiệm.
Ở chương trình phổ thông, số phức ñã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình
toán ở nhiều nước trên thế giới. Tuy nhiên ở Việt Nam, ñối tượng số phức ñược
ñưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban
thí ñiểm năm 1998. Sau ñó ñến năm học 2008-2009 mới ñưa vào. Như vậy có một
sự ngắt quãng. Tại sao có sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trò của
khái niệm số phức trong chương trình phổ thông Việt Nam giống và khác nhau
như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñưa ra như thế
nào?
Những ghi nhận ban ñầu nói trên ñưa chúng tôi ñến việc ñặt ra các câu hỏi sau:
Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñã ñược hình thành và phát
triển như thế nào?
Q2’: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào ở bậc ñại học?
Q3’: Số phức ñược ñưa vào chương trình toán THPT với mục tiêu gì? Nó ñược
tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñề cập như thế nào và các ứng dụng
của nó ra sao? Có sự tương ñồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy

thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở ñâu,
có vai trò gì và tồn tại ra sao … trong I.
32.3. Quan hệ cá nhân
Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại
mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào
về O, có thể thao tác O ra sao?
Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần ñặt nó trong R(I, O).
2.4. Tổ chức toán học:
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần
[
]
, , ,
T
τ θ
Θ
, trong ñó T là kiểu nhiệm vụ,
τ
là kỹ thuật cho phép giải T,
θ
là công
nghệ giải thích cho kỹ thuật
τ
, còn
Θ

việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức?
Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc
phải khi học số phức? Những hợp ñồng nào ñược hình thành giữa giáo viên và học
sinh khi dạy học số phức”
4. Mục ñích và phương pháp nghiên cứu.
Mục ñích nghiên cứu của chúng tôi là ñi tìm câu trả lời cho những câu hỏi ñã
ñặt ra ở mục 2. Để ñạt ñược mục ñích ñề ra, chúng tôi xác ñịnh phương pháp
nghiên cứu như sau:
- Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử toán
học, trong ñó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức ñược xây
dựng như thế nào, các mô hình hình học của số phức ñược các nhà toán học xây
dựng như thế nào?
- Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình ñại học. Cụ thể là giáo
trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Từ ñó làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể
chế trong chương sau.
- Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn ñề số
phức ñể thấy ñược mong muốn của thể chế ñưa ra ở ñây là gì? Từ ñó so sánh với
thể chế dạy học toán ở Việt Nam về khái niệm số phức.
- Xây dựng và tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh ñể cho phép tìm câu
trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt ra.
55. Tổ chức của luận văn.
Luận văn gồm 6 phần: Phần mở ñầu, 4 chương và phần kết luận chung.
Trong phần mở ñầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban ñầu, khung lý
thuyết tham chiếu; mục ñích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.

Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh.
2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch
sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học
thành phố HCM.
3. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen
dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.
4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản
ñại học quốc gia thành phố HCM.
5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.
6. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math
through the Ages, a gentle history for teachers and others.
7. Remark on the history of Complex Numbers
8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company,
London 1909.
71. Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức
Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano ñưa ra vấn ñề về
việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40. Theo
những kiến thức lúc bấy giờ thì không tồn tại hai số ñó nhưng Cardano chỉ ra rằng
nếu bỏ qua sự vô lý của các kí hiệu thì hai số có dạng
5 15
+ −
và
5 15
− −

thức này dùng cho mọi phương trình bậc 3 (phương trình dạng
3 2
0
x ax bx c
+ + + =

có thể ñưa về dạng trên bằng cách ñặt
2
1
3
x z a
= −
. Khi ñó phương trình trên trở
thành
3
0
z Bz C
+ + =
với
2 2
1 1 1
, 2
3 3 27
B c a C c ab a
= − = − +
). Tuy nhiên, một vài
trường hợp gặp phải rắc rối.
Giả sử cho phương trình
3
15 4

2 121
+ −
là 2
cộng căn trừ 121, thì ông nói rằng 2 cộng của trừ căn của 121. Do ñó, “cộng của
trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm. Tất nhiên, trừ căn bậc
hai như thế trở thành “trừ của trừ”. Vì
2 121 2 11 1
+ − = + −
nên ông ñề cập ñến
nó như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép toán như sau:
“Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ
Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ.
Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng”
Theo ngôn ngữ hiện ñại, có nghĩa:
1; 1 ; 1
i i i i i i
× = − − × − = − × − =

Nhưng Bombelli không thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số. Đúng
hơn, ông dường như ñưa ra những qui tắc mà cho phép ông chuyển những công
thức phức tạp như
3 3
2 121 2 121
+ − − + −
về những biểu thức ñơn giản hơn.
Ông ñưa ra
(
)
3
2 1 2 121

)
nxinxxix
n
sincossincos +=+ (Công thức này ngầm ẩn trong các công trình của
Moivre, mặc dù nó không ñược phát biểu dưới dạng này).
Một năm sau ñó, Leonhard Euler ñã ñưa ra ký hiệu i thay cho
1−
và ñi ñến
sự liên kết tất cả với nhau khi ông phát minh ra công thức xixe
ix
sincos += . Khi
π
=
x
, ta ñược 1−=
π
i
e hay 01 =+
π
i
e , công thức này là một công thức quan trọng
vì nó liên kết một số khái niệm quan trọng nhất trong toán học.
Giữa thế kỷ 18, người ta biết ñến số phức như là một bước cần thiết ñể giải
quyết các vấn ñề về số thực. Nó ñóng vai trò quan trọng trong những thuyết về
phương trình, và có mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, hàm lượng giác và dạng
mũ.
Nhưng cũng còn rất nhiều vấn ñề. Ví dụ, Euler làm rối tung những căn thức
giống
2−
. Căn của một số thực ñược ñịnh nghĩa:

ñồng,
(
)
iyxyx +
֏
,
. Giả thuyết của Argand bị bác bỏ cho ñến khi Gauss ñề xuất
nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và chỉ ra rằng nó có thể là một thành phần toán
học có ích.Và Gauss cũng ñề xuất các ñiều kiện cho số phức. Hai năm sau ñó,
Hamilton chỉ ra rằng, ta có thể bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa những cặp sắp
thứ tự trong một cách thuận lợi và kết thúc là sự ñồng nhất với số phức.
Hamilton nó rằng số “hư cấu” i chỉ là một ñiểm (0, 1).
Các nhà toán học luôn tìm kiếm ñề tài cho số phức bởi vì sau ñó, chúng quá
hữu ích ñến nỗi mà chúng ta khó tránh tiếp xúc với nó. Euler và Gauss dã chỉ ra
rằng ta có thể sử dụng chúng ñể giải quyết những vấn ñề về ñại số và lý thuyết số. 11Hamilton ñã ñúc kết những ứng dụng của số phức trong vật lý. Cauchy và
Gauss cũng chỉ ra rằng có thể phát minh ra 1 phương pháp tính ứng dụng cho số
phức. “Phép tính phức” này ñóng vai trò to lớn, một phần bởi vì nó chứng minh dễ
dàng hơn phép tính chỉ ñơn thuần dựa vào số thực.
Trong sổ tay của Riemann,Weierstrass và những người khác, số phức trở
thành một công cụ hết sức mạnh mẽ, ñóng vai trò trung tâm trong toán học
thuần túy và toán học ứng dụng. Thậm chí, Hadamard nói rằng “nếu chúng ta chỉ
quan tâm về số thực và những câu trả lời về số thực, cách dễ nhất thường chứa
ñựng số phức”. Vì vậy, lý do mà chúng ta phải tin vào số phức là: “tại vì số phức
rất hữu dụng”

thì bằng bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh này không thể là +40 hay -40, vì hình vuông
tương ứng cho 1600perches chứ không phải là -1600 perches. Đó phải là
1600
−
(căn giả ñịnh của một số âm), hay
10 16 , 20 4 , 40 1
− − −
”
Như vậy, Wallis tưởng tượng
40 1
−
như là cạnh của một hình vuông diện tích
là -1600 perches, nhưng trong hình ảnh hình học sơ khai này các ñại lượng ảo
vẫn tồn tại trong sự tưởng tượng.
Tuy nhiên mô hình của ông thất bại vì ông không ñem lại một sự giải thích
thỏa ñáng cho phép nhân. Phương pháp của ông là khái quát hóa vào mặt phẳng
mô hình cộng của những cái ñược và mất ñã ñược sử dụng ñể giải thích cho các
ñai lượng âm.
Theo ngôn ngữ hiện ñại thì ta có thể nói rằng, việc mở rộng từ R vào C của
Wallis có cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z. Thực ra, phép tương tự ở
ñây chỉ là sự tương tự bề ngoài, nó không tính ñến cấu trúc nhân. Trong thực tế,
mô hình của những cái ñược và mất ñã ñược dùng cho các ñại lượng âm không chỉ
vì nó mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết nó tính ñến cấu trúc cộng của Z. Thế
nhưng ở ñây cái liên quan ñến tập hợp các số ảo không phải là cấu trúc cộng mà là
cấu trúc nhân của nó. Mô hình ñược và mất không còn thích hợp ở ñây nữa.
13


(
)
1
δ δ
+ + = −

Như vậy, Wessel ñã ñưa ra ñược một cách giải thích hình học cho
1
−
. Ông
cũng chứng minh ñược rằng các bán kính của ñường tròn ñơn vị ñược viết ở dạng
cos sin
v v
δ
+
hay
a b
δ
+
và người ta có thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hửu tỷ
những biểu thức như vậy.

142.3. Mô hình của Argand
Năm 1806 Jean Robert Argand (1768-1822) công bố Tiểu luận về một cách

chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm gì về hướng”
Để liên kết các ñường ñịnh hướng với nhau, ông chỉ ra rằng những ñường song
song với trục thực ñược viết là
a
±
, những ñường vuông góc với nó ñược viết là
1
b
± −
và cuối cùng thì mọi ñường của mặt phẳng ñược biểu diễn bởi
1
a b
± ± −
.
Sau ñó ông thiết lập sự tương ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học
ñược thực hiện trên các ñường ñịnh hướng.
Nhận xét
Trong quá trình tìm nghiệm của phương trình bậc ba thì mầm mống của số
phức ñã bắt ñầu xuất hiện. Tuy nhiên, nó chỉ là cách viết trung gian ñể tìm nghiệm
của phương trình bậc 3. Chính bài toán tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba 15mới dặt ra vấn ñề là: mọi phương trình bậc ba có nghiệm thực không? Nếu có thì
làm sao xác ñịnh ñược chúng.
Người Hy Lạp cổ ñặc biệt Euclide (330-275 trước công nguyên) ñã tìm ra cách
giải nhưng không thành công các bài toán dẫn ñến phương trình bậc ba. Như bài
toán “chia ba góc

tắc trong việc giải các phương trình bậc ba và việc giải quyết bế tắc này ñã ñưa
ñến việc phát minh ra số phức. Và cũng từ số phức người ta chứng minh ñược mọi
phương trình bậc n ñều có n nghiệm. Đây là ñịnh lý mà ngày nay người ta gọi là
“ Định lý cơ bản của Đại Số Học”. Hơn nữa việc phát minh ra số phức còn thúc
ñẩy các lĩnh vực khác tiến thêm một bước nữa và có những ngành Toán học mới
ra ñời như: lý thuyết hàm số biến số phức… . Có thể nói số phức là cầu nối giữa
Đại Số và Giải Tích. 16Chương 2
SỐ PHỨC DƯỚI GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC KHOA HỌC
Mở ñầu
Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời cho câu hỏi Q2:
“Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?” .
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức
trong lịch sử và các cách xây dựng trường số phức trên bậc ñại học. Cụ thể, chúng
tôi nghiên cứu ba giáo trình ñại học khác nhau của ba nước Mỹ, Anh và Việt Nam.
Để thực hiện chương này, chúng tôi ñã sử dụng một số tài liệu tham khảo sau:
1. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen
dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.
2. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản
ñại học quốc gia thành phố HCM.
3. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.
4. ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà
xuất bản giáo dục.
5. MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A
First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco

a,b a',b' a a',b b'
+ = + +

Phép nhân:
(
)
(
)
(
)
= − +
a,b a',b' aa' bb',ab' ba'

Các số thực ñược ñồng nhất với cặp số (a,0) và người ta có :
(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0).(1,0) + (b,0).(0,1)
Cặp (1,0) gọi là ñơn vị sơ cấp; cặp (0,1) gọi là ñơn vị thứ cấp và từ ñó người
ta có thể ñồng nhất số phức (a,b) với
a b 1
+ −

Đối với phương trình hai biến
(
)
(
)
2
x,y 1,0
= −
có nghiệm là cặp (0,1), Hamilton
viết “trong lý thuyết về các số ñơn giản (simple number) thì ký hiệu

nhà bác học Đức K. Gauss về lý thuyết số ñã cho thấy rõ sự cần thiết khảo sát bản
chất của chính hệ thống số. Nhà bác học Đức R. Dedekind ñã ñưa ra khái niệm
tổng quát ñầu tiên về trường, mà ông gọi là “miền hữu tỷ”. Thuật ngữ tương ứng
với “trường” xuất hiện lần ñầu năm 1871 trong công trình “lý thuyết số” của nhà
Bác học Đức P. Dirichlet
2. Các cách xây dựng số phức theo quan niệm lý thuyết trường.
Trường là một khái niệm ñược sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành của toán
học. Trường số phức có thể ñược xây dựng bởi các cách sau:
 Coi tập
2
laøtaäp
ℂ ℝ
các cặp số thực (tức mỗi số phức là cặp số thực (a;b) và
hiển nhiên coi hai số phức (a,b), (a’,b’) bằng nhau nếu a = a’, b = b’)
Định nghĩa phép toán cộng và nhân số phức bởi :
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
, ', ' ', '
, . ', ' ' ', ' '
a b a b a a b b
a b a b aa bb ab ba
+ = + +
= − +

Chứng minh ñược rằng

)
, ,0 ,0 . 0,1
a b a b a bi
= + = +

Ở vế phải là phép cộng, nhân trên các số phức. 19 Coi
ℂ
là tập hợp các ma trận cấp hai dạng
a b
b a
 
−
 
 
(a, b là số thực) với
phép toán cộng nhân các ma trận cấp hai.
Dễ thấy ñó là một vành giao hoán, có ñơn vị và mọi ma trận khác 0 thuộc tập
hợp
ℂ
ñều có ma trận nghịch ñảo trong
ℂ
, tức
ℂ
là một trường.

= + = +
      
      

Chú ý: Khi
a b
b a
 
−
 
 
khác không, coi nó là ma trận của một biến ñổi tuyến tính
của
2
ℝ
thì ñó là ma trận của một phép ñồng dạng bảo tồn hướng, giữ bất ñộng gốc
O của
2
ℝ
(hợp thành của một phép quay gốc O (góc quay là một acgumen của số
phức ñang xét) với phép vị tự tâm O, hệ số vị tự
2 2
a b
+
(môñun của số phức ñó))
 Nhìn theo quan ñiểm trường, có thể coi
C
là vành thương
[
]

(
)
(
)
(
)
, , ,
x y a b x a y b
+ = + +
và phép nhân
(
)
(
)
(
)
, , ,
x y a b xa yb xb ya
= − +
. 20Định nghĩa hai phép toán trên là “tốt” và C là mở rộng của R. Trong cách ñịnh
nghĩa này, số phức có dạng
(
)
,0

là một trường với 11 tính chất
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1. , , , : , ,
2. , , , , , : , , , , , ,
x y a b C x y a b C
x y a b c d C x y a b c d x y a b c d
∀ ∈ + ∈
∀ ∈ + + = + +

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6. , , , , , : , , , , . , , ,
x y a b c d C x y c d a b x y a b x y c d
∀ ∈ + = +

(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
7. , , , : , . ,

x y x y
∀ ∈ =
∀ ∈ =
 
−
∀ ∈ =
 
+ +
 

Với cách xây dựng nêu trên, (C, +) là một nhóm Aben với phần tử ñơn vị là (0,
0) và
{
}
(
)
\ 0,0 ,.
C
là một nhóm Aben với phần tử ñơn vị là (1, 0).
Với cách xây dựng trên thì
(
)
(
)
(
)
0,1 0,1 1,0
= −
và
(

(
)
,0 , ,0
x y
là những số thực thì mọi số phức
(
)
,
x y
ñều ñược viết
dưới dạng tuyến tính của (1, 0) và (0, 1) với những hệ số thực x và y. (1, 0) ñược
xem là số 1. Và nếu ñặt cho (0, 1) là i thì số phức (x, y) có thể ñược viết là
.1 .
x y i
+
, gọn hơn là
x iy
+
. 21x ñược gọi là phần thực của số phức x+iy, ký hiệu là Re(x+iy).
y ñược gọi là phần ảo của số phức x+yi, ký hiệu là Im(x+yi).
Và theo cách xây dựng trên thì
2
1
i

sin
y r
ϕ
=
.
Như vậy, mọi số phức ñều có vô số argument và chúng hơn kém nhau bội của
2
π
.
T1 cũng ñưa ra ý nghĩa hình học của phép trừ và phép nhân hai số phức.
Môñun của hiệu hai số phức chính là khoảng cách của hai ñiểm ảnh của hai số
phức ñó trên mặt phẳng tọa ñộ.
Ý nghĩa hình học của phép nhân ñược ñưa ra dựa vào mô ñun và argument của
số phức.