CƠ HỌC LÝ THUYẾT
(Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu)
Trònh Anh Ng o ï c
15/10/2009
i
Lời khuyên
We are what we repeate d ly do . Excellence, then, is not an act, but a habit.
Aristotle
Không ai hy vọ n g ho ï c bơi mà khôn g bò ướt. Cũng không c o ù ai hy vọng
học bơi mà chỉ nhờ đọc sách hay nhìn người khác bơi. Bơi lội khô n g thể học
mà không có thực hành. Chỉ có một cách ho ï c là tự "ném" mình xuống nước
và t a ä p luye ä n hàng tuần, thậ m chí hàng tháng, cho đến khi bài tập luyện trở
thành phản xạ nhẹ nhàng. Tương tự như vậy, cơ học không thể được học
một cách thụ động. Không giải quyết nhiều bài toán c o ù t ín h thách thức,
người sin h viên không có ca ù c h nào khác để kiểm tra năng lực hiểu biết của
mình về môn h o ï c . Đ a â y là nơi sinh viên gặt hái được sự tự tin, cảm giác tho û a
mãn và lôi cuốn nảy sinh nhờ sự hiểu biết xác thực về các nguyên lý ẩn tàng.
Khả năng giải các bài toán là chứng minh tốt nhất sự nắm vững môn học.
Như trong bơi lội, bạn giải càng nhiều ba ø i toán, bạn cà n g sắc xảo, nắ m bắt
nhanh các kỹ năng giải toán. Để thu lợi đầy đủ từ các thí dụ và bài tập được
giải trong tài li e ä u này (cũng như sách bài tập mà bạn có), tránh tham khảo
ngay lời giải quá sớm. Nếu bạn không thể giải bài toán sau những nổ lực ba n
đầu, h a õ y thử cố gắ n g lần nữa! Nếu ba ï n tìm đọc lời giải chỉ sau nh i e à u lần
nổ lực, nó sẽ được giữ lại trong trí bạn một thời gian dài. Còn nếu bạn tìm
ra được lời giải của riêng mình cho bài toán, thì nên so sánh nó với lời giải
trong sách. Bạn có thể tìm thấy ở đó lời giải gọn hơn, cách tiếp cận thông
minh hơn.
Tài liệu ôn tập này không thể thay thế cho sách lý t h u ye á t và sách bài
tập về cơ học. Nó chỉ có tác dụng giúp bạn ôn tập có chủ điểm về một số
vấn đề quan trọng trong chương trình môn cơ học lý th u ye á t . Mo ä t điều quan
trọng: vì một c u o á n sách bài tập nói chung thường chứa đựng nhiều, rất nhiều

1
) = O
1
x
1
y
1
z
1
((T
1
) chuyển động đối với (T )),
chuyển động của M đối với (T
1
) gọi là chuyển động tương đối. v
r
, w
r
- vận tốc, gia tốc của M đối với (T
1
), gọi là vận tốc, gia tốc tương đối
của M.
• Chuyển động của (T
1
) đối với (T ) gọi là chuyển đo ä n g the o . Chuyển
động của điểm P , gắn với (T
1
) trù n g với M tại thời điểm đang xét, đối
với (T ) gọi là chuyển động theo của M. v
e

) đối với (T ).
◦ Phân loại bài toán hợp chuyển động
Bài toán thứ nhất: Bài toán tổng hợp chuyển động.
Bài toán thứ hai: Bài toán phân tích chuyển động.
 Chuyển động song phẳng là chuyển động trong đó cố thể có ba điểm
không thẳng hàng thuộc cố thể luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng
cố đònh. Chuyển động song phẳng được xét bằng cách kha û o sát chuyển động
của hình phẳng S thuộc cố thể nằm trong mặt phẳng cố đònh. Giao điểm
của trục quay tức thời của cố thể với mặt phẳng cố đònh gọi là tâm quay hay
tâm vận to á c tức thời.
◦ Phân loại bài toán chuyển động song phẳng
Tính vận tốc góc củ a hình phẳng, tính vận tốc của một điểm bất kỳ
trên hình phẳng.
Tính gia tốc góc của hình phẳng, tính gia tốc của một điểm bất kỳ trên
hình phẳng.
Thí dụ về chu ye å n độ n g so n g phẳng sinh viên đọc kỹ lời giải các bài tập
3.2, 3.3, [1].
CHƯƠNG 2. ĐỘNG LƯ Ï C HỌC 11
trong đó d
k
là kh o a û n g cách từ chất điểm thứ k đến ∆.
 Tenxơ quán tính là ma trận
J =


J
x
−J
xy
−J

= J
yx
=

m
k
x
k
y
k
, J
yz
= J
zx
=

m
k
y
k
z
k
, J
zx
= J
xz
=

m
k

2
. (2.14)
2. Vòng đồng chất bán kính R, khối lượng M đối với trục qua tâm và
vuông góc với mặt phẳng chứa vòng
J
C
= MR
2
. (2.15)
3. Đóa tròn đồ n g chất bán kính R, khối lượng M đối với trụ c qua tâm và
vuông góc với đóa
J
C
=
1
2
MR
2
. (2.16)
CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 2
+ Hệ tọa độ Descartes:
M(x, y, z) ⇔ r = xi + yj + zk (1.1)
⇒ dr = (dx)i + (dy)j + (dz)k (1.2)
+ Hệ tọa độ trụ:
M(r, ϕ, z) ⇔ r = re
r
+ ze
z
(1.3)
⇒ dr = (dr)e

là c a ù c vectơ cơ sở đòa phương của tọa độ cầu tại M.
Hệ t o ï a độ Quan hệ với tọa độ Ve c t ơ cơ sở đòa phương
Descartes
Trụ x = r cos ϕ e
r
= cos ϕi + sin ϕj
(r, ϕ, z) y = r sin ϕ e
ϕ
= −sin ϕi + cos ϕj
z = z e
z
= k
Cầu x = r sin θ cos ϕ e
r
= sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk
(r, ϕ, θ) y = r sin θ sin ϕ e
ϕ
= sin θ(−sin ϕi + cos ϕj)
z = r cos θ e
θ
= cos θ(cos ϕi + sin ϕj) −sin θk
Hình 2: Vect ơ cơ sở đòa phương của tọa độ tự n h i e â n .
Trên đường cong C, chọn điểm M
0
và m o ä t chiều dương trên C. Hoành
độ cong của điểm M trên C là số đại số s có trò tuyệt đối bằng chiều dài cung

M
0
M và lấy dấu cộng nếu chiều từ M

Vectơ r = f(t)
˙
r
¨
r
Descartes
{i, j, k}



x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
( ˙x, ˙y, ˙z) (¨x, ¨y, ¨z)
Trụ
{e
r
, e
ϕ
, k}



r = f(t)
ϕ = g(t)
z = h(t)
( ˙r, r ˙ϕ, ˙z) (¨r − r ˙ϕ
2
, 2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ , ¨z)
Cực

Công th ứ c tính bán kính cong (ký hiệu w = |w| ) :
ρ =
v
2

w
2
−w
2
t
. (1.12)
Tích vô hướng v · w của vận tốc và gia tốc thể hiện sự nhanh chậm
của chuyển động
v ·w = v ˙v



> 0 nhanh dầ n
< 0 chậm dần
= 0 đều
(1.13)
1.3 Vài chuyển động quan trọng
 Chuyển động tròn. Điểm chuyển động tròn trong Oxy quanh O. Ký hiệu: r
- vectơ đònh vò điểm, ϕ - go ù c quay, ω = ˙ϕ - vận tốc góc, ω = ωk - vectơ vận
tốc góc. Vận tốc của điểm
v = ω × r. (1.14)
Gia tốc của điểm
w =  ×r

w

2

d
2
dϕ
2

1
r

+
1
r

= − F. (1.16)
◦ Phân loại bài toán động học điểm
Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển đo ä n g (luật chuyển động),
phương t rìn h quỹ đạo, vận tốc, g i a tốc , gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính
cong củ a quỹ đạo.
Bài toán thứ hai: Khảo sát chuyển động nhanh dần đều, chậm dần đều
và đe à u .
2 Chuyển động của c o á thể
Cố thể là cơ hệ mà khoảng cách giữa các điểm của nó không tha y đổi trong
quá trình chuyển động. Vò trí của cố thể được xác đònh bởi ba điểm không
thẳng h a ø n g của nó.
2.1 Trường vận tốc của cố thể
Đònh lý 1. Trường vận tốc của một cố thể (S) là trường đẳng chiếu
v(M)·
✲
MN= v(N)·

Euler):
v(M) = v(C) + ω(t)×
✲
CM . (1.20)
 Chuyển động song phẳng
Cố thể (S) chuyển động song phẳng khi có ba điểm không thẳng hàng
luôn luôn chuyển động trong mặt phẳng (π) cố đònh. Khi khảo sát chuyển
động song phẳng ta chỉ cần xét chuyển động của một tiết diện của nó (phần
giao của cố thể với (π)). Chuyển động tức thời của cố thể gồm: chuyển
động chu ye å n động quay quanh một trục vuông góc với (π), và chuyển động
tònh tiến xác đònh bởi chuyển động của giao điểm trục quay tức thời với mặt
phẳng ( π) gọi là tâm vận tốc tức thời.
◦ Phân loại bài toán động học cố thể
Bài to á n thứ nhất: Khảo sát chuyể n động quay của cố thể quanh trục cố
đònh. Vấn đề: tìm ϕ, ω,  của cố thể; vận tốc, gia tốc của một đi e å m nào đó
trên cố thể.
Bài toán thứ hai: Bài toán chuyền động.
Bài toán thứ ba: Kế t hợp với chuyển đo ä n g quay với chuyển động tònh
tiến.
2.2 Hợp c h uy e å n động
• Hệ quy chiếu cố đònh (T ) = O xyz, chuyển động của M đối với (T ) gọi
là chuyể n động tuyệt đối. v
a
, w
a
- vận tốc, gia tốc của M đối với (T ),
CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 7
gọi là vận tốc, gia tốc tuyệt đối của M.
• Hệ quy c h i e á u đo ä n g (T
1

e
- vận to á c , gi a tốc củ a P
đối với (T ), gọi là vận tốc, gia tốc theo của M.
 Công thức cộng vận tốc :
v
a
= v
r
+ v
e
. (1.21)
 Công thức cộng gia tốc:
w
a
= w
r
+ w
e
+ w
c
, (1.22)
trong đó
w
c
= 2ω ×v
r
(1.23)
là g i a tốc Coriolis sinh ra do chuyển động quay của (T
1
) đối với (T ).

m
1
m
2
d
2
, (2.2)
trong đó d là khoảng cách hai khối tâm và G ≈ 6, 67 ×10
−11
m
3
/s
2
kg là hằng
số hấp dẫn.
Trọng lượng của một vật là môđun của lực hút do trái đất tác dụng lên
vật.
 Lực ma sát. L ự c ma sát nằm trong mặt phẳng tiếp xúc giữa các vật,
ngược hướn g với chi e à u chuyển động củ a vật hay chiều của lực tác dụng vào
vật. Về độ lớ n lực ma sá t tỉ lệ với phản lực pháp tuyến
F
ms
= ηR
n
, (2.3)
8
Bài tập 30
Hình 19: Bài tập 44
Hình 20: Bà i tập 45
45.

, (2.6)
trong đó r
k
là vectơ đònh vò chất điểm thứ k, M =

m
k
là khối lượng của
toàn hệ.
 Động lượng của hệ
P =

m
k
v
k
= Mv
C
.
Đònh lý 2 (Đònh lý động lượng của hệ).
˙
P =

F
(e)
k
. (2.7)
Đònh lý 3 (Đònh lý chuyển động khối tâm).
M
¨

2
k
, ( 2 . 1 0 )
CHƯƠNG 2. ĐỘNG LƯ Ï C HỌC 11
trong đó d
k
là kh o a û n g cách từ chất điểm thứ k đến ∆.
 Tenxơ quán tính là ma trận
J =


J
x
−J
xy
−J
xz
−J
yx
J
y
−J
yz
−J
zx
−J
zy
J
z


=

m
k
y
k
z
k
, J
zx
= J
xz
=

m
k
z
k
x
k
.(2.12)
Nếu n = [cos α, cos β, cos γ]
T
là ve c t ơ đơn vò của tru ï c ∆ t h ì J
∆
= n
T
Jn.
Đònh lý 4 (Đònh lý Huygens).
J

1
2
MR
2
. (2.16)
Lời giả i một số bài tập 39
Để ý rằng khi t → +∞, ˙y → −
mg
k
(vận tố c giới hạn). Vận tốc giới hạn na ø y
cũng co ù thể tìm từ phương trình P + F
C
= 0.
Tích phân (c) và dùng điều kiện đầu y(0) = 0 t a được phươn g trình
chuyển động (luật chuyển động):
y =
m
2
g
k
2

1 −exp

−
kt
m

−
mgt

(t), C

2
(t) thỏa hệ
C

1
(t) + exp

−
kt
m

C

2
(t) = 0
−
k
m
exp

−
kt
m

C

2
(t) = −g

2
là các hằng số tích phân phụ thuộc điều kiện đầu. Phần còn
lại sinh viên tự làm.
33 a ) Lực tác dụng lên viên đạn là trọng lực P. Phương trình vi phân chuyển
động (đòn h luật thứ hai của Newton)
mw = P.
CHƯƠNG 2. ĐỘNG LƯ Ï C HỌC 1 3
 Công
Công phân tố của lực F làm chất điểm thực h i e ä n chu ye å n dòch vô cùng
bé dr, ký hiệu δW ,
δW = F · dr. (2.24)
Công (toàn phần) làm chất điểm chuyển dòch từ điểm A đến điểm B, ký
hiệu W,
W =

C(A,B)
F · dr, (tích phân đường loại 2) (2.25)
trong đó C(A, B) là đường cong đònh hướng từ A đến B.
Lực F gọi là lực bảo toàn nếu tồn tại hàm V (x, y, z) (chỉ phụ thuộc vò
trí) s a o cho
F = − V. (2.26)
Hàm V được gọi là hàm thế hay thế năng. Hàm U = −V gọi là hàm lực.
 Vài công thức tính công của lực và hàm thế
1. Công của trọ ng lực (tru ï c z th a ú n g đứng hướng lên):
δW = mg · dr = −mgdz. (2.27)
Công to a ø n phần (từ A đến B)
W = mg(z
A
− z
B

∆
(F)dt, (2.32)
trong đo ù M
∆
(F) là chiếu của mô m e n lực F xuống trục ∆ , còn gọi là
mômen c u û a lực đối với trục ∆.
Đònh lý 6 (Đònh lý động năng của hệ).
dT =

F
(e)
k
· δr
k
+

F
(i)
k
· δr
k
. (2.33)
◦ Phân loại bài toán áp dụng các đònh lý tổng quát
Bài toán thứ nhất: Dù n g đòn h lý bảo toàn động lượn g và đònh lý bảo toàn
mômen đo ä n g lượng để tìm chuyển dòch của một vài bộ phân tro n g toàn hệ.
Bài toán thứ hai: Dùng đònh lý động lượng để xác đònh phản lực tại các
liên kết.
Bài to á n thứ ba: Dùng đò n h lý mômen động lượng và đònh lý động năng
để x a ù c đònh các đặc trưng động học của chuyển động.
Lời giả i một số bài tập 47

r
.
Tính các đạo hàm rồi thay vào hệ phương trình Lagrange, ta được:
m¨r − m

r
˙
θ
2
−
MG
r
2

= 0,
m(2r ˙r
˙
θ + r
2
¨
θ) = 0 ⇒
d
dt
(r
2
˙
θ) = 0.
Tích p h a â n đầu: r
2
˙

CHƯƠNG 3. CƠ HỌC GIẢI TÍCH 16
Ta gọi c a ù c chuyển dòch ∆x
k
, ∆y
k
, ∆z
k
thỏa (3.2) là chuyển dòch khả dó
(chuyển dòch x a û y ra dưới tác dụng của lực cho trước - chuyển dòch thực
- là một trong số các chuyển dòch khả dó).
• Hiệu của hai chuyển dòch khả dó bất kỳ gọi là chuyển dòch ảo, ký hiệu
δx
k
, δy
k
, δz
k
, chúng thỏa điều kie ä n

k

∂f
α
∂x
k
δx
k
+
∂f
α

+ (F
yk
− m
k
¨y
k
)δy
k
+ (F
zk
−m
k
¨z
k
)δz
k
] = 0. (3.4)
Phương trình (3.4) gọi là phương trình tổng quát động lực học.
2.2 Phương trình Lagrange loại hai
d
dt
∂T
∂ ˙q
s
−
∂T
∂q
s
= Q
s

Tất cả các lực chủ động đều có thế (hệ được gọi là hệ bảo toàn hay hệ động
lực), ngh óa là tồn tại hàm U = U(x
k
, y
k
, z
k
) sao cho
F
kx
=
∂U
∂x
k
, F
ky
=
∂U
∂y
k
, F
kz
=
∂U
∂z
k
(k = 1, 2, . . . , N)
⇒ Q
s
=

∂ ˙q
c
= const.
CHƯƠNG 3. CƠ HỌC GIẢI TÍCH 18
2.4 Thủ tục thiết lập phương trình Lagrange loại hai
1. Xác đònh b a ä c tự do và chọn các tọa độ suy rộ n g .
2. Tính động năng của hệ T , biểu diễn động năng theo các tọa độ và vận
tốc suy rộng.
3. Tính to å n g cô n g phân tố của lực chủ động, biểu diễn nó theo các tọa
độ s u y rộng, từ đó suy ra các lực su y rộng dựa vào hệ thức (d).
4. Tính c a ù c đạo hàm ∂T /∂ ˙q
s
, d(∂T/∂ ˙q
s
)/dt, ∂T/∂q
s
.
5. Thay và o ph ươn g trình La g ra n g e loại hai.
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 53
Hình 2: Câu 3
vuông go ù c với đóa. Nếu không thêm và khối lượng m thì trục phải dời song
song đến điểm nào trên đóa để mômen quán tính vẫn bằng như trường hợp
trước?
Câu 4 (2.5đ) Một đóa t ro ø n khối lượng M bán kính a có thể quay không ma
Hình 3: Câu 4
sát quanh trục nằm ngang đi qua tâm của nó. Một con bọ khối lượng m chạy
với vận to á c không đổi u quanh mép đóa. Ban đầu đóa được giữ ở trạng thái
nghỉ và đượ c thả ra khi con bọ ở vò trí thấp nhất. Tính mômen động lượng
của hệ (gồm đóa và con bọ) đối với trục quay. V i e á t phương trình biến thiên
động lượng của hệ. Chứng tỏ rằng

4. Trong hình tứ diện, vẽ các đường nối trung điểm của mỗi cạnh với trung
điểm của cạnh đối diện. Chứng tỏ rằng ba đường này cắt nha u tại mộ t đie å m
chia đôi chún g .
5. Cho tứ diệ n ABCD và cho P, Q, R, S là trọng tâm của các mặt đối diện
với các đỉnh A, B, C, D tương ứng. Chứng tỏ rằng c a ù c đường AP, BQ, CR, DS
đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm (centroid ) của tứ diện, nó chia mỗi
đường theo tỉ số 3 : 1.
H.D. Điể m M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔
✲
MA:
✲
MB= k.
6. Chứng t o û rằng ba đường cao của tam giác đồng qu y tại một điểm.
H.D. Chọ n O là giao điểm của hai đường cao.
7. Chứng m i n h các đồng nhất thức:
a) (a × b) · (c × d) = (a ·c)(b ·d) − (a ·d)(b ·c).
b) (a ×b) × (c ×d) = [a, b, d]c − [a, b, c]d.
c) a ×(b ×c) + c ×(a ×b) + b ×(c ×a) = 0 (đồng nhất thức Jacobi).
8. Cho vec t ơ v là hàm của thời gian t và k là vectơ hằng. Tìm đạo hàm theo
thời gia n của: a) |v|
2
; b) (v · k)v; c) [v,
˙
v, k].
Đ.S. a) 2v ·
˙
v; b) (
˙
v ·k)v + (v ·k)
˙

+ 1)
1/2
, k = 1/2a(p
2
+ 1)
3/2
.
Bài tập về vận tốc, gia tốc và vận tốc góc
Bài tập 21
12. Mộ t điểm P di chuyển dọc theo trục x chuyể n dòch của nó tại thời điểm
t được cho bởi x = 6t
2
−t
3
+ 1, trong đó x đo bằng mét, t đo bằng giây. Tìm
vận tốc, gia tốc của P tại thời điểm t. Tìm những thời điểm P dừng và vò trí
của P tại những thời điểm đó.
13. Một điểm P di chuyển dọc theo trục x với gia tốc tại thời điểm t được
cho bởi a = 6t −4 ms
−2
. Ban đầu P ở điểm x = 20 m và có vận tốc 15 ms
−1
về phía x a â m . Tìm vận tốc và chuye å n dòch của P tại thời điểm t. Tìm thời
điểm P dừng và chuyển dòch của P tại thời điểm đó.
14.

Một hạt P chuyển động sao cho vectơ đònh vò của n o ù , r thỏa phương
trình vi phân
˙
r = c ×r,