ĐẠI HỌC THÁI NGUN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ GIANG

MƠĐUN COHEN-MACAULAY VỚI CHIỀU
> s VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MƠĐUN
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />> s
> s
> s
a
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />(R, m) a R M
R dim M = d s  −1
M > s

(Supp(M))
>s
dim M = dim R/p
p ∈ (Supp(M))
>s
M
p
R
p
p ∈ (Supp(M))
>s
. R
M
> s m

M M
> s
> s
M = R R
M
M f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />R M R
dim M = d.
M R p
R M 0 = x ∈ M
p = Ann
R
(x).
Q M M
M/Q = 0 a ∈ ZD(M/Q), n ∈ N a

Q
i
.
N
{p
1
, . . . , p
n
}
N
M/N Ass
R
M/N Q
i
, i = 1, . . . , n
N p
i
Ass
R
M/N
Q
i
Q
i
p M N
R M N R/p.
p R Ass(R/p) = {p}.
p Ann(x),
0 = x ∈ M. p ∈ Ass(M). M = 0 Ass(M) = ∅.
ZD(M) M


) ∪ Ass
R
(M

)
Supp
R
(M) = Supp
R
(M

) ∪ Supp
R
(M

).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />M R Ass
R
(M)
Ass
R
(M) ⊆ Supp
R
(M). Ass
R
(M)
Supp
R
(M)

0
x
n
∈ m
k
n ≥ n
0
.
(x
n
), (y
n
)
(x
n
− y
n
)

R
(x
n
) + (y
n
) = (x
n
+ y
n
)
(x

n, m ≥ n
0
.
m

R

M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />x ∈ m M x /∈ p,
p ∈ Ass(M) dim R/p = d. x
1
, . . . , x
d
∈ m
M x
i+1
/∈ p, p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i
)M)
dim R/p = d − i, i = 1, . . . , d − 1.
x
1
, . . . , x
t
∈ m t  d
dim(M/(x

d
M

M,

M m M.
Ext
M, N R n  0
n Hom(−, N) M
M N, Ext
n
R
(M, N).
Ext
n
R
M
. . . → P
2
.u
2
→ P
1
.u
1
→ P
0
ε
→ M → 0.
Hom(−, N)

∼
=
Hom(M, N).
M N Ext
n
R
(M, N) = 0 n  1.
0 → N

→ N → N

→ 0
Ext
n
R
(M, N

) → Ext
n+1
R
(M, N

) n  0
0 → Hom(M, N

) → Hom(M, N) → Hom(M, N

) → Ext
1
R

(M

, N) n  0
0 → Hom(M

, N) → Hom(M, N) → Hom(M

, N) → Ext
1
R
(M

, N)
→ Ext
1
R
(M, N) → Ext
1
R
(M

, N) → Ext
2
R
(M

, N) → . . .
M, N Ext
n
R

0
I
(L)
H
0
I
(f)
→ H
0
I
(M)
H
0
I
(g)
→ H
0
I
(N)
→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
→ H
1
I

I
(L) → . . .
H
i
I
(M) = 0 i > d (R, m) 0 = M
R H
d
m
(M) = 0.
R M
M R 0 0 = x ∈ R
M M = xM x M
x
1
, . . . , x
n
∈ R M M
M/(x
1
, . . . , x
n
)M = 0
x
i
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M i = 1, . . . , n.

1
, . . . , x
n
M
x
1
, . . . , x
n
M
M x
1
, . . . , x
n
∈ m M
x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M.
M R
I R IM = M n
Ext
i
R
(N, M) = 0 i < n R N
Supp(N) ⊆ V (I)

R
(R/I, M)) = Ass
R
(H
n
I
(M)).
p ∈ Supp(M/IM) \{m}. x
1
, . . . , x
n
M
Ext
n
R
p
(R
p
/IR
p
, M
p
)
∼
=
Hom
R
p
(R
p

p
= 0 depth(p, M) = depth
R
p
M
p
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />x
1
, . . . , x
n
M M
M/(x
1
, . . . , x
n
)M .
dim
R
M = dim

R

M depth M = depth

M;
M

M .
x

f x
i
/∈ p, p ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) \{m}
i = 1, . . . , t
p ∈ Supp M \ {m}, x
1
, . . . , x
t
∈ p f
x
1
/1, . . . , x
t
/1 M
p
x
1
, . . . , x
t
∈ p f x
n
1
1
, . . . , x
n
t

f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />t > 0
dim(Ext
i
R
(R/I, M))  0, i < t;
I f t.
x
1
, . . . , x
t
∈ I f p ∈ Spec(R) \ {m}
Ext
n
R
(R/I, M)
p
∼
=
Hom
R
(R/I, M/(x
1
, . . . , x
t
)M)
p
.
x
1

dim M > 0. U(M) = {p ∈ Supp M : dim R/p > 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />f
x
1
, . . . , x
t
M
p ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) dim R/p ≥ 1 dim R/p = d −t.
depth M
p
= d − dim R/p p ∈ U(M).
ht
M
(p) = ht
M
(q) + ht(p/q) p, q ∈ U(M) ∪{m} p ⊇ q, M
p
p ∈ U(M) dim R/p = d
p ∈ min U(M).
f

M M.

M f M f
R M
f

, . . . , x
r
M x
1
/1, . . . , x
r
/1
M
p
p ∈ Supp M x
1
, . . . , x
r
dim R/p > 1
x
i
/1 x
i
R
p
, i = 1, . . . , r.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />r  d − 2 M
r M
x
1
, . . . , x
r
M x
n
1

∼
=
Hom(R/I; M/(x
1
, . . . , x
r
)M)
p
,
p ∈ Supp M dim R/p > 1.
R dim(M/IM) > 1.
M I
M I
M I, gdepth(I; M)
f f
depth(I; M)  depth(I; M)  gdepth(I; M).
x
1
∈ I M
gdepth(I; M) = gdepth(I; M/x
1
M) + 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />gdepth(I; M) = min{gdepth(p; M) | p ∈ V (I)}.
gdepth(I; M) = min{i | dim(Ext
i
R
(R/I; M)) > 1}
= min{i| ∃ p ∈ Supp(H
i
I

p ∈ min T (M).

M f M f
R M
f

M f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />> s
(R, m) a
R M R dim M = d.
M
> s
> s
m M M
p
M
> s Supp M
> s
s  −1 x
1
, . . . , x
n
m. i = 1, . . . , n, M
i
= M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M
x

i = 1, . . . , n
dim((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
)/(x
1
, . . . , x
i−1
)M  s.
x
1
/1, . . . , x
n
/1 M
p
p ∈ Supp M x
1
, . . . , x
n
dim R/p > s.
n ⇔
n = 1. x M > s
dim(0 :
M
x) > s. p ∈ Ass(0 :

∈ Ass M
p
q ⊆ p x
1
, . . . , x
n
M > s
x
1
/1, . . . , x
n
/1 M
p
X Spec R
(X)
i
= {p ∈ X : dim R/p  i} (X)
>i
= {p ∈ X : dim R/p > i}.
s  0 a R
n > 0 dim(Supp(H
i
a
(M)))  s
i < n M > s n a.
dim M/aM > s M > s a
M > s M
> s a
i dim(Supp(H
i

M
x → M → M/(0 :
M
x) → 0,
H
i
a
(M) → H
i
a
(M/(0 :
M
x)) → H
i+1
a
(0 :
M
x),
i ≥ 0 dim(0 :
M
x)  s dim(Supp(H
i
a
(0 :
M
x)))  s
i ≥ 0 dim(Supp(H
i
a
(M/(0 :

n
M > s a
x
1
, . . . , x
n
M > s a
p ∈ Spec R dim R/p > s x
1
/1, . . . , x
n
/1 M
p
a
p
H
i
aR
p
(M
p
) = 0
p /∈ Supp(H
i
a
(M)), i < n dim(Supp(H
i
a
(M)))  s
i < n

n
y
1
, . . . , y
t
M > s a
n = t n < t dim(Supp H
i
a
(M))  s
i < n k
dim(Supp H
i
a
(M/(x
1
, . . . , x
k
)M))  s i  n − k k  n
dim(H
0
a
(M/(x
1
, . . . , x
n
)M))  s a
M/(x
1
, . . . , x

R
M) dim R/p > s. x
1
, . . . , x
n
M
> s M
p
a
p
Supp(L
p
) ⊆ V (a
p
) (Ext
i
R
(L, M))
p
= 0,
i < n. dim(Ext
i
R
(L, M))  s i < n.
⇒
⇒ n ≥ 1. n = 1
M > s n
a, p ∈ Ass M a dim R/p > s
R
p

n > 1 x ∈ a M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />> s dim(0 :
M
x)  s
dim(Ext
i
R
(L, 0 :
M
x))  s i.
0 −→ 0 :
M
x −→ M
x
−→ xM −→ 0,
δ Ext
Ext
i
R
(L, M) −→ Ext
i
R
(L, xM) −→ Ext
i+1
R
(L, 0 :
M
x),
i dim(Ext
i

> s M a
depth(a, M, > s).
i dim(Ext
i
R
(R/a, M)) > s
M
grade(M) = min{i : Ext
i
R
(M, R) = 0},
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />

Trích đoạn a-dãy lọc chính quy

---