ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN DUY THÀNH
CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC
KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ
LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN DUY THÀNH
CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC
KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ
LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.HOÀNG VĂN HÙNG
Thái Nguyên - Năm 2014
Mục lục
Lời nói đầu 2
1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG
GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 5
1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 5
1.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff . . . . . . . 13
1.4 Định lý điểm bất động Markov - Kakutani . . . . . . . . 19
1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan . . . . . . . . . 21
2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI

định lý Kakutani – Ky Fan. Định lý điểm bất động Kakutani – Ky Fan
2
được chứng minh bởi Kakutani cho trường hợp hữu hạn chiều ( 1941) và
được chứng minh bởi Ky Fan cho trường hợp vô hạn chiều (1952) dựa
trên một bất đẳng thức được chứng minh bởi chính Ky Fan liên quan
đến các song hàm nửa liên tục dưới theo một biến, nửa liên tục trên và
lõm theo một biến khác. Những định lý này là cơ sở cho các áp dụng
của lý thuyết điểm bất động ở chương II.
CHƯƠNG II. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ
LỒI ĐỊA PHƯƠNG.
Chương này xét các áp dụng của các định lý điểm bất động ở chương
I. Định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff được áp dụng để chứng
minh định lý Schaefer về sự tồn tại điểm bất động của một lớp các toán
tử compact, định lý điểm bất động Krasnoselskii, một số hệ quả của các
định lý này và định lý Lomonosov về sự tồn tại các không gian con bất
biến không tầm thường của một lớp các toán tử tuyến tính trên không
gian Banach X. Định lý Krasnoselskii có nhiều ứng dụng trong lý thuyết
phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng. Trong luận văn
có nêu một cải tiến của định lý Krasnoselskii, được chứng minh bởi
T.A. Burton vào năm 1998, kèm theo một ví dụ áp dụng vào lý thuyết
phương trình tích phân. Định lý Markov – Kakutani được áp dụng để
chứng minh sự tồn tại các trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel.
Cuối cùng, bất đẳng thức Ky Fan ( định lý 1.5.4 ) được áp dụng để
chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong các trò chơi bất hợp
tác của lý thuyết trò chơi.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn là các ký hiệu thông dụng
trong các tài liệu toán học hiện đại. Tuy nhiên, ở một vài chỗ tác giả
vẫn giới thiệu các ký hiệu để tránh hiểu nhầm.
Tài liệu tham khảo gồm 06 danh mục, trong đó tài liệu [V.Pata] là tài

2) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là thuộc τ và giao của một
họ hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .
Một tập X cùng với một tô pô τ trên X ( tức là một cặp (X, τ)) gọi
là một không gian tô pô. Mỗi tập thuộc τ gọi là một tập mở ( khi cần
chính xác ta sẽ gọi một tập thuộc τ là τ -mở).
5
Nếu (X, τ) là một không gian tô pô và Y là một tập con của X thì
họ τ
Y
gồm tất cả các tập dạng G ∩ Y , trong đó G là một tập mở tuỳ ý
thuộc họ τ, là một tô pô trên Y . Không gian tô pô (Y, τ
Y
) gọi là không
gian con của không gian tô pô (X, τ).
Nếu τ và σ là hai tô pô trên cùng một tập nền X và σ ⊂ τ thì ta nói
τ mịn hơn σ hay σ thô hơn τ .
Ta sẽ chỉ xét các không gian tô pô tách, tức là các không gian thỏa
mãn tiên đề Hausdorff dưới đây:
* Với hai điểm phân biệt bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận U
x
của x và một lân cận U
y
của y sao cho U
x
∩ U
y
= ∅.
1.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và F là một
tập con của X. Tập F gọi là đóng trong X nếu X\F là tập mở. Vậy tập
đóng là các tập con của X mà phần bù của nó là mở.

1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G
2) Nếu x được chứa trong giao của hai tập G
1
, G
2
thuộc B thì tồn tại
tập G thuộc B sao cho x ∈ G ⊂ G
1
∩ G
2
.
Ngược lại mọi họ B các tập con của một tập X có hai tính chất nêu
trên đều là một cơ sở của tô pô τ gồm tất cả các tập con của X biểu
diễn được dưới dạng hợp của một họ con nào đó của B. Tô pô này gọi là
tô pô sinh bởi B. Nếu A là họ các tập con của X có tính chất “hợp của
các tập thuộc A bằng X” ( nói cách khác : A là một phủ của X ) thì
tập B các tập con của X nhận được từ các tập của A bởi một số hữu
hạn các phép giao thoả mãn cả hai tính chất 1), 2) . Do đó A được gọi
là một tiền cơ sở của tô pô sinh bởi B.
1.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tô pô. Ánh xạ f của
không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được gọi là liên tục tại điểm
x
0
nếu với mọi lân cận U
y
0
của điểm y
0
= f(x
0

1.1.8 Định nghĩa Không gian tô pô X được gọi là compact nếu từ
mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn.
Tập con Y của X gọi là một tập compact trong X nếu Y xem như
không gian con của không gian tô pô X là một không gian compact.
1.1.9 Định nghĩa Họ (A
i
) các tập con của một tập T gọi là có tính
tương giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn tuỳ ý của họ (A
i
)
là khác rỗng.
1.1.10 Định lý i) Điều kiện cần và đủ để không gian tô pô X compact
là mọi họ các tập con đóng có tính chất tương giao hữu hạn của X đều
có giao khác rỗng.
ii) Mọi không gian con đóng của một không gian tô pô compact là
compact.
iii) Nếu Y là tập con compact của không gian tô pô Hausdorff X thì
Y đóng trong X. Với mọi x /∈ Y tồn tại một tập mở U chứa x, một tập
mở V chứa Y sao cho U ∩ V = ∅.
iv) Nếu X là không gian tô pô compact và f là một song ánh liên tục
8
từ X lên không gian tô pô Hausdorff Y thì f là một phép đồng phôi.
1.1.11 Định nghĩa Cho E là một không gian véc tơ thực. Ta nói tô
pô τ trên E phù hợp với cấu trúc tuyến tính trên E nếu các ánh xạ:
(x, y) → x + y (x, y ∈ E)
(α, x) → αx (x ∈ E, α ∈ R)
là các ánh xạ liên tục. Nói cách khác, các điều kiện sau được thực hiện:
i) Với mọi lân cận V
x+y
của điểm x + y tìm được các lân cận U

Nếu trên E nửa chuẩn p(x) có tính chất p(x) = 0 ↔ x = θ thì p(x)
gọi là một chuẩn trên E.
Một nửa chuẩn p(x) trên E có tính chất sau:
i) p(θ) = 0.
ii) |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) (∀x, y ∈ E).
1.1.13 Định nghĩa Tập con M của không gian véc tơ thực E gọi là
i) lồi, nếu : λx + (1 − λ)y ∈ M (∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0; 1]).
ii) đối xứng, nếu : −M = M.
9
iii) cân, nếu : λx ∈ M (∀x ∈ M, ∀λ ∈ [ − 1; 1]).
iv) nuốt, nếu: ∀x ∈ E, ∃α = α(x) > 0 : x ∈ λM khi |λ| ≥ α.
Tập lồi bé nhất trong các tập lồi chứa một tập con A của E gọi là bao
lồi của A, ký hiệu bới conv(A).
Ta coi tập rỗng là lồi, đối xứng và cân. Khi đó ta có:
1.1.14 Mệnh đề i) Mọi tập cân khác rỗng trong không gian véctơ E
đều đối xứng và chứa véc tơ không của E. Nếu W là một tập cân trong
E thì với hai số thực α, β tùy ý ta có:
αW + βW = (|α| + |β|)W
Nói riêng W + W = 2W
ii) Giao của một họ tùy ý các tập thuộc vào một trong các lớp i), ii),
iii) của định nghĩa 1.1.13 là một tập thuộc vào cùng lớp đó.Giao của
một họ hữu hạn các tập nuốt là một tập nuốt. Bao lồi của một tập A
trong không gian véc tơ E là giao của họ tất cả các tập lồi của E chứa
A.
iii) Với mọi nửa chuẩn p(x) trên không gian véc tơ E và mọi số dương
c các tập:
M = {x ∈ E : p(x) ≤ c} , N = {x ∈ E : p(x) < c}
là các tập lồi, cân và nuốt.
1.1.15 Định nghĩa Cho họ (p
γ

∈ Γ (i = 1, , n) là n chỉ số tùy
ý thuộc Γ và ε
i
> 0, (i = 1, , n) là họ n số dương tùy ý. Ký hiệu B là
tập tất cả các tập con V của E có dạng :
V = x + U, x ∈ E, U ∈ U
Tập B có hai tính chất của cơ sở tô pô nêu trong 1.1.4, tô pô trên E
sinh bởi cơ sở B gọi là tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn (p
γ
(x))
γ∈Γ
.
1.1.17 Định nghĩa Không gian véc tơ tô pô E gọi là lồi địa phương
nếu mọi lân cận V của không chứa một lân cận lồi U của không.
1.1.18 Mệnh đề i) Không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi một
họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
các nửa chuẩn tách trên E là không gian lồi địa phương
Hausdorff. Với tô pô sinh bởi họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
tất cả các nửa chuẩn thuộc
họ này đều liên tục.
ii) Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian véc tơ tô pô E với tô pô
sinh bởi họ các nửa chuẩn tách (p
γ
(x))

(x))
γ∈Γ
. Khi đó:
- Bao lồi của một tập hữu hạn trong E là compact. Bao đóng của bao
lồi của một tập compact trong E là compact.
- Mọi tập compact K là bị chặn, nghĩa là với mọi nửa chuẩn p thuộc
họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
tập p(K) là tập số thực bị chặn.
v) Nếu A, B, K là các tập compact trong không gian véc tơ tô pô E
11
với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn tách (p
γ
(x))
γ∈Γ
thì A + B, αK là
các tập compact với mọi số thực α . Nói riêng K − K, K + K là các tập
compact.
1.2 Định lý điểm bất động Brouwer
Trong đoạn này ta ký hiệu hình cầu đóng tâm x, bán kính r và hình
cầu đơn vị đóng trong không gian Euclid R
n
tương ứng là B(x; r) và B,
mặt cầu đơn vị trong không gian R
n
là S:
B = {x ∈ R
n

ánh xạ f thuộc Λ tập Fix(f) khác rỗng.
1.2.2 Định lý ( L.E.J. Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên tục f từ
hình cầu đơn vị B của R
n
vào chính nó đều có ít nhất một điểm bất
động.
( Phát biểu tương đương: hình cầu đơn vị B của R
n
có tính chất điểm
bất động đối với lớp các ánh xạ liên tục từ B vào chính nó )
Có nhiều cách chứng minh định lý Brouwer dựa trên các cách tiếp cận
khác nhau: chứng minh dựa trên lý thuyết bậc ánh xạ, chứng minh dựa
trên bổ đề Sperner, chứng minh nhờ các công cụ của tô pô đại số. Bạn
đọc quan tâm đến chứng minh của định lý Brouwer có thể xem trong
các tài liệu [Goebel – Kirk], [Hochstadt].
12
1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff
1.3.1 Định nghĩa Tập con khác rỗng P của không gian tô pô (X, τ)
gọi là một rút của X nếu tồn tại ánh xạ liên tục r : X → P sao cho
r(x) = x với mọi x ∈ P . Ánh xạ liên tục r khi đó gọi là một phép co rút
biến X thành P .
1.3.2 Mệnh đề Mọi tập con lồi, đóng và khác rỗng C của R
n
là một
rút của R
n
( ta xem R
n
như không gian tô pô với tô pô cảm sinh bởi
chuẩn Euclid).

m
} hội
tụ tới một điểm y
∗
của B(x; d

). Vì C là tập đóng nên y
∗
∈ C. Rõ ràng
ta có :
x − y
∗
 = lim
k→∞
x − y
m
k
 = d (1.1)
Ta khẳng định rằng y
∗
là điểm duy nhất thuộc C thỏa mãn (1.1). Nếu
y
∗∗
là một điểm khác của C cũng thỏa mãn (1.1) thì với mọi
z = αy
∗
+ (1 − α)y
∗∗
(0 < α < 1) ta có :
i) z ∈ C

∗
= x − y
∗∗
↔ y
∗
= y
∗∗
. Mâu thuẫn.
Vậy y
∗
là điểm duy nhất của C thỏa mãn (1.1). Đặt y
∗
= r(x) ta có một
ánh xạ từ R
n
lên C cho bởi công thức:
x → r(x)
Rõ ràng nếu x ∈ C thì r(x) = x. Ngoài ra với hai điểm x, x

của R
n
và t ∈ [0; 1] ta có:
ϕ(t) = x − tr(x

) − (1 − t)r(x)
2
= x − r(x)
2
+ 2t < r(x) − r(x


− r(x

), r(x

) − r(x) > ≥ 0 (∀x, x

∈ R
n
) (1.4)
Từ (1.3), (1.4) suy ra :
< x − x

− (r(x) − r(x

), r(x) − r(x

) > ≥ 0 (1.5)
Từ (1.5) suy ra :
r(x) − r(x

)
2
≤ < x − x

, r(x) − r(x

) > ≤ x − x

 r(x) − r(x


) = x
∗
(+). Nhưng (f ◦ r)(x
∗
) = f(r(x
∗
)) nên x
∗
∈ P ,
do đó r(x
∗
) = x
∗
và từ (+) suy ra f(x
∗
) = x
∗
. Vậy x
∗
là điểm bất động
của f. Mệnh đề được chứng minh.
1.3.4 Mệnh đề Nếu các không gian tô pô (X, τ) và (X

, τ

) đồng phôi
và X có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ X vào
chính nó thì X

cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên

động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó.
Chứng minh. Nếu bán kính của hình cầu đóng được xét bằng 0 thì
kết luận là hiển nhiên. Nếu hình cầu đóng B(x; r) có bán kính r > 0 thì
nó đồng phôi với hình cầu đơn vị đóng. Song ánh liên tục hai chiều từ
15
B(x; r) lên hình cầu đơn vị đóng B cho bởi :
β(y) =
y − x
r
(∀y ∈ B(x; r))
Vì hình cầu đơn vị đóng B có tính chất điểm bất động đối với các
ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó, theo mệnh đề 1.3.4 hình cầu B(x; r)
cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào
chính nó.
1.3.6 Mệnh đề Mọi tập lồi đóng, khác rỗng và bị chặn C trong không
gian R
n
có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào
chính nó.
Chứng minh. Bởi vì C bị chặn thì tồn tại hình cầu đóng B(z; a)
(tâm z, bán kính a > 0) trong R
n
sao cho C ⊂ B(z; a). Gọi r là phép co
rút biến R
n
thành C được định nghĩa trong chứng minh mệnh đề 1.3.2 :
r(x) = inf {x − y : y ∈ C}
Khi đó thu hẹp của r lên B(z; a) là phép co rút biến B(z; a) thành C.
Bởi vì B(z; a) có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ
nó vào chính nó, theo mệnh đề 1.3.3 ta suy ra C có tính chất điểm bất

j
)
m
j=1
là một
phủ mở hữu hạn của X. Họ (φ
j
)
m
j=1
các hàm thực liên tục trên X gọi
là một phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ (V
j
)
m
j=1
nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau:.
i) Giá ( support) của φ
j
nằm trong V
j
với mọi j ∈ {1, , m}. ( Giá
của một hàm số liên tục f trên một không gian tô pô X là bao đóng của
tập các x thuộc X sao cho f(x) = 0).
ii) 0 ≤ φ
j
(x) ≤ 1 (∀x ∈ X, ∀j ∈ {1, , m})
iii)
m

m
j=1
(xem [J.Kelley] và [V.Pata])
* Dưới đây ta sẽ gọi phân hoạch đơn vị (φ
j
)
m
j=1
thỏa mãn mệnh đề
1.3.10 là phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ (V
j
)
m
j=1
với giá nằm trong
K.
1.3.11 Định lý (Schauder-Tychonoff) Cho E là không gian véc tơ
tô pô lồi địa phương Hausdorff với tô pô sinh bởi họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
các nửa
chuẩn tách trên E, K ⊂ E là một tập lồi khác rỗng và K
0
⊂ K, K
0
compact. Khi đó mọi ánh xạ liên tục f : K → K
0
có điểm bất động. (Nói
17

(x
j
+ U)
Gọi (φ
j
)
n
j=1
là phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ {x
j
+ U}
n
j=1
với giá
nằm trong K
0
. Đặt :
f
U
(x) =
n

j=1
φ
j
(f(x)).x
j
, ∀x ∈ K
Khi đó f
U

(x
U
) = x
U
.
Do đó :
x
U
− f (x
U
) = f
U
(x
U
) − f (x
U
) =
n

j=1
φ
j
(f (x
U
)) (x
j
− f (x
U
)) ∈ U
bởi vì U lồi và nếu x

j
∈ U , do
đó:
k

j=1
{f (x
U
) : U ∈ U, U ⊂ W
j
} ⊃ {f (x
U
) : U ∈ U, U ⊂ W} = ∅
18
Bởi vì K
0
là tập compact nên ta suy ra tồn tại phần tử
x
∗
∈

W∈U
{f (x
U
) : U ∈ U , U ⊂ W} (1.8)
Chọn tùy ý một nửa chuẩn p thuộc họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
và một số ε > 0.

U
) − f(x∗) ∈ V (1.11)
Kết hợp (1.9) và (1.11) ta nhận được:
p(x
∗
− f(x
∗
)) ≤ p(x
∗
− f (x
U
)) + p(f (x
U
) − f (x
∗
)) < ε + ε = 2ε (1.12)
Do tính tùy ý của ε và nửa chuẩn p từ (1.12) ta suy ra p(x
∗
−f(x
∗
)) = 0
với mọi nửa chuẩn p thuộc họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
. Vậy f(x
∗
) = x
∗
.

I + T + + T
n
n + 1
Do b) và tính lồi của K ta suy ra T
n
(K) ⊂ K . Mặt khác K là
tập compact và T là toán tử liên tục nên T
n
(K) compact với mọi số
nguyên không âm n. Nếu S, T là hai toán tử tùy ý thuộc G thì ta có
S
n
T
m
= T
m
S
n
với mọi số nguyên không âm m, n. Do đó họ các tập con
của K là (T
n
(K))
∞
n=0,T ∈G
có tính tương giao hữu hạn. Thật vậy, nếu
n
1
, , n
k
là k số nguyên không âm phân biệt và T

n
k
(K) = ∅. Bởi vì K là tập compact nên từ tính tương giao
hữu hạn của họ (T
n
(K))
∞
n=0,T ∈G
suy ra:
F =

T ∈G,n∈N
T
n
(K) = ∅ (1.13)
Ta khẳng định rằng mỗi x ∈ F là một điểm bất động đối với mọi toán
tử T ∈ G. Thật vậy, giả sử x
∗
∈ F và toán tử T ∈ G được chọn tùy ý.
Với mọi số nguyên không âm n, do (1.13) tồn tại phần tử y = y(n) ∈ K
sao cho x
∗
= T
n
(y). Do đó:
T x ∗ −x∗ =
T y + T
2
y + + T
n+1

γ
(x))
γ∈Γ
và ε > 0 là số
dương tùy ý. Khi đó tìm được số nguyên dương n sao cho
1
n + 1
(K − K) ⊂ {x ∈ E : p(x) < ε} (1.15)
Từ (1.14) và (1.15) suy ra với mọi ε > 0 ta có p(T x
∗
− x
∗
) < ε . Do
tính tùy ý của ε suy ra T x
∗
− x
∗
= θ hay T x
∗
= x
∗
.
1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan
Trong đoạn này E là một không gian véc tơ tô pô lồi địa phương
Hausdorff.
1.5.1 Định nghĩa: Cho C là một tập con lồi khác rỗng của E. Hàm
f : C → (−∞; +∞] gọi là lồi nếu:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0; 1] . Hàm g : C → [ − ∞; +∞) gọi là lõm
nếu −g là lồi ( nếu quy ước −(+∞) = −∞ ).

a) Với mọi y ∈ K hàm Φ(., y) là hàm nửa liên tục dưới.
b) Với mọi x ∈ K hàm Φ(x, .) nửa liên tục trên và là hàm lõm trên
K.
Khi đó tồn tại x
0
∈ K sao cho:
sup {Φ(x
0
, y) : y ∈ K} ≤ sup {Φ(y, y) : y ∈ K} (1.16)
Chứng minh. Với mỗi x ∈ K hàm Φ(x, .) là hàm nửa liên tục trên
trên tập compact K nên theo mệnh đề 1.5.3 sup {Φ(x, y) : y ∈ K} < +∞
với mỗi x ∈ K . Cố định số ε > 0. Với mỗi x ∈ K, tìm được y
x
∈ K sao
cho:
Φ(x, y
x
) > sup {Φ(x, y) : y ∈ K} − ε
Do hàm Φ(., y
x
) nửa liên tục dưới, tồn tại lân cận U
x
của x sao cho:
Φ(z, y
x
) > sup {Φ(x, y) : y ∈ K} − ε ∀z ∈ U
x
∩ K
Vì K compact, tồn tại các phần tử x
1

j
, ∀x ∈ K
Hàm f rõ ràng liên tục và do định nghĩa của phân hoạch đơn vị ta có:
f (conv {y
x
1
, , y
x
n
}) ⊂ conv {y
x
1
, , y
x
n
}
22
Theo mệnh đề 1.3.8 f có điểm bất động x
∗
∈ K , tức là :
x
∗
= f(x
∗
) =
n

j=1
φ
j

j
(x
∗
)(sup {Φ(x
j
, y) : y ∈ K} − ε)
≥ inf {sup {Φ(x, y) : y ∈ K} : x ∈ K} − ε = sup {Φ(x
0
, y) : y ∈ K} − ε
đối với một x
0
∈ K nào đó. Sự tồn tại x
0
suy ra từ tính compact của K
và tính nửa liên tục dưới của hàm số sup {Φ(x, y) : y ∈ K} ( mệnh đề
1.5.3).
Cho ε → 0
+
trong bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức
(1.16).
Tiếp theo ta cần một số định nghĩa và mệnh đề bổ trợ:
1.5.5 Định nghĩa: Cho 2 không gian tô pô (X, τ) và (Y, σ) với các
cơ sở tô pô tương ứng là B, B

. Tô pô π trên tích Décarter X × Y sinh
bởi cơ sở tô pô gồm các tập dạng U × V với U ∈ B, V ∈ B

gọi là tích
của các tô pô τ và σ . Không gian tô pô (X × Y, π) gọi là tích của các
không gian tô pô (X, τ) và (Y, σ).