Nguyễn Đình Sỹ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CỦA BÀI GIẢNG SỐ 3 :
HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
c.
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
19
2001
7
x xy y x y
HH
x xy y x y

+ + = −

−

− + = −


( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )

+ + = −
   

⇔ ⇔ ⇔
  

− =

− + = −
− + = − − = −
  

 


=



Giải (*) cho ta nghiệm x,y .
d.
( )
2
2
3
2
2001
3
2
x y


+ + + + = −


−


+ + + = −


Hệ viết lại :
( )
( )
( )
2 2
2
2
2 2
5 5
4 4
;
5 5
4 4
x y xy x y xy u v uv
u x y v xy
x y xy u v
 
+ + + + = − + + = −
 
 

x y
v
xy
x y
u
x y
v
xy

 =

+ =

 


 


= −
= −
 




 
 







b.
( )
2 2 2
1 7
08
1 13
xy x y
KB
x y xy y
+ + =

−

+ + =

( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
1
1
7


 ÷

+ + =

   
  
⇔ ⇔ ⇒ + + − + =
  
 ÷  ÷
+ + =
 
   

 
+ + =
+ + =
 ÷
 

 

Đặt :
( ) ( )
2
2
3 89
1
2
* : 3 20 0 1

=




Giải (1) tìm được x,y.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :
Thân tặng tập thể lớp 12
TÀI LIỆU LƯU
a.
( )
( )
4 3 2 2
3 2
1 1
1 2
x x y x y
x y x xy

− + =


− + = −


Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình :
( ) ( ) ( )
2
2
4 3 2 2 2 2 2

1
1 0
0
0
2 2 2
3 3
2 3
x xy
x xy
x xy
x x
x xy
x y
x xy x xy x xy
x y x xy
x x


− =



− =

− =















Học sinh giải tiếp
b.
( )
4 3 2 2
2
2 2 9
08
2 6 6
x x y x y x
CD KB
x xy x

+ + = +

− −

+ = +


( )
( )

=

. Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có :
( )
4 3 2
3
3 2
0
0
0
12 48 64 0
4
12 48 64 0
4 0
x
x
x
x x x x
x
x x x
x
=

=
=


⇔ + + + = ⇔ ⇔ ⇒



2 2 2 1 3 2 2
x x x x
x y x
x y x
x x
x y x y
x y x y
x y y x
x y x y
x y
x y
x x
− −
+ −
+ −
− −
 − = =
 
 
 
− = = − + − =

+ = +
   
 
⇔ ⇔ ⇔
 
 
+ = + =
− = −

xy
x y x x y x
−

+ + =




+ − − + =


.
Từ (2) :
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
1 2
2 2 2 1 0 2 1 0 *
1 2
x
y
x
x y x x y x x y x
x
xy
x
−

a.
( )
3
3
3 3
3 3 3
3
3
2
2 2
2
1
1
19
19
19
1 19
1
. 6
6
6
6
y
y
u v
x y x
x
x
y
u v u v

 


. Với :
1
;u v y
x
= =
Học sinh tự giải tiếp .
b.
2
3 2 2
3
2 2 2 2
2
1 2 12 0
2 12 0 1 2 12 0
8 12 8 1 12
12
8 1
y y
x xy y u uv
x x
y x u v
y
x x

 
+ + =


x xy y x y
x y xy x y

+ + + + + =


+ + + + + =


. Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
11 11 9 0 11 9 11 9 *x y xy x y x y xy x y xy x y x y⇔ + + − − − = ⇔ + − − + = ⇒ = + − + −
Phương trình (2) :
( ) ( )
2
2 12 10 0x y xy x y⇔ + + + + + =
.
Thay (*) vào ta được :
( ) ( )
2
2
3 10 8 0
3
4
x y
x y x y
x y





+ = −
+ = −




 


 

   

 
= −
= − − − −
⇔ ⇔

 ÷  ÷




   




x y x y
x y x y
− − =

− + =
 
⇔
 
+ − + = −
+ − + = −




Từ (2) :
( )
1
ln 1 ln(1 ) ( ) ln 1; '( ) 1 0 0x x y y f t t t f t t
t
+ − = + − ⇔ = + − = + > ∨ >
. Chứng tỏ hàm
số f(t) đồng biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y.
• Nếu :
( ) ( )
x=2y
; 0;0
x=y
x y

⇒ =

x x x y y x
x y
x
y x

− = − −

⇒ ⇔ − + − = − + −

 
− −
 
+ = −
 ÷
  ÷
− −
 
 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3 3
1 3 3 1 1 3 1 3 *x y y x x x y y⇔ − = − + − ⇔ − − − = −
Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .
2
1
1
x
y
−

2 1 1
2 1 1
y x x y yx x
x y y x x
x y x y x
x y x
x y x
x y x


− + + + =

+ = +
− + − =
  
⇔ ⇔
  
+ + = +
+ + = +

 
+ + = +



-Trường hợp 1: y=
2
x
, thay vào (2) :
( )

Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=
( ) ( )
3;3 , 3;3−
d.
( ) ( )
2
2 6 2
2 2 2 3 0
2 2 6 0
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x
y x y
x y y x y y
x y y x y y
y
x x y x y
x x y x y
x x y x y


+ = − −

− + − − =
− − − − =

 
⇔ ⇔
  

y y
x y y
x y y x y y
≥ ≥
 
− = ⇒ ⇔
 
− = = +
 
.
Thay vào (2) :
2 2 2 2
9 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y⇔ + + = + + − ⇔ + = + − =
2
2
2
2
1
2
9 5 0
9 5 4 0
4
9 5 2
2 0
9
y
t
t y y
y y
y

2
xy
x y
x y
x y x y

+ + =

+


+ = −

. Từ (2) viết lại :
( )
2
2 2
x y x y x x x y x y x x+ + + = + ⇔ + + + = +
Ta xét hàm số f(t)=
( ) ( )
2
0 ' 2 1 0 0t t t f t t t+ ≥ ⇒ = + > ∨ ≥
. Chứng tỏ f(t) là một hàm số
đồng biến , cho nên ta có :
2
x y x y x x+ = ⇔ = −
. (*)
Thay vào (1) :
( )
( )

− + + =

Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 4
TÀI LIỆU LƯU
Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ
b.
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 96 3
48 2 96
24 24 2 24 4
y x y
y x y y x y
x y x y y x y x x y x y x

 
− =
− = − =
  
⇔ ⇔
  
+ + − = + − = − + − = −
  
 


( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2 3 2 0
2 2 3 0
2 3 4 6
4 4 12 3
2 4 12 7 0
2 2 7 2 1 0
y x x
x y
xy x y
x y x y
x y y
x y y
 + + + =
+ + =
+ + = −

 
⇔ ⇔
  
+ + + =
+ + + − =
+ + + − =


2
2
3 3
2 3 7 3 1 0 2 4 ; 2; , 6;
6
2 2
x
x x x y
x
=

   
⇔ + + − + − − = ⇔ + = ⇔ ⇔ = − − −
 ÷  ÷

= −
   

d.
( )
( )
( )
( )
2
1 2
2
2
2
2
1 2

= − +






− + = −


= − −
− + = −
− + = −
+ = −


   
⇔ ⇔ ⇔ ⇒

   
= −


= − −

  

− = −
− = −
− + =



. Lấy (1) cộng với (2) vế với vế :
2 2
2
3 2 0
4
x y
x xy y
x y
=

− + = ⇒

=

• Với : x=2y thay vào (2) :
( )
2
5 3 5
5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5
20
10 5 1 0 ; ; . ;
10 20 10 20
5 3 5
20
y
y y x y
y



   
− − = ⇒ ⇔ =

 ÷  ÷
   

=


b.
( )
( )
2 2 4 2
2
1 3 1
2 2
x y y y
xy x y

+ + =


+ =


. Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty .
Cách khác :
Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 5

1; 1
1; 1
y x
y x
= − = −

⇒

= =

• Với : x=
2
1y y− +
, thay vào (2) ta được :
( )
( )
3
1 1 0 1y y y− + = ↔ = ±
Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1).
c.
( )
( )
2
2 2 2
2
2 1
1
3 2
x y y
x x y

x
x
x xy b
x

−
= −

 
−

= − ⇔
 ÷
−

 
= −


-Thay a) vào (1) :
( )
( )
2
3
2
2 1
1 1 0 1
1
x x
y x x x

x
x xy
x xy
x xy
x y x y x y
x x y
xy
x


+
+ =

=


+ =

 
⇒ ⇔ ⇔
  
 
 
  
+ = − + =
+ + =
 ÷
 ÷

 

x x
x
x xy
 =



 =

 = −



+ = =






+ + = = −
  


⇒ ⇔ ⇔



= =
=

2 1 0 1
4 4
4
1 2 1
2 2 0
2
xy
xy
y
x
x x x
x xy
xy xy
xy
x
x x
x
x xy
 = −



 = −

 =



+ = = −




+ = = −





Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218
Trang 6
TÀI LIỆU LƯU
Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1)
d.
( )
( )
3
3 1
3 2
y
x y x
x
x y x x
−

+ + + =



+ + = +


x y x x

+ − + =

≠ ⇒ ↔ + + = ⇔ = =

+ + = +


Bài 8. Giải các hệ phương trình sau :
a.
( )
( )
2 2
1 1
1 2
x y x y x y
x y

+ + − = + −


+ =


. Điều kiện :
0, 0,x y x y> > >
Phương trình (1)
( ) ( )
1 0 1 1 0x y x y x y x y x y x y⇔ + + − − − + − = ⇔ − − − + =

• Với :
1 1
1
2 1 2 2 2
1
x y x y
x y
x y xy x xy
x y

− = − =
− =  
  
⇔ ⇔
  
+ + = + =
+ =
 

 

. Học sinh giải tiếp .
b.
( )
( )
( )
( )
2 2
2
3

( )
( )
( )
2 2
2
3
3 7x y x y
x y
⇔ + + + − =
+
Phương trình (2) :
( ) ( )
1
3x y x y
x y
+ + + − =
+
Vậy : Đặt
( )
( )
2
2
2
1 1
; 2x y u v x y u x y
x y
x y
+ + = = − ⇒ − = + +
+
+

= =

1 1
2
7
2
x y
x y
x y

+ + = −

+

⇔


− =


. Hệ vô nghiệm .
( )
2
1
1
2
1; 0
2 0
1
x y

2 4
1 1
3
1 1
1 1 1
4
4
x
x
x y y x xy
x x y
x y
x
x x
x xy y
x
x x xy y
x x y

 
 

+ + + =
+ + =

+ + =

 ÷
 ÷


x x
x
x y
y
x
x
y

+ =

− + =

 
⇔ ⇔ =
 
=
 
+ =
−



d.
( )
( )
2
3 2
2
2
3

2 2
3
1 8 1 8
xy xy
x y
x y
⇔ + = +
− + − +
Do :
( )
( )
2
3
3
3 2
2
3
3
2
3
2
1 8 8 2
2 9
2
2
1 8 8 2
2 9
xy
xy
x

( )
( )
( )
1 1
2 5 1
2 5
5 2 4 3 2 1
1 1
3 4
3 4 2
x y
x y xy x y xy
y x
x y y x x y
x y xy x y xy
x y
y x

+ + + =

+ + + =
 
⇔ ⇒ − − = + − ⇔ = −
 
+ + − =



+ + − =


2 2 2 2
6 41 6 41
6 41
10 4 40
81
x y x y x y x y
x y x y
xy x y xy x y
x y
 

+ + = + + =
+ + =
  
⇔ ⇔
  
+ = + =
+ =

 

 
.
( )
( )
( )
( )
2
4 2 2
2 2



• TH1:
2 1, 2 2, 1
3 1, 2 2, 1
xy x y x y
x y x y x y
= = = ∨ = =
 
⇔
 
+ = ± = − = − ∨ = − = −
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1x y⇔ = − − − −
• TH2.
2
5
5 5
3 0 9 4 1 0
2
2 2
3
xy
t t
x y

=

 

1
1 2 8 3
4
1 4
2
2
2 1 7
1 7 4
1 7
x
x x y
y x
x y xy y
y
y y
y x y x y
x x y
x y x
y
y


+ + + =
+ + + =



+ + + =
  
⇔ ⇔

1 13 7 13 1 13 7 13
; ; , ;
2
2 2 2 2
3 3
3
1 3 0
x y y x
x y x x
x
x y
x y y x
y x
x y x x
 + = − = − −
 
 
 

− ±
+ = + + =
   
− − + − + −
=
  
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 ÷  ÷

 

1
4. 1 16 .
4 1 4 1 3
4 16 1
1 5 1 2
1 1
1
1 5
5 4 1 4
x x
x x
y y y y
x y y x
y y y
y x
x
x
y y y
y y


   
   
+ = +

+ − =

 ÷  ÷
 ÷  ÷


(*) Từ (3) và (4) :
( )
( )
3 2 3 2
1 5 1 4 1 21 5 4 0t t t t t t⇒ + − − = ⇔ − − =
2
1
0
3
4
21 5 4 0
7
t
t
t t
t

= −

=

⇔ ⇒


− − =


=



+ + = +
+ =
− + =
  
⇔ ⇔
  
+ + =
+ + = + +
− + − + =






.
Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có :
( ) ( )
{
2
0; 1
1 0
1; 0
2 3 0
3 4
,
u v
u v uv
u v
u v u v

 
 
 
= = =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ = − − −
 
− = = = −
 
 
 
= = =
 
 
 
b.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
2
2

+ = − − −

 


+ − + +

Từ (3) :
( )
2
2 1
2
1
x x
y
x
− + −
+ =
+
, thay vào (4) ta được :
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2
2 1
2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 1 0
1
x x
x x x x x x x x
x

t x x
x x
t t
t
x x
x x
t t t
=

+ =


= +
= = −




⇔ ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔




=
+ − =
+ =
− + + − =





⇔ ⇔ = − = −
− − − +


= =

− − +


= =

+

c.
( )
( )
2
2
2
2 2
3 3 3 3
2 2
3
1
1 3 3
3
2 2 2 2 4
1 1
2 2

   

Với :
2
1
x
u
y
v
y

=




=


lấy (3)trừ cho (4) :
( ) ( ) ( )
2 3 2
1 2 2 1 1 2 1 u u u v uv u u u v u⇔ − + − = − ⇔ − − − = −
( )
( )
2
1 1 2 0u u v⇔ − − − =
- Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1
( ) ( ) ( )
2

u
v
−
=
, thay vào (3) :
2
2 2
1 6
1
1 3 2 5 0
2
1 6
u
u
u u u u
u

= −
 
−
+ + = ⇔ − − = ⇔

 ÷
= +
 


* Khi :
( )
2

1
1
1
3 6
3 6
3 6
x
x y
x y
y
y
y
y
x
x y
x y
y
y
y
y




= −
= −
= −






 

⇔ ⇒
  

= =
= ±
  
= +

+
+
 





Cách khác :
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta
được phương trình :
( )
( )
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2( )x y x y xy y x x y x y xy x y+ − − = − + ⇔ + + − = −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2

6
x y y
x y xy
x y y

= −
− − = ⇒

− +


. Trở về như trên .
d.
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
3 2
3 3 2 2 2
2
2 3 2
2 3 1
2 6 5 3 2
2 6 6 5 3 2
x y xy x
x y x
x y x x y