HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2
1 2 n
1
m m
2 n
m1 nm2 n
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + + =


+ + + =




+ + + =

K
K
M
K




+ + + =

K
K
M
K
11 12 1n
21 22 2n
1m m m2 n
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
K
K
M M M
K
1
2
n

Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
11 12 1n 1 1
21 22 2
m m m
n 2 2
2 n n m1
a a a b
a a a b
a a a b
x
x
x
     
     
     
× =
     
     
     
K
K
M M M M M
K
A X B× =
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
1 1 2 2 nm m nm m
a a a b
a a a b
a a a b

a a a b
x x x
x x x
x x x
+ + + =


+ + + =




+ + + =

K
K
M
K
n phương trình – n ẩn và det(A) ≠ 0

HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Hệ Cramer có duy nhất 1 nghiệm
11 1 1n
21 2 2n
n n nn
j
1
j
j

=
 
 
 
K K
K K
M M M
K K
1
2
n
b
b
b

M
với:Nghiệm của hệ Cramer là 1 bộ gồm n số
( )
1 2
, , ,
n
x x xK
j
j
det A
det A
x =

HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

 
 
 
3 5
A 7 4
2 2
10
3
3
x
 
 
=
 
 
 
10
3
3
2 5
A 3 4
1 2
y
 
 
=
 
 
 
2 3

y
y = = −
det A
2
det A
z
z = =
Vậy, nghiệm
của hệ là bộ:
( ) ( )
, , 3, 2,2x y z = −

HỆ CRAMER
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Khối lượng tính toán
Số lượng (x,÷) cho 1 đt cấp n
( )
1 1 1 1
!
1! 2! 3! 1 !
n
n
 
+ + + +
 
−
 
K
Số lượng (+,−) cho 1 đt cấp n
! 1n −

−
−
)
)
(x,
(x,
÷
÷
)
)
2 3 9
3 20 36
4 115 180
5 714 1080
10 39916789 59875200
30
≈ 2,7x10
32
≈ 123,3x10
32
10
9
phép tính/s
32
17
9
126 10
4 10
10 365 24 3600
×

+ + + =




+ + + =

K
K
M
K
11 12 1n
21 22
m m m
2n
1 2 n
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
K
K
M M M
K
2

x x x
x x x
x x x
+ + + =


+ + + =




+ + + =

K
K
M
K
Đổi chỗ hai phương
trình.
Nhân hai vế của 1 phương trình với 1 số ≠ 0.
Cộng trừ các vế tương ứng của 2 phương trình với nhau.
Ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho.
Nhận xét:
Nhận xét: chỉ có các hệ số thay đổi
m m
11 12 1n 1
21 22 2n 2
1 2 mn m
a a a b
a a a b

 
 
A
B
C

 
 
 
 
 
D
rank(A) = rank(C)
rank(A
B
) = rank(C
D
)
CẨN THẬN KHI THỰC HiỆN
PBĐSC
TRÊN CỘT
TRÊN CỘT

PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
2 3 5 10
3 7 4 3
2 2 3

 
→ − −
 
 
−
 
h h h
h h h

1 3
1 2 2 3
3 7 4 3
2 3 5 10
↔
 
 
→
 
 
 
h h

3 3 2
1 2 2 3
0 1 2 6
0 0 1 2
→ +
 
 
→ − −


1 2 1 1
2 4 1 3
4 8 3 5

 
 
 
 
 
2 2 1
3 3 1
2
4
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
→ −
→ −
 
 
→ −
 
 
−
 
h h h
h h h

3 3 2

Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
2 1
2 4 3
4 8 3 6
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

1 2 1 1
2 4 1 3
4 8 3 6

 
 
 
 
 
2 2 1
3 3 1
2
4
1 2 1 1

PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
1 2 2 3
0 1 2 6
0 0 1 2

 
 
− −
 
 
− −
 
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0

 
 
−
 
 
 
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1

 
 
−

PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Ví dụ:
Ví dụ:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 1
7 5 4
x x x x
x x x x m
m

x x x x
− + + =


+ − + =


+ − − =

1 2 1 2 1
1 1 1 1
1 7 5 1 4
m
m
 
−
 

2 0 2m m⇔ + = ⇔ = −
2 2 1
3 3 1
1 2 1 2 1
0 3 2 1 1
0 9 6 3 4 1
→ −
→ −
 
−
 
→ − − −
 
 
− − −
 
h h h
h h h
m
m

PP KHỬ GAUSS
Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công
Khối lượng tính toán
Số lượng (x,÷) cho 1 hệ cấp n
( )
2
3 1
3
n