Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
Nội dung

I – Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
II – Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

a
11
, a
12
, …, a
mn
được gọi là hệ số của hệ phương trình.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn m m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
    



1
, b
2
, …, b
m
đều bằng 0.
Định nghĩa hệ thuần nhất.
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần nhất nếu ít
nhất một trong các hệ số tự do b
1
, b
2
, …, b
m
khác 0.
Định nghĩa hệ không thuần nhất.
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ tương thích
Hệ không tương thích
Một hệ phương trình tuyến tính có thể:
1. vô nghiệm,
2. có duy nhất một nghiệm
3. Có vô số nghiệm
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng cùng
chung một tập nghiệm.
Để giải hệ phương trình ta dùng các phép biến đổi hệ về
hệ tương đương, mà hệ này giải đơn giản hơn.
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát



  

2 3
h h
 

0
3 3 3
4 0
x y
y z
z
 


  


 

Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1; y = -1; z = 0
Giải hệ phương trình:
0
2 3 3
2 3
x y
x y z
x y z
 

 
 
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

1 2
1 3
2h h
h h
 
 

2 3
h h
 

1 1 0 0
2 1 3 3
1 2 1 3
 
 

 
 
 
 
1 1 0 0
0 3 3 3
0 3 1 3
 
 

0 0 1 1 4
0 0 0 6 8
 
 
 
 
 
 
x
1
, x
3
, x
4
: là các ẩn cơ sở
x
2
: ẩn tự do
Nếu , thì hệ AX = b có nghiệm.
( | ) ( )
r A b r A

Nếu , thì hệ AX = b vô nghiệm.
( | ) ( )
r A b r A

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Nếu = số ẩn, thì hệ AX = b có nghiệm duy
nhất.
( | ) ( )

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Giải các hệ phương trình sau đây với các ma trận mở rộng cho
trước.
1 5 2 6
. 0 4 7 2 ,
0 0 5 0
a

 
 

 
 
 
1 1 1 3
. 0 1 2 4 ,
0 0 0 5
b

 
 
 
 
 
1 1 1 0
. 0 1 2 5 ,
0 0 0 0
c




   

Giải hệ phương trình:
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

3
3 5 9 2
2 3 3
y z
x y z
x y z
 


   


  

Ví dụ
Giải hệ phương trình
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

ẩn cơ sở:
5
2
1
,


   










Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình
Ví dụ
2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 6 6 4 5
3 7 8 5 8 9
3 9 12 9 6 15
x x x x
x x x x x
x x x x x
    


    


    


Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng
Ví dụ
1 1 1 1 2
2 1 3 0 1
3 4 2 2 5
2 3 1 1 3

 
 
 

 
 

 
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng
1 1 2 0 1
2 3 1 2 4
3 4 5 1 3
1 2 3 1 0
 
 

 
 
 
 

 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
Example
I. I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
duy nhất
1 1 1 1 1
2 1 3 1 2
,
3 4 2 0 6
2 1 0 1
m m
 
 

 
 
 
  
 
I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
duy nhất
2
2 3 1 4 0
3 2 1 5 7
1 1 1