Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính
Nguyễn Thủy ThanhBài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 132-176.Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss,
Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần
nhất.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
Chu
.

.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n............133
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . 134
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . 143
4.3 Hˆe
.
phu
.
o

.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
P d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ahˆe
.
Cramer
1
nˆe
´
usˆo
´
phu
.
o
.
ng tr`ınh b˘a

1
G. Cramer (1704-1752) l`a nh`a to´an ho
.
c Thu
.
yS˜ı.
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 133
Hˆe
.
Cramer c´o da
.
ng
a
11
x

x
1
+ a
n2
x
2
+ ···+ a
nn
x
n
= h
n









(4.1)
hay du
.
´o
.
ida
.
ng ma trˆa
.

.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn






,X=






x
1
x
2
.
.
.
x

.
c






a
11
a
21
.
.
.
a
n1






x
1
+





.
.
.
a
nn






x
n
=






h
1
h
2
.
.
.
h
n


.
o
.
.
c
A
−1
AX = A
−1
H ⇒ EX = X = A
−1
H.
Vˆa
.
yhˆe
.
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tl`a
X = A
−1
H. (4.3)
Tuy nhiˆen viˆe
.
c t`ım ma trˆa
.
n nghi
.

.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer
Nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tcu
’
ahˆe
.
Cramer du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh theo cˆong th´u
.
c
Cramer:
x

.
’
icˆo
.
t c´ac hˆe
.
sˆo
´
tu
.
.
do H, v`a c´ac cˆo
.
t kh´ac gi˜u
.
nguyˆen.
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss
Nˆo
.
i dung chu
’
yˆe
´
ucu
’
aphu

cˆa
´
p hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh. D
´o l`a c´ac ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i:
1
+
Nhˆan mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ao d
´ocu
’
ahˆe
.
v´o
.
imˆo

t`uy ´y.
3
+
Dˆo
’
ichˆo
˜
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ahˆe
.
.
D
-
i
.
nh l´y. Mo
.
iph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa

.
itu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng.
Viˆe
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
ptrˆenhˆe
.
phu

’
rˆo
.
ng cu
’
ahˆe
.
.
Do d
´o sau mˆo
.
tsˆo
´
bu
.
´o
.
cbiˆe
´
nd
ˆo
’
itathudu
.
o
.
.
chˆe
.
(4.1) tu

x
2
+ ···+ b
2n
x
n
= h
2
... ... ...
b
nn
x
n
= h
n









T`u
.
d
´or´ut ra x
n
,x

1. Gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh sau b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n
1)
x
1
+ x
2
+ x
3
=4,
x
1
+2x
2
+4x

2x
1
+2x
2
+5x
3
=3.





(4.6)
Gia
’
i. 1) Ta k´yhiˆe
.
u
A =



111
124
139



,X=


AX = H.
V`ı detA =2=0nˆenA c´o ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o v`a do vˆa
.
yhˆe
.
(4.5) c´o
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t:
X = A
−1
H.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng
A
−1

x
2
x
3



=





3 −31
−
5
2
4 −
3
2
1
2
−1
1
2






no
.
’
vˆe
´
pha
’
itathud
u
.
o
.
.
c
x
1
=3· 4 − 3 · 4+1· 2=2,
x
2
= −
5
2
· 4+4· 4 −
3
2
· 2=3,
x
3
=
1



1 −12 5
−117−7
0 −21



.
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng



x
1
x
2
x
3



=



1
=8,x
2
=12,x
3
= −1. 
V´ı du
.
2.
´
Ap du
.
ng quy t˘a
´
c Cramer, gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
1)
x
1
+2x
2
+3x
3

=6,
2x
1
+3x
2
− 4x
3
+4x
4
=7,
3x
1
+ x
2
− 2x
3
− 2x
4
=9,
x
1
− 3x
2
+7x
3
+6x
4
= −7.



o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 137
trong d´o
detA =







12 3
3 −11
31−2









16 3
22 1
32−2







= 30; detA
3
=







126
2 −12
312










1 −23−1
23−44
31−2 −2
1 −37 6









=35.
V`ı detA =0nˆen hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t v`a nghiˆe
.
md
u
.
o







=70,
138 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
det(A
2
)=








31 9−2
1 −3 −76









=0,
det(A
4
)=









1 −23 6
23−4 −7
31−29
1 −37−7



)
detA
=0,x
4
=
det(A
4
)
detA
= −2. 
V´ı du
.
3.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
1)

1
+ x
2
− 2x
3
+4x
4
= −1,
3x
1
+2x
2
− x
3
+3x
4
=0,
5x
1
− 2x
2
+ x
3
− 2x
4
=9.
4.1. Hˆe
.
n phu
.

nd
ˆo
’
i:

A =



10−2


−3
−21 6


11
−15−4


−4



h
2
+2h
1
→ h


− 5h
2
→ h

3



10 −2


−3
01 2


5
00−16


−32



.
T`u
.
d
´o suy ra
x
1

rˆo
.
ng v`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p:





2 −13−1


9
11−24


−1



−1
2 −13−1


9
32−13


0
5 −21−2


9





−→
h
2
− 2h
1
→ h

2
h
3



14





h
2
→ h

3
h
3
→ h

2
−→
140 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe

3
− 3h
2
→ h

3
h
4
− 7h
2
→ h

4
−→





11 −24


−1
0 −15−9


3
00 −818



3
00−818


2
00 0−13


−13





T`u
.
d
´o suy ra r˘a
`
ng x
1
=1,x
2
= −2, x
3
=2,x
4
=1. 
B
`

=11,
4x
1
− 3x
2
− 3x
3
=24.





.(D
S. x
1
=9,x
2
=2,x
3
=2)
2.
x
1
− 3x
2
− 4x
3
=4,
2x

2
− x
3
=4,
x
1
+2x
2
+2x
3
=5,
3x
1
+4x
2
− 5x
3
=2.





.(D
S. x
1
= x
2
= x
3

3
= −5,
3x
1
− 4x
2
+5x
3
=10.





.(D
S. x
1
=1,x
2
=2,x
3
=3)
5.
2x
1
+ x
2
− x
3
=0,

+6 =0,
3x
1
+4x
2
+3x
3
+5 =0,
x
1
+ x
2
+ x
3
+2 =0.





.(D
S. x
1
= −2, x
2
=1,x
3
= −1)
7.
x

2x
1
− x
2
+ x
3
+2x
4
=5,
x
1
+3x
2
− x
3
+5x
4
=4,
5x
1
+4x
2
+3x
3
=2,
3x
1
− 3x
2
− x

4
3
)
9.
x
1
− 2x
2
+3x
3
− x
4
= −8,
2x
1
+3x
2
− x
3
+5x
4
=19,
4x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4

2
, x
3
= −
1
2
, x
4
=3)
10.
x
1
− x
3
+ x
4
=3,
2x
1
+3x
2
− x
3
− x
4
=2,
5x
1
− 3x
4

142 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
11.
2x
1
+3x
2
+8x
4
=0,
x
2
− x
3
+3x
4
=0,
x
3

1
+ x
2
− x
3
+ x
4
=0,
2x
1
+3x
2
− x
4
=0,
x
1
+5x
2
− 3x
3
=7,
3x
2
+2x
3
+ x
4
=2,


=13,
x
1
+2x
2
+3x
3
− 5x
4
=15,
x
2
− 2x
3
+ x
4
+3x
5
= −7,
x
1
− 7x
3
+8x
4
− x
5
= −30,
3x
1

= −2, x
5
=0)
14.
x
1
+ x
2
+4x
3
+ x
4
− x
5
=2,
x
1
− 2x
2
− 2x
3
+3x
5
=0,
4x
2
+3x
3
− 2x
4







.
(D
S. x
1
=
2
5
, x
2
= −
3
5
, x
3
=
4
5
, x
4
=0,x
5
=0)
4.2. Hˆe
.

ng tr`ınh v´o
.
i
n ˆa
’
n
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ···+ a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ···+ a


(4.9)
v´o
.
i ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n
A =



a
11
a
12
... a
1n
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn



a
m2
... a
mn


b
m



Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng r(A)  r(

A)v`ımˆo
˜
id
i
.
nh th´u
.
c con cu
’
a A d
ˆe
`
ul`adi

.
’
cu
’
a ma trˆa
.
n A khˆong d
ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0 tˆa
´
tca
’
.
Ngu
.
`o
.
i ta quy u
.
´o
.
cgo
.
id
i

.
’
cu
’
a n´o.
Gia
’
su
.
’
d
ˆo
´
iv´o
.
i ma trˆa
.
nd
˜a cho ta d˜acho
.
nmˆo
.
tdi
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.

.
so
.
’
.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa. 1
+
Bˆo
.
c´o th´u
.
tu
.
.
n sˆo
´
(α
1
,α
2
,...,α
n
)du
.
o
.

˜
iphu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
a (4.9) tro
.
’
th`anh
d
ˆo
`
ng nhˆa
´
t.
144 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh

u n´o vˆo nghiˆe
.
m.
3
+
Hˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ahˆe
.
x´ac d
i
.
nh nˆe
´
u n´o c´o nghiˆe
.
m duy
nhˆa

.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh (4.9)
tu
.
o
.
ng th´ıch khi v`a chı
’
khi ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nb˘a
`
ng ha
.
ng cu
’
a
ma trˆa
.
nmo

i c´ac ˆa
’
nm`ahˆe
.
sˆo
´
cu
’
ach´ung lˆa
.
p
nˆen d
i
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nl`aˆa

’
yˆe
´
ud
ˆe
’
gia
’
ihˆe
.
tˆo
’
ng qu´at l`a:
1.
´
Ap du
.
ng quy t˘a
´
c Kronecker-Capelli.
2. Phu
.
o
.
ng ph´ap khu
.
’
dˆa
`
nc´acˆa


A)v`ar(A)
a) Nˆe
´
u r(

A) >r(A)th`ıhˆe
.
khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch.
b) Nˆe
´
u r(

A)=r(A)=r th`ı hˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch. T`ım d
i
.
nh th´u
.
c con
co

c
cho
.
n) v`a thu d
u
.
o
.
.
chˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng gˆo
`
m r phu
.
o
.

so
.
’
d
˜a c h o
.
n. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh c`on la
.
i c´o thˆe
’
bo
’
qua.
2
+
T`ım nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
tu
.
o
.
ng d

ahˆe
.
th`ı hˆe
.
c´o
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t v`a c´o thˆe
’
t`ım theo cˆong th´u
.
c Cramer.
b) Nˆe
´
u r<n, ngh˜ıa l`a sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b´e ho
.
nsˆo
´
ˆa

id
ˆe
’
thu du
.
o
.
.
chˆe
.
Cramer d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
. Gia
’
ihˆe
.
n`ay ta
thu d
u
.

.
c,
A. Capelli (1855-1910) l`a nh`a to´an ho
.
c Italia.
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 145
D´o l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
ahˆe
.
. Cho n − r ˆa
’
ntu
.
.
do nh˜u
.
ng gi´a tri

d
´o t h u
d
u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
ahˆe
.
.
Tiˆe
´
p theo ta tr`ınh b`ay nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap Gauss.
Khˆong gia
’
mtˆo
’

iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
a
hˆe
.
d
ˆe
’
thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.

1
.K´yhiˆe
.
uhˆe
.
n`ay l`a S
(1)
.
2
+
C˜ung khˆong mˆa
´
ttˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a

22
= 0. La
.
i thu
.
.
c
hiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe

.
o
.
.
cgi˜u
.
nguyˆen!) nhu
.
d
˜a l`am trong bu
.
´o
.
c
1
+
ta thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.

2
,...
3
+
Sau mˆo
.
tsˆo
´
bu
.
´o
.
ctac´othˆe
’
g˘a
.
pmˆo
.
t trong c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p sau
d
ˆa y .
a) Thˆa
´

c) Thu d
u
.
o
.
.
cmˆo
.
t“hˆe
.
h`ınh thang” da
.
ng
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= h
1
,
b
22


























Nˆe
´
u c´ac sˆo
´
h

chˆe
.
Cramer v´o
.
iˆa
’
nl`ax
1
,...,x
r
. Gia
’
ihˆe
.
d´o ta thu du
.
o
.
.
c
146 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.

r
,α,...,β).
Lu
.
u´yr˘a
`
ng viˆe
.
c gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng
ph´ap Gauss thu
.
.
cchˆa
´

.
an´ovˆe
`
da
.
ng tam gi´ac hay da
.
ng
h`ınh thang.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı du
.
1. Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
3x
1
− x
2













Gia
’
i. 1. T`ım ha
.
ng cu
’
a c´ac ma trˆa
.
n
A =










12
240


−6
213


3
504


9








Ta thu d
u
.
o
.
.
c r(


240
213







v`ı∆=36=0v`ar(A) = 3 v`a c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
l`a x
1
,x
2
,x
3
.
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe

1
+4x
2
= −6,
2x
1
+ x
2
+3x
3
=3.





Sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b˘a
`
ng sˆo
´
ˆa

x
1
+2x
2
− 3x
3
+4x
4
=7,
2x
1
+4x
2
+5x
3
− x
4
=2,
5x
1
+10x
2
+7x
3
+2x
4
=11.




7
24 5 −1


2
510 7 2


11



Tathud
u
.
o
.
.
c r(

A)=r(A) = 2. Do d
´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch.
Ta c´o thˆe
’

ad
i
.
nh th´u
.
c=r(A) = 2. Khi cho
.
n ∆ l`am
d
i
.
nh th´u
.
c con, ta c´o x
2
v`a x
3
l `a ˆa
’
nco
.
so
.
’
.
Hˆe
.
d
˜a cho tu
.

2x
2
− 3x
3
=7− x
1
− 4x
4
,
4x
2
+5x
3
=2− 2x
1
+ x
4
.
148 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´

u
.
o
.
.
c
x
2
=





7 − α − 4β −3
2 − 2α + β 5





22
=
41 − 11α − 17β
22
,
x
3
=


ng

α;
41 − 11α − 17β
22
;
9β − 12
11
; β


∀ α, β ∈ R


V´ı du
.
3. B˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss h˜ay gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.









Gia
’
i. Trong hˆe
.
d
˜a cho ta c´o a
11
=4=0nˆen dˆe
’
cho tiˆe
.
ntadˆo
’
ichˆo
˜
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆa
`

=7,
2x
1
+3x
2
− 3x
3
=11,
4x
1
+ x
2
− x
3
=7.








