Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
1. Định nghĩa:
Hệ phương trình dạng
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2(1)n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =


+ + + =




+ + + =

Trong đó
1 2

M M O M
được gọi là ma trận các hệ số của hệ (1).
Ma trận
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A
a a a b
 
 
 
=
 
 
 
 
M M O M M
là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1).
2. Nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định nếu ta biết được ma trận hệ số mở
rộng của nó.
Cột
1

Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì
ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.
Ta nói
1 2
( ; ; ; )
n
c c c
là một nghiệm của hệ (1) nếu khi thay
j j
x c=
thì tất cả các phương trình
trong hệ (1) đều thỏa mãn.
Nếu
( )
1 2

T
n
X x x x=
và
( )
1 2

T
m
B b b b=
thì hệ phương trình có thể viết được dưới
dạng: AX = B.
3. Ví dụ:
Hệ phương trình

x
x
x
−
     
     
=
     
     
− − −
     
hoặc
2 1 1 1
1 1 1 4
1 1 2 3
 − 
 
 
 
− − −
 
Trong đó
3
(1,2,1)∈¡
là một nghiệm của hệ phương trình trên.
4. Một vài hệ phương trình đặc biệt:
4.1 Hệ Cramer:
Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu m = n (tức là số phương trình
bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A không suy biến (hay
det 0)A

1 2
( , , , ) (0,0, ,0)
n
x x x =
và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ.
5. Định lý: Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường hợp
nghiệm xảy ra là:
- Có một nghiệm duy nhất;
- Vô nghiệm;
- Có vô số nghiệm.
6. Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có
vô số nghiệm.
7. Định nghĩa: Hai hệ phương trình có cùng số ẩn được gọi là tương đương nhau nếu
chúng có cùng tập hợp nghiệm.
8. Định lý: Nếu hai hệ phương trình có hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương đương
dòng với nhau thì chúng tương đương nhau. Hoặc có thể phát biểu lại như sau:
Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên K có dạng ma trận hóa lần lượt là
°
( )
A A B=
và
°
( | )C C D=
. Khi đó nếu
°
°
A C:
thì hai hệ phương trình tương đương nhau.
9. Nhận xét:
Ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng một cách tùy ý đối với ma trận hóa

2
7
3
23
2 1 1 1 0 3 1 7 0 0 7 7 0 0 1 1
1 1 1 4 1 1 1 4 1 0 3 4 1 0 0 1
1 1 2 3 0 2 3 7 0 1 2 0 0 1 0 2
d
d dd d
d d d d d d
d dd d
−
−−
− − −
++
 −   − − −   − −   
       
→ → →
       
       
− − − − − − −
       
Vậy hệ đã cho tương đương với
1 2 3
1
1 2 3 2
3
1 2 3
0 0 1;
1

0
u u v= +
, với v là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất liên kết với hệ (1).
Nói cách khác nếu
1 2
, , ,
r
v v v
là các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên
kết thì ta có thể viết nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là
0 1 1 2 2
,
r r
u u t v t v t v= + + + +
trong đó
1 2
, , , .
r
t t t K
∈
8. Định nghĩa: Một nghiệm cố định
0
u
của hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là
nghiệm riêng, còn nghiệm
0 1 1 2 2

r r
u u t v t v t v

3 7 2 4 0
5 10 5 10 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =


− + + =


− − + =

Hệ thuần nhất này có các nghiệm là
1 2
(11,5,1,0); ( 6, 2,0,1)v v= = − −
.
Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình ban đầu là
0 1 1 2 2
u u t v t v= + +
Đại số tuyến tính 1
65
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
_______________________________________________________
1. Phương pháp Cramer:
Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau:
1.1 Định lý: Cho hệ Cramer
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2

n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
M M O M
là ma trận các hệ số. Khi đó,
- Nếu
det 0A ≠
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức sau:
det
det
i
i
A
x
A
=
, trong đó
i
A
chính là ma trận thu được ma trận A bằng cách thay cột i bởi cột hệ

Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn.
1.3 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
1 2
2 3
1 3
(1)
ax bx c
cx ax b
cx bx a
+ =


+ =


+ =

với a, b, c là các số khác 0.
Giải:
Ta có
0
det 0 2 0
0
a b
A c a abc
c b
= = ≠
nên đây là hệ Cramer. Hơn nữa
2 2 2

1
det
det 2
A a b c
x
A ac
− +
= =
;
2 2 2
2
2
det
det 2
A a b c
x
A bc
− + +
= =
;
2 2 2
3
3
det
det 2
A
a b c
x
A ab
+ −

1 2 3
1
2 2
2 2 1
x x x
x x x
x x x
+ + =


− − =


− − =

Ta có
1 2 3
det 0;det det det 0A A A A= = = =
Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất tức là hệ có vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.
Đối với trường hợp này thì phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình trên.
2. Phương pháp Gauss:
2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát

11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2(1)


Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính (gọi là thuật toán Gauss):
Lập ma trận các hệ số mở rộng
A
. Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A
về dạng bậc thang. Giả sử ma trận bậc thang cuối cùng có dạng:
1
2
*
1 1
1
*
2 2
2
*
1
0
0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 0
r
i n
i n
r
ri rn


 
 

Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Do đó:
1) Nếu tồn tại ít nhất
i
d
với
1r i m+ ≤ ≤
khác 0 thì hệ vô nghiệm.
2) Nếu
1 2
0
r r m
d d d
+ +
= = = =
thì hệ có nghiệm. Khi đó các cột
1 2
, , ,
r
i i i
(là các cột được
đánh dấu * ) được giữ lại bên trái và các
1 2
, , ,
r
i i i
x x x

d x
c
d x
d x
c
 
 
 
 
 
 
 
Trong đó
( )
i k
d x
là các hàm tuyến tính của
k
x
với
1 2
, , ,
r
k i i i≠
. Hệ phương trình (3) là hệ
phương trình dạng tam giác ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế dần từ dưới lên, tức là
tính lần lượt
1 1
, , ,
r r



+ + = −

Giải:
Vì
1 2 3
| | | | | | | | 0A A A A= = = =
nên ta không thể dùng phương pháp Cramer để giải hệ phương
trình này.
Ta sẽ áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên.
Ta viết hệ dưới dạng ma trận hóa như sau:
Đại số tuyến tính 1
68
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
3 3 2
2 2 1
3 3 1
2 2
2
3
1
5
1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0
2 1 2 2 0 5 2 2 0 5 2 2
3 1 4 2 0 5 2 2 0 0 0 0
1 2 2 0
0 1 2 / 5 2 / 5
0 0 0 0
d d d

2 2
5 5
x x x x x x
x x
x
− − −

= − − = + − = −



= −


∈



¡
■
Chú ý:
- Khi hệ phương trình có vô số nghiệm thì dù giải bằng phương pháp nào ta cũng có thể có
nhều cách chọn biến tự do.
- Khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm cơ bản.
b) Giải hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 5 9
3 2

     
Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:
1 2 3
2 3
3
2 5 9
3 2 11
- 8 8
x x x
x x
x
+ + = −


− − =


=

Do đó nghiệm của hệ là
1 2 3
( , , ) (2, 3, 1)x x x = − −
.
Sinh viên có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong các tài liệu viết về đại số
tuyến tính.
Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ thực hiện các phép biến đổi trên dòng đối
với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận có các tính chất sau:
- Các dòng khác 0 thì nằm trên các dòng 0;
- Hệ số khác 0 đầu tiên ở các dòng khác 0 đều bằng 1.
- Các phần tử còn lại của cột chứa số 1 chuẩn (gọi là cột chuẩn) đều bằng 0.

→ −
 −   −   − 
     
− → − − → − −
     
     
− − − − −
     
 −   −
 
→ − − → −
 
 
− −
 
2 2
1 1 2
1
3
2
1 2 0 4
0 1 0 3
0 0 1 1
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 1
d d
d d d
−
→

 
−
 
−
 
 
Giải
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận
A
về dạng bậc thang.
3 3 2
3 3 1
4 4 2
4 4 3
2
1 1 0 0 7 1 1 0 0 7 1 1 0 0 7
0 1 1 1 5 0 1 1 1 5 0 1 1 1 5
1 1 1 1 6 0 2 1 1 1 0 0 1 3 9
0 1 0 110 0 1 0 110 0 0 1 2 5
1 1 0 0 7
0 1 1 1 5
0 0 1 3 9
0 0 0 1 14
d d d
d d d
d d d
d d d
A
→ +
→ −

2 2 3 1
3
1 1 0 0 7 1 1 0 0 7 1 1 0 0 7
0 1 1 1 5 0 1 1 0 9 0 1 1 0 9
0 0 1 3 9 0 0 1 0 43 0 0 1 0 43
0 0 0 1 14 0 0 0 1 14 0 0 0 1 14
1 1 0 0 7
0 1 0 0 34
0 0 1 0 43
0 0 0 1 14
d d d
d d
d d d
d d d d
→ −
→−
→ −
→ +
     
     
− − − − −
     
→ →
     
− − −
     
     
     
 
 

1 2 3 4 5
1 2 3 5
2 2 1
2 4 3 3
3 6 2 3
2 2 8
x x x x
x x x x
x x x x x m
x x x x m
+ + + =


+ + + =


+ + + + =


+ + + = −

Giải:
Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình trên là
2 2 1
3 3 1
4 4 1
3 3 2
4 4 2 4 4 3
2
3

− − −
   
− − −
   
   
 
 
− −
 
→
 
− −
 
− −
 
 
1 2 0 2 1 1
0 0 1 1 2 1
0 0 0 1 2 5
0 0 0 0 0 5
m
m
 
 
− −
 
→
 
− −
 

1 2
2
x x x x
x x x
x x
+ = − −


− = +


− = −

. Từ đó suy ra,
4 5
3 5
1 2 5
2
4 1
2 5 1
x x
x x
x x x
=


= +


= − − +

Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2 3
2 2 1
3 3 1
4 4 1
4 4 3 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
1 1 1
0 1 0 1
d d
d d d
d d d
d d md
d d d d
m m m
m m m m m
m m m m m
m m m m m m m
m
m m
↔
→ −
→ −
→ −
→ + +
     

3 2 (1 )( 3)m m m m− − = − +
nên:
Nếu m = 1 thì ma trận hệ số mở rộng trên có dạng
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
 
Khi đó hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số
2 3 4
, ,x x x
. Tức là
1 2 3 4
2
3
4
1x x x x
x
x
x
= − − −


∈

1x t t t= − − −
Khi m =-3 thì hệ trở thành
1 1 1 3 1
0 4 0 4 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0 4
 − 
 
−
 
 
−
 
 
 
. Hệ phương trình vô nghiệm.
Khi
3, 1m m≠ − ≠
thì hệ pt có nghiệm duy nhất
4
2
3 4
2 4
1 2 3 4
1 1
3 2 3
1
3
1
3

x x x x
m
= = = =
+
.■
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:
Đại số tuyến tính 1
72
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:
x y z t a
x y z t b
x y z t c
x y z t d
− + + + =


− + + =


+ − + =


+ + − =

Cộng theo vế 4 phương trình ta được:
2
a b c d
x y z t

1
1
1
1
mx y z t
x my z t
x y mz t
x y z mt
+ + + =


+ + + =


+ + + =


+ + + =

Giải
Cách 1: SV tự giải bằng phương pháp Gauss (hoặc Gauss Jordan).
Cách 2: Cộng tất cả các phương trình ta được:
( 3)( ) 4m x y z t+ + + + =
(*)
Nhận xét:
Khi m = - 3 thì phương trình (*) vô nghiệm, hệ vô nghiệm
Khi m = 1 hệ có vô số nghiệm.
1 2 3
1
2

Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Lấy kết quả trên trừ đi phương trình thứ 1 của hệ ta được:
1
3
x
m
=
+
Thực hiện tương tự ta được
1
3
y z t
m
= = =
+
Tóm tắt chương
Ở chương này, thông qua việc vận dụng các kiến thức về định thức và ma trận ta nghiên cứu
thêm các phương pháp để giải một hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Sau khi học xong chương này, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau:
1. Hệ phương trình tuyến tính có những yếu tố gì cần biết để giải? Nghiệm của hệ được xác
định ra sao? Khi nào thì hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? Thế
nào là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất?
2. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính giống với nội dung nào đã học ở
chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên có thể nghiên cứu thêm phương pháp
Gauss Jordan? Sự giống nhau và khác nhau của phương pháp Gauss và phương pháp Gauss
Jordan?
3. Điều kiện cần thiết để có thể giải được hệ phương trình bằng phương pháp Cramer?
Trình bày phương pháp Cramer?
BÀI TẬP
1) Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dụng thuật toán Cramer và phương pháp



− + =


− + =

c)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
2 2 4;
4 4 2.
x x x
x x x
x x x
+ + =


− + =


+ + =

d)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 5;



+ + + =


+ + + =

f)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 5;
3 4 1;
3 6 2 8;
2 2 2 3 2.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =


+ − − = −


+ − + =


+ + − =

2 2 2;
4 3 2 3;
8 5 3 4 6;
3 3 2 2 3;
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =


+ − + =


+ − + =


+ − + =

k)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
3 2 5 3;
2 3 5 3;
2 4 3;
4 9 22;
x x x x
x x x x



+ − + =


+ + − =

với a, b, c, d là các số thực khác 0.
Đại số tuyến tính 1
74
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
m)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
;
;
;
.
ax bx cx dx p
bx ax dx cx q
cx dx ax bx r
dx cx bx ax s
+ + + =


− + + − =




− + − =


− + − =


− + − =

− + =


2. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với các hệ đã cho ở bài tập 1
(tức là thay cột hệ số tự do bằng cột chứa các số 0) rồi giải lại các hệ phương trình đó.
3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1;
;
.
mx x x
x mx x m
x x mx m

+ + =

+ + =

c)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4;
3;
2 4.
ax x x
x bx x
x x x
+ + =


+ + =


+ + =

d)
2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
;
;
.
x ax a x a
x bx b x b

1 2 3 4
1 2 3 4
1;
1;
1;
1.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
λ
+ + + =


+ + + =


+ + + =


+ + + =

g)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 3) 2 ;

+ + + + + =

k)
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1;
2 4 2;
3 9 3.
x mx m x
x x x
x x x

+ + =

+ + =


+ + =

l)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 ;
2 1;
7 5 .
x x x x m
x x x x m

1 3 4
1 2
2 2 0;
2 3;
3 3;
5 .
x x x x
x x x x
x x x
x x m
− + − =


+ − + =


+ − =


+ =

Đại số tuyến tính 1
75
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
o)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1;

x x x x m
+ − + =


− + + =


+ − + =


+ − + =

q)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 3 4 5
2 2 3 3;
1;
3 3 4 6;
5 2 5 7 9 .
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x m
− + + + =


+ − − + =


= + + +



= + + +





= + + +


5. Giải hệ phương trình
1 2
1
1 2
1
1 2
1
1 2
1;
2 2 1;
3 3 1;

1.
n
n
n
n

0.
n n
n n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + =


+ + + =




+ + + =

trong đó
ij ji
a a= −
và n lẻ, có nghiệm khác 0.
7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:
a)
;
;
;
.
ax by cz dt p
bx ay dz ct q
cx dy az bt r



+ + =




+ + =


+ + =

+ + =


Đại số tuyến tính 1
76