Trang 1
Chương 1 : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT

1.1.MA TRẬN :
1.1.1. Khái niệm về ma trận
:
• Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột theo
một thứ tự nhất định :

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa


123
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 551
124

2.Phép nhân với một số : Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận
cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận .
2.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
− 5
1
2
1

6
2
4

3.Phép nhân hai ma trận :
• Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai .
• Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất tương ứng với các phần
tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại .

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
302
211
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
021
302
⎯⎯→⎯
↔
21
dd
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
302
042

3. Phép biến đổi 3 : Cộng một dòng với một dòng khác đã nhân với một số khác
không .
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
213
302
021


trận B vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I .
Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A
-1
.
2. Cách tìm ma trận đảo :
• Lập ma trận mở rộng ( A | I )
• Biến đổi ma trận ( A | I ) về dạng ( I | B ) :
o Nếu biến đổi được về dạng ( I | B ) thì A là ma trận khả đảo và
A
-1
=B .
o Nếu không biến đổi được về dạng ( I | B ) ( nghĩa là ma trận bên
trái có xuất hiện dòng không ) thì ma trận A không khả đảo .
Ví dụ
: Tìm ma trận đảo , nếu có , của các ma trận :
a)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
101
122
011
, b)

aa
aa
. Định thức của ma trận A là :
det(A) =
A
=
2221
1211
aa
aa
= a
11
a
22
- a
12
a
21
2. Định thức cấp 3 :
Cho ma trận vuông cấp 3 : A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

32
- a
13
a
22
a
31
- a
12
a
21
a
33
- a
11
a
23
a
32

Cách tính định thức cấp 3
:
a. Quy tắc tam giác :

***
***
***

***
***

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
500
310
423
2. Định thức cấp n :
Trang 4
Cho ma trận vuông cấp n : A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

trong đó M
ij
là ma trận suy từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j .
b. Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n .

nii ,1, =∀ : A =
∑
=
n
j
ijij
Aa
1

hoặc :
mjj ,1, =∀
:
A =
∑
=
n
i
ijij
Aa
1Ví dụ : A =
⎥
⎥

1. Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi :
t
A =
A

2. Hoán vị 2 dòng ,định thức đổi dấu :
'
A = - A
3.
Nếu nhân 1 dòng cho
α
thì
'
A =
α
A
4. Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0 .
5. Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định
thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần .
21212211 nnnn
bbbaaabababa +=+++

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
1210
3120
1210
0121

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
zzz
yyy
xxx
22
22
22
sincos2cos
sincos2cos
sincos2cos
= 0

1.2.3 Cách tìm ma trận đảo bằng định thức
1.

=
−

1
21
22221
11211
1
Ví dụ
: Tìm ma trận đảo ( nếu có ) của các ma trận :
a)

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
52
21
, b)
⎥
⎥
⎥

k . Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A .
• Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức con
khác không của A.
Ghi chú
:
• r(A) = 0 ⇔ A = 0
• A = (a
ij
)
mxn
⇒ r(A)
≤
min(m,n)

2.
Cách tìm hạng của ma trận :
Trang 6
• Đưa ma trận về dạng bậc thang .
• Hạng của ma trận là số dòng khác 0 .
Ví dụ1
: Tìm hạng của ma trận :
A
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH :
1.3.1. Khái niệm
:
1.Định nghĩa :
Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111


21
22221
11211
, B =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
m
b
b
b
.
.
2
1
, X =

3. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính :
Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số ( c
1
,c
2
,…,c
n
) sao
cho khi thay vào (x
1
,x
2
,…,x
n
) các phương trình được nghiệm đúng.

4. Điều kiện tồn tại nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli
Cho hệ phương trình (1) ,ta có :
Trang 7
• r(A)
≠
r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm .
• r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
• r(A) = r(A|B) = r<n : Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm phụ
thuộc (n-r) tham số .
Ví dụ 1
: Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
⎪
⎪
⎩

=++
1
1
1
321
321
321
mxxx
xmxx
xxmx

1.3.2. Hệ phương trình Cramer :
1. Định nghĩa :
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình
bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không .
2. Cách giải hệ phương trình Cramer :
a. Phương pháp Cramer :
Cho hệ phương trình Cramer :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn

là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B.
Ví dụ1
: Giải hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=++
=−+
3285
132
2
321
321
321
xxx
xxx
xxx

Ví dụ 2
: Giải và biện luận hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=+
=+
2

xxx
xx1.3.3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :
Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B
(A|B)
→ đưa về dạng bậc thang → (A’|B’)
AX = B
⇔ A’X = B’
Ví dụ1
: Giải hệ phương trình :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−−
=++
=++
224
652
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx

=+−−
=+−+
=+−+
022
42463
22
321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx1.3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
1. Định nghĩa :
Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự do đều
bằng 0 .
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
0


• Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng quát , nó phụ thuộc
một số tham số .Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được
nghiệm riêng .
Ví dụ :
Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=++
05
02
02
321
321
321
mxxx
xxx
xxx

a.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường .
b.
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình .
3. Hệ nghiệm cơ bản :
Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu


⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
(1)

⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
mxxx
xxx
xxx
321
321
321
384
342
12
(1)

a.
Giải và biện luận hệ phương trình (1)
b.Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ (1)

Ví dụ2
: Cho hệ phương trình tuyến tính : ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧